74/1章節第七章日期第七章多元函數積分學一．二重積分的計算，交換積分次序與累次積分的轉換1．利用直角坐標系計算二重積分Dav(x)Dcv(y)若積分域較復雜，可將其分為若干個X—型或Y—型區域，則：jj=jj+jj+jj+DDDDDD解：積分域為正方形，而被積函數需分塊表示：DD20D00012．利用極坐標系計算二重積分DD章節第七章日期第七章多元函數積分學一．二重積分的計算，交換積分次序與累次積分的轉換1．利用直角坐標系計算二重積分Dav(x)Dcv(y)若積分域較復雜，可將其分為若干個X—型或Y—型區域，則：jj=jj+jj+jj+DDDDDD解：積分域為正方形，而被積函數需分塊表示：DD20D00012．利用極坐標系計算二重積分DDjjDfpcospsinpdpdo21D00D20D2a212aDy12換成極坐標有D:〈,D:〈換成極坐標有D:〈,D:〈DD20001000418482章節(續)日期3．交換積分次序與累次積分的轉換方法：根據已知積分限確定積分域，再根據其圖形確定變換后的積分域。0y0x000y00X，故00x解：積分域如圖，交換積分次序有：0x00為：I=f(x)dxf(y)dy，將此式加上所求有：00000x001記憶方法：先從面到面，再從線到線，最后從點到點。二．三重積分的計算1．利用直角坐標系計算三重積分1該物體的質量為：z=z1(x,y)Dz(x,y)xbzoa(D)zzaxoDzy利用投影法結果，把二重積分化為二次積分即得：oay(x)z(x章節(續)日期2．利用柱面坐標系計算三重積分例(91研)：求(x2y2z)dV，其中是由曲線x0繞z軸旋轉一周y22z解：旋轉曲面方程為：x2y22z，使用柱面坐標，有：(x2y2)/2z4:022原式2d22d(2z)dz2222z1z24d22/202/22800483303．利用球面坐標系計算三重積分T章節(續)日期T4．利用區域的對稱性與被積函數的奇偶性化簡多元函數的積分業幾4被積函數的第一項是關于x的奇函數，故：業0004022080三．曲線積分與格林公式，兩類曲線積分之間的聯系1．對弧長的曲線積分LaLaLa特別要注意弧微分公式，應用很廣泛。2．對坐標的曲線積分TT3．兩類曲線積分之間的聯系TTTT3章節(續)日期4．格林公式，積分與路徑無關的條件DL2L平面上曲線積分與路徑無關的等價條件：以下四個條件等價： L?P?Q (4)在L解：記曲線L:y=asinx(x=[0,"])，則：La0000章節(續)日期L解：添加輔助線L:y=0(x=[0,2a])使積分曲線成為閉合曲線1L120D,00020例3．(03研)已知平面區域D:〈，L為D的正向邊界，試證： L章節(續)日期由于區域D關于y=x對稱，可將x,y互換，則有：LL (2)由(1)的結論并根據esinx+esinx2esinxesinx=2有：DD四．曲面積分與高斯公式，兩類曲面積分之間的聯系章節(續)日期五．斯托克斯公式，向量場的散度和旋度1．多元函數的極值問題章節(續)日期六六．多元函數積分學的應用章節(續)日期習題及解答00次積分，它與原式相差一個符號，先將其表示為：交換積分次序并考慮到與所求相差一個符號，有：x103．(07研)設曲線L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一階連續偏導數)，過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ象限內的點N,r為L上從點M)N的一段弧，則下列積分小于零的是(B)A．jf(x,y)dxB．jf(x,y)dyC．jf(x,y)dsD．jf(x,y)dx+f(x,y)dyxyMMNNNMMrrxM章節(續)日期NMxyT xy章節(續)日期3章節(續)日期21D00D20D2a212aDy12換成極坐標有D:〈,D:〈換成極坐標有D:〈,D:〈DD2000100041848章節第七章日期第七章多元函數積分學一．二重積分的計算，交換積分次序與累次積分的轉換1．利用直角坐標系計算二重積分Dav(x)Dcv(y)若積分域較復雜，可將其分為若干個X—型或Y—型區域，則：jj=jj+jj+jj+DDDDDD解：積分域為正方形，而被積函數需分塊表示：DD20D00012．利用極坐標系計算二重積分DDjjDfpcospsinpdpdo21D00D20D2a212aDy12換成極坐標有D:〈,D:〈換成極坐標有D:〈,D:〈DD20001000418482章節(續)日期3．交換積分次序與累次積分的轉換方法：根據已知積分限確定積分域，再根據其圖形確定變換后的積分域。