#/5發(fā)表于華東師大《數(shù)學(xué)教學(xué)》皿）第期（全文轉(zhuǎn)載人大復(fù)印資料第期不要滿足“第一答案”的安慰——聽課及聽課后的調(diào)查引發(fā)思考花奎江蘇省儀征中學(xué)花奎應(yīng)市教研室的邀請，參加了市組識高三教學(xué)督導(dǎo)聽課。其中，一位數(shù)學(xué)老師的一個教學(xué)片段讓人深思。教學(xué)片段實錄：教師出示題目（這是一節(jié)“三角變換與解三角形“的復(fù)習(xí)課，課前教師已將復(fù)習(xí)講義發(fā)給學(xué)生，此題復(fù)習(xí)講義上例題）：在斜三角形中，角、、所對的邊分別為a教師出示題目（這是一節(jié)“三角變換與解三角形“的復(fù)習(xí)課，課前教師已將復(fù)習(xí)講義發(fā)給學(xué)生，此題復(fù)習(xí)講義上例題）：在斜三角形中，角、、所對的邊分別為a,b,c，且bb2—a2—c2 cos(A+C) = ，小口角；acsinAcosAsinB（）若 ><2，口角的取值范圍。cosC師：這道題考查三角變換與解三角形的知識，演，其他同學(xué)在下面做。這道題該怎么做呢？我們請學(xué)生上黑板板生：（）由余弦定理可知，在a2+c2-b師：這道題考查三角變換與解三角形的知識，演，其他同學(xué)在下面做。這道題該怎么做呢？我們請學(xué)生上黑板板生：（）由余弦定理可知，在a2+c2-b2cosB 2acb2一a2-c2_cos(A+C)ac sinAcosA/.-2cosB-cos(A+C)sinAcosAA+B+C=兀,/.-2cosB--cosBsinAcosA二.2sinAcosA=1，即 sin2A-1兀 ，兀??2A ，即有： A 2 4兀DDODDOA--,因為A+B+C-兀，所以4sinB

cosC><2,sinB

cosC><2,3sin(4兀-C)

cosC>22llcosC+^sinC2cosC+tanC>v2tanCtanC>13??Ce(0,—兀),4/ ,兀兀、C*(4,2)所以角的取值范圍為師：你做得太完美了！你能告訴我們怎么想到的嗎？（其實學(xué)生做不是很完美，如在由

-cosB-2cosB= 轉(zhuǎn)化得到sin-cosB-2cosB= 轉(zhuǎn)化得到sinAcosA2sinAcosA=1，沒有寫明為什么兩邊可以約去cosB)生（很得意）：第一問目標(biāo)要求，因此我借助余弦定理邊化角，從而得到關(guān)于角的三角方程，就可以了；第二問由于目標(biāo)需要求角的取值范圍，而條件給出關(guān)于角、的不等式sinBcosC><2。所以就想到借助3兀B+C=——消去，得到關(guān)于角的不等式就可以了。4師：說得太好了！同學(xué)們，應(yīng)該沒有什么問題了吧?。◤睦蠋煹谋砬榭梢钥闯觯Ｍ瑢W(xué)們沒有問題，只不過形式上問問而已）這時，學(xué)生疑疑惑惑地站了起來。生：老師，我也是消元的，只是沒有化成正切形式，化成一個三角函數(shù)的形式來做的，但是算出來的答案和這個結(jié)果不一樣。師：答案肯定是（—,師：答案肯定是（—,—）。如果你也是消元處理的，42那一定是你算錯的。由于時間關(guān)系，我們就不看你的計算過程了。你課后再認(rèn)真算一算吧！一定要提高計算能力呀！于是，生茫然不解坐下，師就進(jìn)行其他的問題講解了。課后訪談?wù){(diào)查：課后，我分別找到學(xué)生和學(xué)生。筆者問（對生）：你對你這道題解題過程滿意嗎？生（很驕傲）：還可以啦！筆者問（對生）：你對你這道題解題過程滿意嗎？生（很驕傲）：還可以啦！筆者：你有沒有發(fā)現(xiàn)你的解題過程有不完善的地方嗎？生一愣：應(yīng)該沒有吧？！筆者：你在解第一問的過程中由-cos筆者：你有沒有發(fā)現(xiàn)你的解題過程有不完善的地方嗎？生一愣：應(yīng)該沒有吧？！筆者：你在解第一問的過程中由-cosB—2cosB= 轉(zhuǎn)化得到sinAcosA2sinAcosA=1,為什么兩邊可以約去cos為什么兩邊可以約去cosB呢？生連連點頭。筆者問（對生）：你發(fā)現(xiàn)了你的計算錯誤了嗎？筆者問（對生）：你發(fā)現(xiàn)了你的計算錯誤了嗎？生：沒有！我都重做兩遍了，總覺得沒有錯。我也不知道是什么原因？筆者：能讓我看一下嗎？于是，學(xué)生讓我看了他的解法。學(xué)生解題過程如下：由（）知4兀生：沒有！我都重做兩遍了，總覺得沒有錯。我也不知道是什么原因？筆者：能讓我看一下嗎？于是，學(xué)生讓我看了他的解法。學(xué)生解題過程如下：由（）知4兀A=，因為43—A+B+C=—，所以B+C=——4sinBcosCsinBcosC><2,3sin(-—-C) _ 3 _―4 ><2，即sin(-—-C)>、；2cosCcosC 4k2 ? -—cosC+——sinC>y2cosC2sinC一~^cosC>0，即sin(C-—)>024???Cqe(0,0

