習題與思考題二解答簡述光學諧振腔的作用CO2激光器的腔長L=100cm，反射鏡直徑D=1.5cm，兩鏡的光強反射系數分別為r1=0.985，r2=0.8。求由衍射損耗及輸出損耗分別引起的 &t解答1衍射損耗：、c10.610J、c10.610J1(0.7510-)210.1883108-0.188=1.7510」s輸出損耗:niV2=-0.5In(0.9850.8)=0.11980.11931080.1193108510s解答2:(解答2:(1)輸出損耗由腔鏡反射不完全引起。初始光強為衰減為I1，則:I0在無源腔內往返一次后光強R1丄n」2r1r二^In2 0.985*0.8二0.119R1CQ1=2二?R1(2)衍射損耗:a2R2R1丄n」2r1r二^In2 0.985*0.8二0.119R1CQ1=2二?R1(2)衍射損耗:a2R2100cm0.12*3*108m/s「2.7810S8cV*108m/s

-10「6?m*2.78*10上s=4.94*106腔的菲涅耳數D24L4L4*100cm*10.6」mD2(1.5cm)21m二0.188；dC0.188*3*108m/s二1.77*10Q2二2二R2cc=2二—R2二3.15*10*利用往返矩陣證明共焦腔為穩定腔，即任意近軸光線在其中可以往返無限多次，而且兩次往返即自行閉合。證明如下：(共焦腔的定義一一兩個反射鏡的焦點重合的共軸球面腔為共焦腔。共焦腔分為實共焦腔和虛共焦腔。公共焦點在腔內的共 焦腔是實共焦腔，反之是虛共焦腔。兩個反射鏡曲率相等的共焦腔稱為對稱共焦腔，可以證明，對稱共焦腔是實雙凹腔。)根據以上一系列定義，我們取具對稱共焦腔為例來證明。設兩個凹鏡的曲率半徑分別是尺和R2，腔長為L,根據對稱共焦腔特點可知：R=R2二R=L因此，一次往返轉換矩陣為

T二A]c2LR22LR2-2LT二A]c2LR22LR2-2L-Ri2L1-I1-.Ri人2LR2丿把條件R1=R2二R=L帶入到轉換矩陣T,得到:共軸球面腔的穩定判別式子一1::1AD:::121—(A+D)=-1 —(A+D)=1如果2 或者2 ，則諧振腔是臨界腔，是否是穩定腔要根據情況來定。本題中，因此可以斷定是介穩腔(臨界腔)，下面證明對稱共焦腔在2近軸光線條件下屬于穩定腔。經過兩個往返的轉換矩陣式 T，坐標轉換公式為:坐標轉換公式為:其中等式左邊的坐標和角度為經過兩次往返后的坐標，通過上邊的式子可以看出，光線經過兩次往返后回到光線的出發點，即形成了封閉，因此得到近軸光線經過兩次往返形成閉合，對稱共焦腔是穩定腔。分別按下圖3-48(a)(b)中的往返順序，推導近軸光線往返一周的光學變換矩陣圖3-48圖3-48習題4圖(a)t=『12CR12011飛101Ca」R2(a)t=『12CR12011飛101Ca」R24L2R1R2—R1R24L24L4L2R1R2R1R2(b)t二IR2丫1lL〔ab)j01丿飛D丿A」24L4LR1D二R1R2 R22L1R1A"乂-竺-竺2R1R2 R1 R2激光器的諧振腔由一面曲率半徑為 1m的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成,工作物質長0.5m，其折射率為1.52.求腔長L在什么范圍內是穩定腔？解答如下：設腔長為L1，腔的光學長度為L，已知R^-IM R2=2M Lo=0.5Mn1=1n2=1.52根據AD=1 旦AD=1 旦2R1R2 R1R2代入已知的凸凹鏡的曲率半徑，得到:TOC\o"1-5"\h\z2L 2L丄A D=1仝 2L1M 2M 1M 2M因此，這里 L因此，這里 L應該是光程的大?。ɑ蛘哒f是.L.L1一L0一―L1-0.5 0.51.52代入上式，得到:0.52AD八八0.52AD八八1T1.52-0.5 0.51 1.52要達到穩定腔的條件，必須是-1:1AD<1按照這個條件，得到腔的幾何長度為：1.17：：J：：2.17單位是米。解答完畢。設光學諧振腔兩鏡面曲率半徑R1=-1m，R2=1.5m，試問：腔長L在什么范圍內變化時該腔為穩定腔？0(1-丄)*(1-丄)1，0(1L)*(1-2L)1R1 R2 3所以:7.R=100cm,L=40cm的對稱腔，相鄰縱模的頻率差為多少?7.8.3*108Wq=2*L2*0.4二3.75*108Hz腔長為0.5m的氬離子激光器，發射中心頻率 v0=5.85X08.3*108Wq=2*L2*0.4二3.75*108Hz腔長為0.5m的氬離子激光器，發射中心頻率 v0=5.85X014Hz，熒光線寬？v=6X108Hz。問可能存在幾個縱模?相應的q值為多少?解：縱模間隔為："qQc3108310Hz,2L210.5n=■■-q8Av 6乂1088=2,310則可能存在的縱模數有3個，它們對應的q值分別為:145.8510 62」L q2」L qc108q+仁1950001,q—1=1949999