0y0x000y00X，故00x解：積分域如圖，交換積分次序有：0x00為：I=f(x)dxf(y)dy，將此式加上所求有：00000x001記憶方法：先從面到面，再從線到線，最后從點到點。記憶方法：先從面到面，再從線到線，最后從點到點。二．三重積分的計算1．利用直角坐標系計算三重積分1該物體的質量為：z=z1(x,y)Dz(x,y)xbzoa(D)zzaxoDzy利用投影法結果，把二重積分化為二次積分即得：oay(x)z(x章節(續)日期2．利用柱面坐標系計算三重積分例(91研)：求(x2y2z)dV，其中是由曲線x0繞z軸旋轉一周y22z解：旋轉曲面方程為：x2y22z，使用柱面坐標，有：(x2y2)/2z4:022原式2d22d(2z)dz2222z1z24d22/202/22800483303．利用球面坐標系計算三重積分T章節(續)日期T4．利用區域的對稱性與被積函數的奇偶性化簡多元函數的積分業幾4被積函數的第一項是關于x的奇函數，故：業0004022080三．曲線積分與格林公式，兩類曲線積分之間的聯系1．對弧長的曲線積分LaLaLa特別要注意弧微分公式，應用很廣泛。2．對坐標的曲線積分TT3．兩類曲線積分之間的聯系TTTT3章節(續)日期4．格林公式，積分與路徑無關的條件DL2L平面上曲線積分與路徑無關的等價條件：以下四個條件等價： L?P?Q (4)在L解：記曲線L:y=asinx(x=[0,"])，則：La0000章節(續)日期L解：添加輔助線L:y=0(x=[0,2a])使積分曲線成為閉合曲線1L120D,00020例3．(03研)已知平面區域D:〈，L為D的正向邊界，試證： L章節(續)日期由于區域D關于y=x對稱，可將x,y互換，則有：LL (2)由(1)的結論并根據esinx+esinx2esinxesinx=2有：DD四．曲面積分與高斯公式，兩類曲面積分之間的聯系章節(續)日期五．斯托克斯公式，向量場的散度和旋度1．多元函數的極值問題章節(續)日期六六．多元函數積分學的應用章節(續)日期習題及解答00次積分，它與原式相差一個符號，先將其表示為：交換積分次序并考慮到與所求相差一個符號，有：x103．(07研)設曲線L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一階連續偏導數)，過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ象限內的點N,r為L上從點M)N的一段弧，則下列積分小于零的是(B)A．jf(x,y)dxB．jf(x,y)dyC．jf(x,y)dsD．jf(x,y)dx+f(x,y)dyxyMMNNNMMrrxM章節(續)日期NMxyT xy章節(續)日期3章節(續)日期章節第七章日期第七章多元函數積分學一．二重積分的計算，交換積分次序與累次積分的轉換1．利用直角坐標系計算二重積分Dav(x)Dcv(y)若積分域較復雜，可將其分為若干個X—型或Y—型區域，則：jj=jj+jj+jj+DDDDDD解：積分域為正方形，而被積函數需分塊表示：DD20D00012．利用極坐標系計算二重積分DDjjDfpcospsinpdpdo21D00D20D2a212aDy12換成極坐標有D:〈,D:〈換成極坐標有D:〈,D:〈DD20001000418482章節(續)日期3．交換積分次序與累次積分的轉換方法：根據已知積分限確定積分域，再根據其圖形確定變換后的積分域。0y0x000y00X，故00x解：積分域如圖，交換積分次序有：0x00為：I=f(x)dxf(y)dy，將此式加上所求有：00000x001記憶方法：先從面到面，再從線到線，最后從點到點。二．三重積分的計算1．利用直角坐標系計算三重積分1該物體的質量為：z=z1(x,y)Dz(x,y)xbzoa(D)zzaxoDzy利用投影法結果，把二重積分化為二次積分即得：oay(x)z(x章節(續)日期2．利用柱面坐標系計算三重積分例(91研)：求(x2y2z)dV，其中是由曲線x0繞z軸旋轉一周y22z解：旋轉曲面方程為：x2y22z，使用柱面坐標，有：(x2y2)/2z4:022原式2d22d(2z)dz2222z1z24d22/202/22800483303．利用球面坐標系計算三重積分T章節(續)日期T4．利用區域的對稱性與被積函數的奇偶性化簡多元函數的積分業幾4被積函數的第一項是關于x的奇函數，故：業0004022080三．曲線積分與格林公式，兩類曲線積分之間的聯系1．對弧長的曲線積分LaLaLa特別要注意弧微分公式，應用很廣泛。2．對坐標的曲線積分TT3．兩類曲線積分之間的聯系TTTT3章節(續)日期4．