第1頁/共1頁2023年普通高等學校招生全國統一考試數學押題卷(一)注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.本試卷共22題，滿分150分，考試用時120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解絕對值的不等式，再由交集運算得答案．【詳解】因為，，所以.故選：D2.已知，若復數為純虛數，則實數（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由復數為純虛數，可設，代入原式，然后計算即可得結果【詳解】設，，故，解得，故選：C3.蹴鞠（如圖所示），2006年5月20日，已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產名錄．蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的球，因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．已知某鞠（球）的表面上有四個點、、、，且球心在上，，，，則該鞠（球）的表面積為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點P作，在中，根據，，求得，在中，根據，求得，再根據球心在上，得到PC為球O的直徑，再由求得半徑即可.【詳解】如圖所示：在中，因為，，所以，即，在中，，所以，即是等腰三角形，過點P作，則BD=AD=,因為，所以，，又球心在上，故PC為球O的直徑，所以，，即，解得，所以該球的表面積是.故選：C．4.若向量滿足，，，則與的夾角為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】，求得，由即可求夾角.【詳解】由題可知，，∴，∴向量與的夾角為.故選：C5.為躲過了新冠，躲過了甲流，沒躲過呼吸道合胞病毒.”甲流高峰才過去不久，呼吸道感染的老人又多起來.“最近，呼吸道合胞病毒感染處于高峰.目前因咳嗽、喘息住院的患者中，在浙大兒院占據首位的就是呼吸道合胞病毒感染.呼吸道合胞病毒是一種什么病毒？RSV為副黏病毒科肺炎病毒屬的單股負鏈RNA病毒，是引起老年人下呼吸道感染的常見病原，RSV通常于上呼吸道中開始感染，引發的癥狀易與普通感冒相混淆，出現呼吸系統后遺癥.5月3日，葛蘭素史克（GSK）宣布其呼吸道合胞病毒（RSV）疫苗Arexvy，用于老年人群體預防RSV感染導致的下呼吸道疾病（RSV-LRTD）.該產品也是全球首款獲批上市的RSV疫苗.為研究的臨床試驗，旨在評估單劑量和接種Arexvy對比安慰劑對RSV-LRTD的預防效果.該實驗有3接種組，現有8名志愿者將被派往這3接種組安排接種工作，每個接種組至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（）A.2940種 B.3000種 C.3600種 D.5880種【答案】A【解析】【分析】根據題意派往3個醫院的人數分配有2種情況：2、2、4，3、3、2．以此可解決此題．【詳解】根據題意派往3個醫院的人數分配有2種情況：2、2、4；3、3、2.不同的安排方法共有（種）．故選：A．6.已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據重要不等式去求解的最大值【詳解】∵，（當且僅當時等號成立），故選：A.7.已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，過的直線與的左支交于、兩點，且，，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設，，根據雙曲線的定義，可得，，在直角三角形中利用勾股定理可得，再在直角三角形中使用勾股定理可得，再結合，即可求出結果.【詳解】由題意，得，；根據雙曲線的定義，,所以，．在直角三角形中，，即，解得；在直角三角形中，，即，即，解得，所以的漸近線方程為.故選:C．【點睛】關鍵點點睛：本題在解答過程中使用雙曲線的定義得到，，在直角三角形中利用勾股定理可得，是解決本題的關鍵和突破點.8.定義：設不等式F(x)<0的解集為M，若M中只有唯一整數，則稱M是最優解.若關于x的不等式有最優解，則實數m的取值范圍是（）A. B. C.∪ D.∪【答案】D【解析】【分析】將不等式轉化為，結合圖象求得的取值范圍.【詳解】可轉化為，在同一平面直角坐標系中分別作出函數f(x)＝|x2－2x－3|，g(x)＝mx－2的圖象，如圖所示.易知m＝0時不滿足題意.當m>0時，要存在唯一的整數x0，滿足f(x0)<g(x0)，則，即，解得.