剛體定點運動的動力學第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五§11.1歐拉角歐拉運動學方程一.歐拉角固定坐標系:固定在剛體上的動坐標系:.確定z軸的位置:第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五進動章動第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五二.歐拉運動學方程動系中:第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五------歐拉運動學方程§11.2剛體定點運動的角動量和動能慣量張量本節介紹剛體作定點運動時具有的動量、角動量、動能的計算。第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五一.剛體做定點運動時對定點的角動量的計算可知一般與不共線,只在某些特殊方向上∥試推導上式分量形式:第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五令:剛體對x軸的軸轉動慣量剛體對y軸的軸轉動慣量剛體對z軸的軸轉動慣量第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五及:慣量積則:(11.2.6’)第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五現對上述結果進行分析：1）慣性系數決定于剛體質量對坐標系的分布。慣性系數也可用積分形式代替（11.2.6’）式；

慣量系數是點坐標的函數,所以用靜止的坐標系時,剛體轉動時,慣量系數隨之而變.通常選取固著在剛體上、并隨著剛體一同轉動的動坐標系,這樣,慣量系數都是常數．第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五張量I也可寫成并矢形式：二.慣量張量慣量張量是用來描述剛體定點轉動的慣性的物理量；而轉動慣量是描述剛體定軸轉動的慣性的物理量。（11.2.6’）式用矩陣表示:線性變換關系稱為仿射變換第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五三.慣量主軸使剛體對固定點的慣量張量中所有慣量積為零的坐標系為該點（O點）的主軸坐標系。第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五若剛體定點運動的角速度沿一主軸方向，則角動量為如何尋找慣量主軸呢？1）對均勻對稱的剛體，其對稱軸是軸上各點的慣量主軸。分析：某軸(設x軸)要為固定O點的慣量主軸的必要條件.設剛體以角速度繞x軸轉動,則,根據第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五若對稱軸為X軸，剛體上有2）剛體的對稱面的法線，也是該法線所在軸上各點的慣量主軸證明：第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五3）坐標系的兩個軸是慣量主軸，則第三個軸也是主軸，此坐標系是主軸坐標系。4）以勻質旋轉對稱剛體的旋轉對稱軸（剛體繞此軸轉過任意角度都對稱）為一軸的坐標系是主軸坐標系。第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五四.剛體做定點運動時的動能把式代入上式得主軸坐標系上動能表達式:第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五其中I為剛體對瞬時軸的轉動慣量.五.慣量橢球研究剛體對過定點的一個軸的轉動慣量的表達式.以剛體固定點為原點建立坐標系Oxyz坐標系，過O點的l軸方向余弦為第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五考慮到----------------------如已知固定點的慣量張量,則可得過此點的任何軸的轉動慣量.第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五我們從幾何圖象來描述轉動慣量隨軸方向分布的情況.在轉動軸上取一長為R的線段OP,令則P點的坐標將是代入式得P點的軌跡是:--------橢球面,反映了轉動慣量的分布情況,又稱慣量橢球.第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五幾點說明:1)對剛體不同固定點,有不同的慣量橢球,它屬于剛體中某一點.2)慣量橢球的3個對稱軸是固定點的3個互相垂直的主軸,若,則慣量橢球是個旋轉橢球;如,則慣量橢球為圓球.3)利用慣量橢球可知剛體對固定點的角動量L的方向是沿過橢球面角速度矢量與慣量橢球相交點P點的法線方向上.(證明見書P303)第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例題1:一勻質薄圓盤能繞其中心O點做定點轉動,其質量為m,半徑為R,已知英雄模范瞬時圓盤繞壺中心與盤面成角的軸以角速度轉動,試求此時圓盤對中心的角動量和圓盤的動能,以及圓盤對此軸的轉動慣量.解:建立過O點的主軸坐標系,依題意有:圓盤對O點的角動量為:第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五圓盤的動能為:第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五§11.3歐拉動力學方程一.歐拉動力學方程我們采用剛體固定點的主軸坐標系Oxyz,并與剛體固連,則剛體對定點的角動量為:采用動坐標系，角動量定理為：第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五所以（11.3.2)式的投影方程為:——歐勒動力學方程思考為何這里采用動坐標系,沒考慮慣性力?第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五結合歐拉運動學方程來求解剛體定點運動問題,但這兩個方程組求解困難,到目前為止,只有在下列三種情況才得到解析解.歐勒—潘索情況:剛體不受外力矩作用的定點運動.第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五2.拉格朗日—泊松情況:即陀螺在重力場中的運動，要求對固定點O所作的慣量橢球是一旋轉橢球,亦即3個主轉動慣量中有兩個相等，Ix=Iy,重心則位于動力對稱軸上但不與固定點重合.回轉儀.3.C.B.柯凡律夫斯卡雅情況:在這一情況下，Ix＝Iy＝2Iz,而重心則在Oxy平面上.這也是一種對稱陀螺.二.直接用角動量定理和質心運動定理外理比較簡單的定點運動問題已知剛體的運動，求作用在剛體上的約束力。第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五例1

一個均質圓盤,由于安裝不善,渦輪轉動軸與盤面法線成交角.圓盤質量為m,半徑r,中心O在轉軸上,O至兩軸承A與B的距離均為a.設軸以角速度轉動,試求軸承上的壓力解：以圓盤和轉軸為系統，建立圓盤中心O點的主軸坐標系；為分解約束力再建對Z軸角動量知，第二十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五圓盤對O點的角動量為上式在X，Y方向的投影為：第二十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期五質心運動定理為：由（4）-（7）得：由上式可知，當高速運轉部件安裝不善造成對軸承的動壓力危害很大，因而要求高速運轉部件安裝精度高，另外可通過動平