格林公式，積分與路徑無關的條件DL2L平面上曲線積分與路徑無關的等價條件：以下四個條件等價： L?P?Q (4)在L解：記曲線L:y=asinx(x=[0,"])，則：La0000章節(續)日期L解：添加輔助線L:y=0(x=[0,2a])使積分曲線成為閉合曲線1L120D,00020例3．(03研)已知平面區域D:〈，L為D的正向邊界，試證： L章節(續)日期由于區域D關于y=x對稱，可將x,y互換，則有：LL (2)由(1)的結論并根據esinx+esinx2esinxesinx=2有：DD四．曲面積分與高斯公式，兩類曲面積分之間的聯系章節(續)日期五．斯托克斯公式，向量場的散度和旋度1．多元函數的極值問題章節(續)日期六六．多元函數積分學的應用章節(續)日期習題及解答00次積分，它與原式相差一個符號，先將其表示為：交換積分次序并考慮到與所求相差一個符號，有：x103．(07研)設曲線L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一階連續偏導數)，過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ象限內的點N,r為L上從點M)N的一段弧，則下列積分小于零的是(B)A．jf(x,y)dxB．jf(x,y)dyC．jf(x,y)dsD．jf(x,y)dx+f(x,y)dyxyMMNNNMMrrxM章節(續)日期NMxyT xy章節(續)日期33．交換積分次序與累次積分的轉換方法：根據已知積分限確定積分域，再根據其圖形確定變換后的積分域。0y0x000y00X，故00x解：積分域如圖，交換積分次序有：0x00為：I=f(x)dxf(y)dy，將此式加上所求有：0001200 x00章節第七章日期第七章多元函數積分學一．二重積分的計算，交換積分次序與累次積分的轉換1．利用直角坐標系計算二重積分Dav(x)Dcv(y)若積分域較復雜，可將其分為若干個X—型或Y—型區域，則：jj=jj+jj+jj+DDDDDD解：積分域為正方形，而被積函數需分塊表示：DD20D00012．利用極坐標系計算二重積分DDjjDfpcospsinpdpdo21D00D20D2a212aDy12換成極坐標有D:〈,D:〈換成極坐標有D:〈,D:〈DD20001000418482章節(續)日期3．交換積分次序與累次積分的轉換方法：根據已知積分限確定積分域，再根據其圖形確定變換后的積分域。0y0x000y00X，故00x解：積分域如圖，交換積分次序有：0x00為：I=f(x)dxf(y)dy，將此式加上所求有：00000x001記憶方法：先從面到面，再從線到線，最后從點到點。二．三重積分的計算1．利用直角坐標系計算三重積分1該物體的質量為：z=z1(x,y)Dz(x,y)xbzoa(D)zzaxoDzy利用投影法結果，把二重積分化為二次積分即得：oay(x)z(x章節(續)日期2．利用柱面坐標系計算三重積分例(91研)：求(x2y2z)dV，其中是由曲線x0繞z軸旋轉一周y22z解：旋轉曲面方程為：x2y22z，使用柱面坐標，有：(x2y2)/2z4:022原式2d22d(2z)dz2222z1z24d22/202/22800483303．利用球面坐標系計算三重積分T章節(續)日期T4．利用區域的對稱性與被積函數的奇偶性化簡多元函數的積分業幾4被積函數的第一項是關于x的奇函數，故：業0004022080三．曲線積分與格林公式，兩類曲線積分之間的聯系1．對弧長的曲線積分LaLaLa特別要注意弧微分公式，應用很廣泛。2．對坐標的曲線積分TT3．兩類曲線積分之間的聯系TTTT3章節(續)日期4．格林公式，積分與路徑無關的條件DL2L平面上曲線積分與路徑無關的等價條件：以下四個條件等價： L?P?Q (4)在L解：記曲線L:y=asinx(x=[0,"])，則：La0000章節(續)日期L解：添加輔助線L:y=0(x=[0,2a])使積分曲線成為閉合曲線1L120D,00020例3．(03研)已知平面區域D:〈，L為D的正向邊界，試證： L章節(續)日期由于區域D關于y=x對稱，可將x,y互換，則有：LL (2)由(1)的結論并根據esinx+esinx2esinxesinx=2有：DD四．曲面積分與高斯公式，兩類曲面積分之間的聯系章節(續)日期五．斯托克斯公式，向量場的散度和旋度1．多元函數的極值問題章節(續)日期六六．多元函數積分學的應用章節(續)日期習題及解答00積分，它與原式相差一個符號，先將其表示為：交換積分次序并考慮到與所求相差一個符號，有：x103．(07研)設曲線L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一階連續偏導數)，過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ象限內的點N,r為L上從點M)N的一段弧，則下列積分小于零的是(B)A．