???Ce(衿???Ce(衿)兀3兀3兀4，T3s鳴兀-C)>%.2coC擴(kuò)大了角范圍，是一個不等價變形的過程。我正準(zhǔn)備引導(dǎo)他發(fā)現(xiàn)錯誤的原因。這時，他的前面學(xué)生在旁邊插話了。3sin3sin(—兀一C) _——4 >22化為cosC學(xué)生部分解題過程摘抄如下：.^-2cosC>0，即2sinC>cosC「.tanC>1 ,/Ce(0,—k), ,\Ce(—,—)4 42所以角的取值范圍為看了生的解題過程后，程出現(xiàn)兩次。即將(——)

4所以角的取值范圍為看了生的解題過程后，程出現(xiàn)兩次。即將(——)

4,2我倒吸一口涼氣，sinC>cosC轉(zhuǎn)化為多么可怕的錯誤呀！同一個錯誤在一個解題過tanC>1也是一個不等價變形，真是錯錯得正呀！我有一種感覺，對于這道題，一定有不少學(xué)生存在問題。于是，我找到他班的課代表，請他收兩組學(xué)生講義給我調(diào)查統(tǒng)計一下。課代表共收了份的講義給我， 我對這道題進(jìn)行了簡單的統(tǒng)計。 發(fā)現(xiàn)得到正確答案的有人，得到錯誤答案中有人解題過程不對，—3—課代表共收了份的講義給我， 我對這道題進(jìn)行了簡單的統(tǒng)計。 發(fā)現(xiàn)得到正確答案的有人，得到錯誤答案中有人解題過程不對，—3—(,—)的有人，還有44其中有人和學(xué)生所犯錯誤一樣，人完全做錯或不會；另外在個得到正確答案另外人過程更讓人大跌眼鏡。——4,2這兩人\：2.一t'2一八 .一兀八一八3部分過程摘抄如下：—sinC--cosC>0，即sinC--)>0?「Ce(0,-兀),部分過程摘抄如下：2 2 4 4???C-—4e(0,—2)又因為三角形是斜三角形，所以這兩個學(xué)生不僅犯了學(xué)生的錯誤，還誤將斜三角形理解為銳角三角形了。唉！這道題評講豈能如此草草收場！我的感想：筆者聽了這節(jié)課及課后訪談?wù){(diào)查，心里久久難以平靜，總想說點什么！一．不要滿足“第一答案”的安慰教師建立和引領(lǐng)著課堂氣氛。 作為動態(tài)教學(xué)的效果， 需要控制彌漫在課堂中的各種想法，這時是歸功于教師自己還是歸功于幾十個學(xué)習(xí)者， 是由教師決定的。 我相信在課堂上， 當(dāng)教師僅是為了尋找唯一的標(biāo)準(zhǔn)答案時， 而不是真正對學(xué)生的觀點或想法感興趣。 聰明而不墨守成規(guī)的學(xué)生什么也不會說， 通常較差的學(xué)生也不愿意回答， 因為不希望被人發(fā)現(xiàn)他們不知道那個“唯一的”答案。因此，課堂上一個問題的提出，教師尋找的應(yīng)是學(xué)生不同的回答，而