當m<0時，要存在唯一的整數x0，滿足f(x0)<g(x0)，則，即，解得.綜上，實數m的取值范圍是∪.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分9.數列的前項為，已知，下列說法中正確的是（）A.為等差數列 B.可能為等比數列C.為等差數列或等比數列 D.可能既不是等差數列也不是等比數列【答案】BD【解析】【分析】利用來對進行判斷，從而確定正確答案.【詳解】依題意，，當時，，當時，，，兩式相減得，，，當時，，則數列是首項為，公比為的等比數列.當時，，則數列是首項為，公差為的等差數列，當，交替成立時，既不是等差數列也不是等比數列.故選：BD10.已知某種袋裝食品每袋質量（單位：g）X～N（500，16）．，，，則下面結論正確的是（）A.B.C.隨機抽取10000袋這種食品，袋裝質量在區間（492，504]的約8186袋D.隨機抽取10000袋這種食品，袋裝質量小于488g的不多于14袋【答案】AC【解析】【分析】按照概率的意義，正態分布的對稱性以及參考數據依次判斷4個選項即可.【詳解】根據題意，，∴，故A正確．又，故B錯誤．由于，所以隨機抽取袋這種食品，袋裝質量在區間的約袋，故C正確．根據概率的意義，故D錯誤．故選：AC.11.下列大小關系正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】A、B選項畫出和的圖象，數形結合進行比較，C選項構造函數，借助單調性進行判斷，D選項作減法，借助對數運算及基本不等式進行比較.【詳解】作出和的圖象，如圖所示，由圖象可得，當時，，當時，，，，故A，B正確.令，則，在上單調遞減，所以，故C錯誤.，所以，故D正確.故選：ABD.（2022?大連模擬）12.已知拋物線，C的準線與x軸交于K，過焦點F的直線l與C交于A、B兩點，連接AK、BK，設的中點為P，過P作的垂線交x軸于Q，下列結論正確的是()A. B.C.的面積最小值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】設直線AB的傾斜角為α，即∠AFx＝α，設，，.可根據角平分線的性質判斷A；過A作AD⊥x軸，垂足為D，表示出，即可判斷B；，數形結合即可判斷C；求出PQ方程，令y＝0求出Q的橫坐標，求出即可判斷它們的關系，由此判斷D.【詳解】設直線AB的傾斜角為α，即∠AFx＝α，設，，，①若，則，則根據角平分線的性質可知，x軸為∠AKB的角平分線，設直線，代入拋物線方程得，所以，所以，所以x軸一定是∠AKB的平分線，故A正確；②過A作AD⊥x軸，垂足為D，則tan，，，故B正確；③，當，即AB⊥x軸時，取等號，故的面積最小值為，故C錯誤；對于D：，則，∴PQ方程為：，令y＝0得，，∴，∴，∴，故D正確.故選：ABD.三、填空題：每小題5分，共20分13.已知曲線在處切線的斜率為，則______．【答案】【解析】【分析】利用函數在處的導數值為可求得實數的值.【詳解】對函數求導得，由已知條件可得，解得.故答案為：.14.斐波那契數列由意大利數學家斐波那契以兔子繁殖為例引入，故又稱為“兔子數列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在實際生活中，很多花朵（如梅花、飛燕草、萬壽菊等）的瓣數恰是斐波那契數列中的數，斐波那契數列在現代物理及化學等領域也有著廣泛的應用．斐波那契數列滿足：，，則是斐波那契數列中的第______項．【答案】【解析】【分析】利用遞推關系，將所求關系式中的“”換為，再利用即可求得答案．詳解】由可得.故答案為：.15.在直三棱柱中，是等腰直角三角形，且．若該三棱柱的外接球半徑是，則三棱錐體積的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】根據直三棱柱的性質，結合三棱錐的體積公式、導數的性質進行求解即可.【詳解】如圖，由題意可知三棱柱的外接球的直徑為，則，即，從而．三棱錐的體積為．設，則．由，得；由，得．故．故答案為：【點睛】關鍵點睛：運用直三棱柱的性質，結合三棱錐的體積公式，利用導數求最值是解題的關鍵.16.已知函數，若恰有4個零點，則實數的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】令，轉化為與有個交點，結合圖象求得的取值范圍.【詳解】令，轉化為與有個交點，畫出與的草圖，如下圖所示，當時，與不可能有4個交點，故由圖可知，且與在區間上各有一個交點，故在區間上，與有兩個交點.當時，，，設是曲線上一點，過該點的切線的斜率為，切線方程為，代入得，化簡得，此時切線的斜率為，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等差數列和等比數列滿足，若數列前項和為，且.