第三節代際交疊中的兩期壽命戴蒙德模型也稱為代際交疊模型，它與拉姆齊模型一起被稱為是以微觀為基礎的兩個宏觀經濟學基本模型。這是戴蒙德(Damond，1965)在阿萊(Allais，1947)和薩繆爾森(Sanuelson，1958)早期研究成果基礎上建立的。戴蒙德模型與拉姆齊-卡斯-庫普曼模型之間的主要差異是存在著人口的新老交替，而不是一個數量固定的永久性生存的家庭【他們的效用函數也是相同的】。在這一模型中，新的人口不斷出生，老的人口不斷消亡。為了簡化分析，模型假設每個人只活兩期，即年輕期與老年期。Lt代表t時期出生的人。如果人口以速率n增長，則Lt＝(1+n)Lt-1。由于個人只生活兩個時期，因此在t時期，存在Lt個正處在他們生命第一時期的個人，并且存在個正處在其生命的第二時期的個人。每個人在其年輕時供給一單位的勞動，并且將所得到的勞動收入在第一期的消費與儲蓄之間進行分配。在第二時期，個人只是簡單地消費其獲得的儲蓄與利息。戴蒙德模型的設計第三節代際交疊中的兩期壽命設C1t與C2t代表年輕與年老兩代人在t時期的消費。這樣，在t時期出生的人的效用依存于C1t與C2t+1【指t+1時期年老者的消費，不是2乘以t+1】。再次假設不變相對風險厭惡效用函數為：這個函數是為了平衡增長所需要的。由于生命是有限的，不再假設ρ>n+(1-θ)g以確保終生效用不再發散。ρ代表權重【分析上的意義相當于貼現率】，如果ρ>0，則個人給第一時期的權重大于第二消費時期，如果ρ<0，則情形相反。同時需要假設ρ>-1，以確保第二消費時期的權數為正。戴蒙德模型的設計（續）第三節代際交疊中的兩期壽命對廠商來說，生產的假設與前面相同。一個社會中存在著眾多廠商，每個廠商具有生產函數Yt=F(Kt,AtLt)。F(?)具有不變的規模報酬并滿足稻田(Inada)條件，并且A再次以外生速率g增長。市場是競爭性的，因此勞動與資本可獲得其邊際產出，廠商獲得零利潤。不存在折舊。真實利率與每單位有效勞動的工資由和確定。最后，存在一些初始的資本存量k0，它們由一切老年個人均等地持有。在初始時期內，由老年人擁有的資本與年輕人供給的勞動被結合起來生產產出。老年人消費其資本收入與現存財富，然后他們在模型中消失。年輕人則把他們的勞動收入wtAt分配在消費和儲蓄上。他們把其儲蓄帶入下一時期，因此在t+1時期內資本存量Kt+1等于t時期年輕人的數量Lt乘以這些個人的儲蓄wtAt-C1t。這種資本與下一代的年輕人供給的勞動相結合，這個過程不斷延續。戴蒙德模型的設定（續）第三節代際交疊中的兩期壽命根據上述假設，可以分析戴蒙德模型中的家庭行為。可知在t時刻出生的人的第二期消費如下列公式所示：當上式的兩邊同時除以(1+rt+1)并把C1t移到左邊，可以得到如下的預算約束：這個條件表明，終生消費的現值等于其初始財富(為零)加上終生勞動收入的現值(即wtAt)【模型開始時刻有初始財富，以使老年者有消費能力(更符合實際)，其后任意時刻t沒有初始財富，老年者的消費能力來自自己年輕時的儲蓄】。在式(5-27)的預算約束下，個人按式(5-25)最大化其效用。求解這個最大化問題有兩種方式：第一種方式是沿用拉姆齊模型中的歐拉方程式進行推導。第二種方式是構造拉格朗日函數求解最大化問題。家庭行為第三節代際交疊中的兩期壽命方式一：歐拉方程由于戴蒙德模型是關于離散時間的，因此歐拉方程的推導較之拉姆齊模型更為容易。