He-Ne激光器的中心頻率v0=4.74X1014Hz，熒光線寬？v=1.5X09Hz，腔長L=1m,問可能輸出的縱模數為多少？為獲得單縱模輸出，腔長最長為多少？解:cc3108(1)輸出縱模數為N=[iv：q]+1=[91.510981.510]+i=iiMq=2iL(1)輸出縱模數為N=[iv：q]+1=[91.510981.510]+i=iicc3108Avq=21L=2L=^L=1.5X108/L>1.5>109則L<0.1m,腔長最長不能超過0.1m有一個諧振腔，腔長L=1m，兩個反射鏡中，一個全反，一個半反。半反鏡反射系數r=0.99。求在1500MHz的范圍內所包含的縱模個數，及每個縱模的線寬(不考慮其它損耗)。解：(1)c c3江1083q=2他=2L= 2" =1.5>108Hz輸出縱模數為1500106N=[ 'q]+1=[ 1.5108]+仁ii所以輸出縱模數為11.(2)透射損耗1 1:=-—lnhd：—[(1一”)(1—r2)]=0.01/22 2 =0.005

.二L/、.c=1/0.0053108 -10-51515 5 5：v=1/2 10=2.3910Hz線寬2兀線寬求方形鏡共焦腔鏡面上的TEMao模的節線位置，這些節線是等距分布的嗎？(可以90s為參數)目甘求岀方形鏡共隹腔面上TEM狽模的節線拉置這些節線是等距分布的嗎？絲J3(X)-8X3-1ZX令KJX)=0匚＞禺=0,爲=Ub=T=厚％、＜3I?-Xj|=|xj-x＞|等何距分布解答2:方形鏡共焦腔自再現模滿足的積分方程式為mnX,y二mnX,y二e" mnx,yeLdxdy_a_a經過博伊德一戈登變換，在通過厄密 -高斯近似，可以用厄密-高斯函數表示鏡面上場的函數Hx3-12使'30x,y二Hx3-12使'30x,y二0就可以求出節線的位置。由上式得到:eL C'■30x,y=C30H3■-mnx,y二CmnHXiXi=0,X2,3=32二I'，這些節線是等距的。解答完畢。試寫出圓形鏡共焦腔TEM20和TEM02模在鏡面上場的分布函數v02(r,0)和v20(r,0)，并計算各節線的位置。解答：圓形鏡共焦腔場函數在拉蓋爾一高斯近似下，可以寫成如下的形式■-mn「J■-mn「J二Cmne兀cosmsinm(這個場對應于TEMmn，兩個三角函數因子可以任意選擇，但是當 m為零時，只能選余弦，否則整個式子將為零)Ur,申C20對于TEM20:、2L2Ur,申C20對于TEM20:、2L22宀20ssin2L0并且2r22=1■，0s ，代入上式，得到20r,=C200ssin2取余弦項，根據題中所要求的結果，取20r,二20r,二C20iCO0s22r_2_GC0scoS2就能求出鏡面上節線的位置。既cos2=0=]對于TEM。2，可以做類似的分析。、?2r"Qsl、?2r"Qsl22r2"Os-C°2L0代入上式并使光波場為零，得到■-02r,:顯然，只要=C022?Os4r22r44''Os：Os ■'Os■'Os即滿足上式?代入上式并使光波場為零，得到■-02r,:顯然，只要=C022?Os4r22r44''Os：Os ■'Os■'Os即滿足上式?最后鏡面上節線圓的半徑分別為:ri解答完畢解:fCOSmq>[will旳卩對于TEM対模;節線處：cos2^=0或$in2卩=0

=＞嚴±彳，土乎或伊=0彳即節線將整圓4等分從鏡面上的光斑大小來分析，當它超過鏡子的線度時，這樣的橫模不可能存在。試估算在腔長l=3Ocm，鏡面線度2a=O.2cm的He-Ne激光方形鏡共焦腔中所可能出現的最高階橫模的階次是多大？

解:2=0.6328xl0_6m解:=2.46xIO-4/nV2m+1ixi(r32.46x10"=4*07a=OJtvn=1xlO訕V2m+1ixi(r32.46x10"=4*07二）機=7J6 叫和二刃噺二7穩定雙凹球面腔腔長L=1m,兩個反射鏡的曲率半徑分別為 R仁1.5m,R2=3m，求它的等價共焦腔腔長，并畫出它的位置。解答:_厶(局-G1(L-Rf)+(L-局) -_L)「(丄—R1)+(L-/?2)2=厶(叱-L)(R1—0(心+尺2—厶)