不是唯一的答案。這個信息要很明確，很多學(xué)習(xí)者認(rèn)識到教師是真誠地對大量的想法和回答不是唯一的答案。這個信息要很明確，很多學(xué)習(xí)者認(rèn)識到教師是真誠地對大量的想法和回答感興趣，因此對他們每個人的想法都感興趣，這會讓學(xué)生們感到輕松自在。二．課堂重視學(xué)生反饋信息教學(xué)是雙邊活動，教學(xué)中應(yīng)用反饋原理十分重要， 作用很大。對學(xué)生來說，反饋信息可使學(xué)生強(qiáng)化正確意識，改正錯誤，找出差距，促進(jìn)努力。對教師來說，可使教師掌握情況，了解情況，改進(jìn)教學(xué)，找出不足，因材施教。但是在實際課堂教學(xué)中，經(jīng)?？梢钥吹揭?qū)W生回答問題不合預(yù)定要求， 教師怕時間不夠和打亂教學(xué)計劃， 不去分析學(xué)生的思維動向和心理狀況，不去分析學(xué)生為什么這樣想？這種想法是否帶有普遍性？價值如何？沒有讓學(xué)生充分陳述自己的見解，最后教師把自己或優(yōu)秀學(xué)生的意見“灌輸” 給學(xué)生，其結(jié)果窒息了學(xué)生富兀兀有創(chuàng)造性的思想，抑制了學(xué)生的積極性。如本節(jié)課中教師肯用 （，一）口定斷學(xué)生是計算出42錯，而要求其提高計算能力， 卻不去剖析產(chǎn)生學(xué)生導(dǎo)致錯誤的真正原因， 這樣實際上只是把這個問題的結(jié)論“灌輸”給學(xué)生， 而問題并沒有真正解決。 教師如果讓學(xué)生暴露其解題過程，借此指出不等式變形應(yīng)注意的等價轉(zhuǎn)化， 因勢利導(dǎo)， 對學(xué)生今后解決問題進(jìn)行正確思維活動無疑大有好處。 因此教師提問之后， 對學(xué)生的回答必須加以分析， 重視其反饋信息，及時引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行積極正確思維活動，這樣才能收到較好的教學(xué)效果。三．慎用 廉價性的評價對于學(xué)生的回答， 我們要慎用諸如 “很好” 、“非常好” 、“不是， 不對”等習(xí)慣性的評價。這樣廉價的的評價過于強(qiáng)化對與錯，天長日久，學(xué)生的注意力會集中于教師想要的東西上。我們可以適當(dāng)?shù)囟嗍褂靡恍┲行缘?、接納性的或者探究性的評價。比如： “噢，這是一種有道理的思路，還有其他思路嗎？” “這個想法不錯，我們還能補(bǔ)充點什么？” “很好的主意，但是我們怎么知道……” 有針對性地鼓勵學(xué)生，滿足學(xué)生的需要， 鼓勵學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)。 有時恰當(dāng)?shù)呐u可能是一劑增強(qiáng)信心且有效的良藥， “沒有懲罰的教育是不完整的教育”， 關(guān)鍵是懲罰的時機(jī)、技巧和方法的恰當(dāng)運(yùn)用。例如本節(jié)課中，教師用“你做得太完美了！ ”對學(xué)生的評價有點廉價，不利于學(xué)生自我批評和更深層次的思考。如果教師用“你的做法很好！但是， 第一問中的