設想如果個人將消費C1t減少了較小的數量ΔC，接著利用新增的儲蓄與資本收入把C2t+1提高了(1+rt+1)ΔC。這種改變并不影響個人終生消費流的現值【即新增部分的貼現值等于當前減少值】。因此，如果個人正在進行最優化，效用成本與變動的收益必定是相等的。如果成本小于收益，個人會通過作出改變而增加其終生效用；如果成本大于收益，個人則通過作出相反的改變而增加效用。第三節代際交疊中的兩期壽命方式一：歐拉方程（續）C1t與C2t+1對終生效用的邊際貢獻分別是與。設ΔC趨于零，變動的邊際成本就趨于，并且效用收益接近。當個人正在進行最優化時，它們是相等的。因此，最優化要求：兩邊同時消去ΔC可得：這個條件與預算約束描述了家庭中個人的行為。式(5-30)與拉姆齊模型中的歐拉方程類似，它意味著個人消費是否隨著時間的變化遞增或遞減---這取決于實際報酬大于還是小于貼現率【即權重】。公式中的θ決定了個人如何對r和ρ之間的差異作出反應，這種反應直接造成了消費行為的變化。第三節代際交疊中的兩期壽命方式二：拉格朗日函數構造拉格朗日函數去求解這個的最大化問題：上式中C1t與C2t+1的一階條件是：把式（5-32）代入式（5-33）得：將式(5-34)整理后也就可以得到式(5-30)相同結果。第三節代際交疊中的兩期壽命方式二：拉格朗日函數（續）可以利用歐拉方程與預算約束寫出用勞動收入與實際利率表達的C1t。將式（5-30）兩邊乘以C1t，并代人預算方程可以得到下式：將上式變型后，得到：方程(5-36)表明利率決定了第一時期的單個消費者的收入份額。設s(r)表示收入被儲蓄的部分，那么式(5-36)則意味著：第三節代際交疊中的兩期壽命方式二：拉格朗日函數（續）

式(5-37)意味著，年輕人的儲蓄是隨著的遞增而遞增的。由于關于r的導數是，因此如果θ<1，s關于r是遞增的；如果θ>1，s關于r是遞減的。r的上升具有收入與替代雙重效應。如果兩個時期消費之間的替代對第二時期的消費而言是有利的【跨期替代彈性較大】，將使人們趨向于增加儲蓄(替代效應)。如果既定的儲蓄量會帶來第二時期的更大消費，這將使人們傾向于減少儲蓄(收入效應)。因此，當人們十分樂于【富有彈性意味著偏好于跨期替代】在兩個時期進行消費替代以利用報酬率（上升）的激勵(即θ低)，替代效應相對占優。當個人對兩個時期內的相似消費水平有強有力的偏好時(即θ高)，收人效應相對占優。θ＝1是對數效用的特殊情況【即邊際效用遞減速率與θ無關】，儲蓄率是常數，僅取決于貼現率或權重。第四節戴蒙德模型的動態分析從動態角度看，戴蒙德模型中的k的運動和演化可以說明很多問題。由于t+1時期的資本存量等于t時刻年輕人的儲蓄量，因此有：這里，t時刻的儲蓄依存于該時刻對下個時期資本報酬的預期。這便是t時期的w與t+1時期的r進入t+1時期的資本存量的表達式。將式(5-38)兩邊除以Lt+1At+1，得到一個關于每單位有效勞動的表達式：代換rt+1和wt可以獲得：第四節戴蒙德模型的動態分析為了直覺上理解的方便，把式(5-40)改寫如下：式（5-41）把t+1時期的單位有效勞動的資本表示為四個子項的乘積。從右至左，這四個子項的內容如下：在t時期單位有效勞動的產出；支付給勞動的產出份額；勞動收入中被儲蓄的部分；以及t時期有效勞動量與t+1時期的有效勞動量之比。第四節戴蒙德模型的動態分析圖5-4a表明了存在k的多個值的情形。很顯然，k1*和k3*是穩定的，k2*是不穩定的。