jf(x,y)dxB．jf(x,y)dyC．jf(x,y)dsD．jf(x,y)dx+f(x,y)dyxyMMNNNMMrrxM章節(續)日期NMxyT xy章節(續)日期3二．三重積分的計算1．利用直角坐標系計算三重積分1該物體的質量為：z=z1(x,y)Dz(x,y)xbzoa(D)zzaxoDzy利用投影法結果，把二重積分化為二次積分即得：oay(x)z(x記憶方法：先從面到面，再從線到線，最后從點到點。 章節第七章日期第七章多元函數積分學一．二重積分的計算，交換積分次序與累次積分的轉換1．利用直角坐標系計算二重積分Dav(x)Dcv(y)若積分域較復雜，可將其分為若干個X—型或Y—型區域，則：jj=jj+jj+jj+DDDDDD解：積分域為正方形，而被積函數需分塊表示：DD20D00012．利用極坐標系計算二重積分DDjjDfpcospsinpdpdo21D00D20D2a212aDy12換成極坐標有D:〈,D:〈換成極坐標有D:〈,D:〈DD20001000418482章節(續)日期3．交換積分次序與累次積分的轉換方法：根據已知積分限確定積分域，再根據其圖形確定變換后的積分域。0y0x000y00X，故00x解：積分域如圖，交換積分次序有：0x00為：I=f(x)dxf(y)dy，將此式加上所求有：00000x001記憶方法：先從面到面，再從線到線，最后從點到點。二．三重積分的計算1．利用直角坐標系計算三重積分1該物體的質量為：z=z1(x,y)Dz(x,y)xbzoa(D)zzaxoDzy利用投影法結果，把二重積分化為二次積分即得：oay(x)z(x章節(續)日期2．利用柱面坐標系計算三重積分例(91研)：求(x2y2z)dV，其中是由曲線x0繞z軸旋轉一周y22z解：旋轉曲面方程為：x2y22z，使用柱面坐標，有：(x2y2)/2z4:022原式2d22d(2z)dz2222z1z24d22/202/22800483303．利用球面坐標系計算三重積分T章節(續)日期T4．利用區域的對稱性與被積函數的奇偶性化簡多元函數的積分業幾4被積函數的第一項是關于x的奇函數，故：業0004022080三．曲線積分與格林公式，兩類曲線積分之間的聯系1．對弧長的曲線積分LaLaLa特別要注意弧微分公式，應用很廣泛。2．對坐標的曲線積分TT3．兩類曲線積分之間的聯系TTTT3章節(續)日期4．格林公式，積分與路徑無關的條件DL2L平面上曲線積分與路徑無關的等價條件：以下四個條件等價： L?P?Q (4)在L解：記曲線L:y=asinx(x=[0,"])，則：La0000章節(續)日期L解：添加輔助線L:y=0(x=[0,2a])使積分曲線成為閉合曲線1L120D,00020例3．(03研)已知平面區域D:〈，L為D的正向邊界，試證： L章節(續)日期由于區域D關于y=x對稱，可將x,y互換，則有：LL (2)由(1)的結論并根據esinx+esinx2esinxesinx=2有：DD四．曲面積分與高斯公式，兩類曲面積分之間的聯系章節(續)日期五．斯托克斯公式，向量場的散度和旋度1．多元函數的極值問題章節(續)日期六六．多元函數積分學的應用章節(續)日期習題及解答00次積分，它與原式相差一個符號，先將其表示為：交換積分次序并考慮到與所求相差一個符號，有：x103．(07研)設曲線L:f(x,y)=1(f(x,y)具有一階連續偏導數)，過第Ⅱ象限內的點M和第Ⅳ象限內的點N,r為L上從點M)N的一段弧，則下列積分小于零的是(B)A．jf(x,y)dxB．jf(x,y)dyC．jf(x,y)dsD．jf(x,y)dx+f(x,y)dyxyMMNNNMMrrxM章節(續)日期NMxyT xy章節(續)日期32．利用柱面坐標系計算三重積分例(91研)：求(x2y2z)dV，其中是由曲線x0繞z軸旋轉一周y22z解：旋轉曲面方程為：x2y22z，使用柱面坐標，有：(x2y2)/2z4:022原式2d22d(2z)dz2222z1z24d22/202/22800483303．利用球面坐標系計算三重積分 章節第七章日期第七章多元函數積分學一．二重積分的計算，交換積分次序與累次積分的轉換1．利用直角坐標系計算二重積分Dav(x)Dcv(y)若積分域較復雜，可將其分為若干個X—型或Y—型區域，則：jj=jj+jj+jj+DDDDDD解：積分域為正方形，而被積函數需分塊表示：DD20D00012．利用極坐標系計算二重積分DDjjDfpcospsinpdpdo21D00D20D2a212aDy12換成極坐標有D:〈,D:〈換成極坐標有D:〈,D:〈DD2000