（1）求數列，的通項公式；（2）若數列滿足：，求數列的前n項和.【答案】（1），;（2）.【解析】【分析】（1）根據通項與的關系求出數列的通項公式，再由列出方程求出公差公比即可得出，的通項公式；（2）利用錯位相減法求出數列的前n項和即可.【小問1詳解】由①，可得（）②，由①②得（）又也符合上式，所以，由得，設等差數列的公差為，等比數列的公比為，則有，令，有，令，有解得，或者取，有，檢驗得（舍去）所以，；【小問2詳解】由得，所以則兩式相減得，18.已知的外心為，為線段上的兩點，且恰為中點.（1）證明：（2）若，，求的最大值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設，利用余弦定理求得，，再根據，化簡，可求得，同理可求得，即可得證；（2）利用余弦定理求得，，再根據結合（1）求得，設，可求得，再根據三角形的面積公式結合基本不等式即可得出答案.【小問1詳解】證明：設，由余弦定理知：，，由是外心知，而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；【小問2詳解】解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，設，則，因此，當且僅當時取到等號，因此的最大值為.19.“紅五月”將至，學校文學社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰賽，挑戰賽分為個人晉級賽和決賽兩個階段.個人晉級賽的試題有道“是非判斷”題和道“信息連線”題，其中道“信息連線”題是由電腦隨機給出錯亂排列的四句古詩詞和四條相關的詩詞背景（如詩詞題名、詩詞作者等），要求參賽者將它們一一配對，每位參賽選手只有一次挑戰機會.比賽規則為：電腦隨機同時給出道“是非判斷”和道“信息連線”題，要求參賽者全都作答，若有四道或四道以上答對，則該選手晉級成功.（1）設甲同學參加個人晉級賽，他對電腦給出的道“是非判斷”題和道“信息連線”題都有且只有一道題能夠答對，其余的題只能隨機作答，求甲同學晉級成功的概率；（2）已知該校高三（1）班共有位同學，每位同學都參加個人晉級賽，且彼此相互獨立.若將（1）中甲同學晉級的概率當作該班級每位同學晉級的概率，設該班晉級的學生人數為.①問該班級成功晉級的學生人數最有可能是多少？說明理由；②求隨機變量的方差.【答案】（1）（2）①或，理由見解析；②【解析】【分析】（1）分甲同學答對四道、五道、六道題，分析出是非判斷題和信息連線題答對的題的數量，結合獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）①分析可知，設最大，可得出，解出的取值范圍，即可得解；②利用二項分布方差公式可求得的值.【小問1詳解】解：記事件甲同學晉級成功，則事件包含以下幾種情況：①事件“共答對四道”，即答對余下的是非判斷題，答錯兩道信息連線題，則.②事件“共答對五道”，即答錯余下的是非判斷題，答對余下的三道信息連線題，則.③事件“共答對六道”，即答對余下的四道問題，，所以.【小問2詳解】解：①由題意可知，設最大，則，即，可得，解得，即最有可能取的值為或；②由二項分布的方差公式可得.20.如圖，在三棱錐中，，，，點O是AC的中點，點P在線段MC上，（1）證明：平面ABC；（2）若，直線AP與平面ABC所成的角為，求二面角的余弦值的大小【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接BO，由給定條件證明，再由線面垂直的判斷推理作答.（2）在平面ABC內過O作，再以O為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量計算作答.【小問1詳解】連接BO，如圖，由，，得，而，，在中，由余弦定理得：，則有，有，即，因此，，又，于是得，，即，又有，平面ABC，所以平面ABC.【小問2詳解】由（1）可得，平面平面ABC，AP在平面ABC內射影為AC，即為直線AP與平面ABC所成的角，，因，則點P為線段MC的中點，在中，過O作交BC于D，則OD，OC，OM兩兩垂直，以點O為原點，射線OD，OC，OM分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，不妨令，則，，，，，，，設平面PAB的法向量，則，令，得，又平面ABC的法向量，則，而二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.21.已知橢圓的左、右焦點分別為、，動直線過與相交于，兩點．（1）當軸時，求的內切圓的方程；（2）求內切圓半徑的