如果產量占勞動收入的比重與勞動收入中儲蓄所占的比重不變，則不可能出現多個k*。例如服從柯布-道格拉斯生產函數和對數效用，則k*是惟一的【附錄】。附錄：平衡增長路徑(對數效用和柯布-道格拉斯生產函數)第四節戴蒙德模型的動態分析圖5-4b表明了一個kt+1總是小于kt的情景。在這種情況下，無論k的初始值如何，k都會收斂于零。這種情景發生的必要條件是，隨著k趨于零，或者勞動的收入份額或勞動收入中被儲蓄的份額趨于零。第四節戴蒙德模型的動態分析圖5-4c表明如果k的初始值是充分低的，k收斂于零，但如果k的初姑值充分高，k收斂于一個嚴格為正的水平。如果k0<k1*，那么k趨于零，如果k0>k1*，則k收斂于k2*。第四節戴蒙德模型的動態分析圖5-4d表明在kt+1并不是唯一地由kt決定的情景：當kt處在ka和kb之間時，總會存在kt+1的三個可能值：如果儲蓄是利率的一個減函數，這種情景就可能發生。當儲蓄關于r是遞減的時候，如果個人預期一個較高的kt+1的值，并因此預期r是較低的，那么儲蓄將很高。當個人預期一個較低的kt+1值時，儲蓄就很低。如果儲蓄對r作出充分的反應，并且如果r對k作出充分的反應，那么必然存在一個以上的同既定水平的kt相一致的kt+1值。因此，這時經濟的路徑是不確定的，即使沒有外部沖擊，經濟也會波動。第四節戴蒙德模型的動態分析假設存在代際交疊而非永久生存的家庭，這一點對動態經濟具有重要含義。例如，由上述分析可知，可持續增長可能是不可行的，或者它可能依存于某種初始條件。戴蒙德模型與拉姆齊－卡斯－庫普曼模型的平衡增長路徑之間的主要差異涉及到社會福利最大化問題。拉姆齊－卡斯－庫普曼模型的均衡使代表性家庭的福利達到了最大化【由于所有家庭是相同的，社會計劃者的任何調整都是非帕累托改進】。而在戴蒙德模型中，不同時間出生的個人獲得的效用水平是不同的，并且估價社會福利的方式也不很清楚。即使簡單的把福利界定為不同代人效用的加權和，那么就很難預期分散型經濟的均衡會達到福利最大化，因為給不同代人的權重分配是很隨意的【從公式(5-30)可以看出，不同時期出生的個人的消費路徑隨著權重的變化而變化】。第四節戴蒙德模型的動態分析小結效率的最低標準是均衡的帕累托有效。如果以這個標準衡量，戴蒙德模型很難滿足【即使是完全競爭的條件下（但是存在無限個體的情況）】。對這一現象的解釋是：代際的無限性賦予計劃者給老年人提供消費的工具-它是市場所不能利用的【市場經濟中的個人想在年老時消費，唯一的選擇是持有資本（儲蓄），即使資本的報酬率較低】。社會計劃不必根據資本存量及其報酬率決定老年人的消費。相反，其能用任何方式把可以利用于消費的資源在年輕人與老年人之間進行配置。例如，計劃者只關心把來自每個年輕人的1單位勞動收入轉移給老年人。由于對應每個老年人，存在著1+n個年輕人，這便會給每一個老年人增加數量為(1+n)單位的消費【此時年輕人受損】。計劃者通過要求年輕人的下一代在隨后的時期內去做同樣的事【此時原來受損的年輕人成為了老年人，獲得1+n】，以阻止這種使其他人處境惡化的變動【任何時間出生的人從其一生來看可以沒有凈損失(比如當r<n的條件下)】，并因而會在每個時期繼續這個過程。如果資本的邊際產品小于n，即資本存且大于黃金律水平，則把資源在老一代與新一代之間進行轉移的方法比儲蓄更為有效【儲蓄的增值比小于n，而年輕時損失1將來年老時能獲得1+n(增值比相當與n)】，計劃者可以在分散配