口一&)+(—&)"/ 4得習二飛Z2/ 4得習二飛Z2等價共焦腔腔長L'=2/=對稱雙凹球面腔腔長為L,反射鏡的曲率半徑R=2.5L，光波長為入，求鏡面上的基模光斑半徑。解：因為為對稱球面腔，所以假設 Z1<0,Z2>0,并且z2=-z仁z,f為等價共焦腔焦距,所以

'R仁-R=R(z1)=-(Zl+f2/z1)=-(Z+f2/Z)'R2=R=R(z2)=z1f2/z仁zf2/z上二二L/2L=z2-z1=2z f=L等價共焦腔腔長L'=2f=2L。所以鏡面上基模光斑半徑為有一凹凸腔He-Ne激光器，腔長L=30cm，凹面鏡的曲率半徑R仁50cm，凸面鏡的曲率半徑R2=30cm.利用穩定性條件證明此腔為穩定腔。求此腔產生的基模高斯光束的腰斑半徑及束腰位置求此腔產生的基模高斯光束的遠場發散角。(1)=0-8<1L(R2-L)債—垃屮丄-覽)=-0.45mS一(1)=0-8<1L(R2-L)債—垃屮丄-覽)=-0.45mS一Q=-0A5m億一島)*億-禺)卜(罠一匸)(島一 & -D=0.15/h>i=6328xl0'7J7?有一平凹腔，凹面鏡曲率半徑 R=5m,腔長L=1m，光波長社0.5m.求:兩鏡面上的基模光斑半徑；基模高斯光束的腰斑半徑及束腰位置;基模高斯光束的遠場發散角。解：⑴解：⑴f2=L(R-L)=1(5-1)=4等價共焦腔腔長L'=2f=4m， '=0.5m⑵二0.1(z/f)2 0二\L'/2二二0.56m”z1=0時，b(z1)=b0=0.56m :z2=1m時，(z2)=oJ(1/2)2=0.63m(2)腰斑半徑0二'L''/2二=0.56m，束腰在z=0處，與平面鏡重合。二0=2\/f二=2廣0二0.564rad設計一對稱光學諧振腔，腔長 L=2m,波長Q10.6呵.如選擇凹面鏡曲率半徑R=L,試求鏡面上光斑尺寸。若保持L不變，選擇R>L，并使鏡面上光斑尺寸?0s=0.3cm,問此時鏡的曲率半徑和腔中心光斑尺寸多大？解:(1)鏡面光斑尺寸(此時可把它看作對稱共焦腔)：(1)鏡面光斑尺寸(此時可把它看作對稱共焦腔)：(2)此時不能當作對稱共焦腔，但是仍然是對稱光學諧振腔，只是 R二R2二R…L根據(3-160)式可得鏡面光斑尺寸為(舍去一個與 L近似相等的解R=1.204m):1〕4二L R1〕4二L R2R-L~\ [\(R-L(2R-L)一L[R]4=2.5977[■:L(2R-L) 2(2R-2)R2丄]4=3二R:5.911m(3)LR-LR-L2R-L' (2R-2L)2((3)LR-LR-L2R-L' (2R-2L)2(25.911一2)=2.216m10.610-64.911-2.735mm某共焦腔Ne-Ne激光器，波長入=0.6328呵,若鏡面上基模光斑尺寸為0.5mm，試求共焦腔的腔長。若腔長保持不變，而波長 入=3.39口m，此時鏡面上光斑尺寸為多少？解：（1）因為鏡面上光斑尺寸為:所以等價共焦腔腔長I'=c2/0s當’=0.6328"m，0s=0.5mm時，20s20s=1.24m⑵當=3.39"m時,圖3-49為四平面反射鏡（M1?M4）構成的環形腔，在M1和M4之間放置一個薄透鏡，其焦距為f（＞0），整個腔長為L=2（2L1+L2）。（1） 確定該腔的穩定性區間。（2） 畫出該腔的雙球面鏡等價腔，并標出腔參數。（3）若f=20cm,L仁5cm,L2=10cm, 入=514.5nm.求該腔的束腰大小，位置和諧振頻率。解：(1)列出光在該戟軌很強中傳輸亠周期的變換矩陣:A町_「I0-■]LI LKD」J仃1」_01_由穩上性條件町得:?JO7宙此可備穩定性條件為：0<L/f<4⑵此腔可弄敦為對稱球面鏡腔’其光幔應位「該M價腔的中心，因此光腰位世為Ml與M2中線處°(3)L」2(2L1