2017高數一復第章立幾第3空點、直線平面間位關習A組基鞏固一、選擇題1．設表一個點，、表示兩條直線α、表兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是()①∈，P∈α；②∩＝P，βaβ；③∥，aα，b，P∈bα；④∩β＝，∈，∈β∈.A．①②C．①④

B．②③D．③④[答案]D[解析]當∩α＝，，∈，∈α，a?，①；a∩＝時②錯；如圖，∵∥，∈b，∴?，∴由直線a與點定唯一平面α，又∥，a與確唯一平面β，β經過直線a與點，∴β與α重合，α，③正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確．2．以下四個命題中，①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A、、C、共，點A、、、面，則點A、、、、共面③若直線ab共面，直線a、c共，則直線共；④依次首尾相接的四條線段必共面．正確命題的個數是導學號25401668()A．0C．2

B．1D．3[答案]B[解析]①顯然是正確的；②中若、、三點共線，則A、、C、、五不一定共面；③構造長方體或正方體，如圖顯異面，故不正確；④中空間四邊形四條線段1

不共面，故只有①正確．3(2015·山西大同一中上學期)如圖方體ABCDABC中是異面直線AD與AC的垂線，則直線PQ的置關系為導號25401669()A．平行C．相交

B．異面D．無法判斷[答案]B[解析]也能相交，③不正確；過平面α的一條斜線有且只有一個平面與平面α垂直，正確，因為一條斜線只有一條射影，只能確定一個平面．故選B.4．若是條異面直線l，外任意一點，則學號25401670()A．過點P有且僅有一條直線與，平行B．過點P有且僅有一條直線與，垂直C．過點P有且僅有一條直線與，相交D．過點P有且僅有一條直線與，異面[答案]B[解析]對選項A，若過點P有直n與都行，則∥m，這與m異矛盾；對于選項B，過點P與lm都垂的直線，即過且與l的垂線段平行的那一條直線；對于選項C，過點與都交的直線有一條零條；對于選項D，點Pl異面的直線可能有無數條．5．已知在正四棱柱ABCD－BD中AA＝AB中點，則異面直線所成角的余弦值為導學號25401671A.C.

101031010

1B．53D．5[答案]C[解析]連BA∥∠就異面直線BE與所的(或補角2

5＋2－AB＝，則BE＝2BA＝5，＝，在eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BE中cos∠ABE＝25·2

310＝，C.106．(2015·浙江金麗衢十二校二已知a，，c為條不同的直線，且平M，b平NM∩＝.①若a與b是異面直線，則c至與中一條相交；②若a不直于，則a與一不垂直；③a∥，則必有∥c；④若⊥，⊥，則必有M⊥其中正確命題的個數是導學號25401672A．0C．2

B．1D．3[答案]C[解析]命①③正確，命題②④錯誤．其中命題②中a和b有可能垂直；命題④中當∥時平面，有能不垂直，故選C.二、填空題7．(教材改)如圖所示，平面α，β，兩相交，a，，為條交線，且a∥，則與c，與c位置關系____________________.導號25401673[答案]∥b∥[解析]∵∥，α，α，∴∥α.又∵bβ，α∩β＝，∴∥.∴∥∥.8．(2013·江西改)如，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上且AB∥CD，正方體的六個面所在的平面直線CE相交的平面個數分別記為，那么＋＝____________________.導號25401674[答案]8[解析]取CD的點，連接EH，.在四面體CDEF，⊥EH⊥，以CD⊥平面所AB⊥平面EFH所正方體的左右個側面與EF行其余平面與EF相交即n＝又為CE與AB在同一平面內以與方體下底面共面上底面平行，與其余四個面相交，即＝4，所以m＋＝＋＝8.9．若兩條異面直線所成的角為60°則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連3

接正方體各頂點的所有直線中，異面直線”共有____________________對導號25401675[答案]24[解析]正體如圖，若要出現所成角為60°異面直線，則直線為面對角線，以AC為例，與之構成黃金異面直線對的直線有4條分別是A′，BC′A′，′，正方體的12×4面對角線有12條，以所求的黃金異面直線對共有＝24(對)．210．(2015·浙江)如圖，在三棱－，AC＝CD，AD＝，M，N分別為，的點，則異面直線，CM所成的角的余弦值是____________________.導號25401676[答案]

78[解析]如所示，連接ND取ND的中點E，連接MECE則ME∥，則異面直線，所的角即為∠EMC由題可知CN＝1，＝2，∴ME＝2.CM＋－8＋2－又CM22＝222＝cos＝＝2CM×EM2×22×27＝.8三、解答題11如空四邊形中EG分別在ABCD上且足AEEBCFFB＝1，CG＝1，過EF、的面交于H.導號254016774

(1)求；(2)求證：、、三線共點．[答案](1)AH＝31(2)略AECF[解析](1)解∵＝＝，EFACEBFB∴∥平面ACD而EF平，平面∩平面＝GH∴∥，∴AC∥.AHCG∴＝＝∴AH＝1.HDGDEF11(2)證明：∵∥，且＝，＝，AC34∴∥，∴EFGH為梯形．令EHFG，則P∈，而EH平，又∈，平面，平面∩面BCD＝，∴∈BD∴、FG、三共．12．如圖，在四棱錐O－ABCD中，面ABCD是長為2的方⊥底面OA＝，為的中.導號25401678(1)求四棱錐O－的積；(2)求異面直線與所成角的正切值的大小．86[答案](1)(2)33[解析](1)由知可求得，正方形ABCD的積＝，所以，四棱錐－的體積V18＝×4×2＝.33(2)連接AC，設線段的中點為E，連接ME，，5

22則∠EMD為異面直線與所的(或其補，由已知，可得＝2，＝3＝5，∵2)＋3)＝5)，∴△DEM為直角三角形，DE∴tan∠EMD＝＝EM

23

＝

63

.B組能提升1．(2015·江西七校聯)已知線a和面αβ，α∩β＝a?α，a?β，a在α，β內的射影分別為直線b和，則直線bc的位關系是導號25401679(A．相交或平行C．平行或異面

B．相交或異面D．相交、平行或異面[答案]D[解析]依意，直線b和c的位關系可能是相交、平行或異面，故選D.2．(2015·山東青島平度三校上期期)如圖，正方體ABCDABC的長為1線1段上兩個動點E，，EF＝，下列結中錯誤的是導號25401680()A．⊥BEB．∥面C．三棱錐A的體積為定值D．△AEF的積與△的面積相等[答案]D[解析]因AC⊥平面BDD，BE平BDD，以AC，選正確．根據線面平行的判定定理，知B項正確．為三棱錐的底的面積是定值，且點到面B的距離是定值

22

，所以其體積為定值，故C正．很顯然，點和B到的離是不相6

等的，故D是誤的．故選D.3．如圖是正四面(各面均為正角形的平面展開圖GHM分為BEEFEC的中點，在這個正四面體中，①與平；②與為面直線；③與成60°角；④與垂．以上四個命題中，正確命題的序號____________________.導學號25401681[答案]②④[解析]還成正四面體知GH與EF為面直線與為面直線與MN成60°角，⊥.4如在方體ABCD－中為正方形ABCD的心H為線BD與面的交點．求證：、、O三共線導號25401682[證明]連BDBD，則BDAC，∵BB綊，∴四邊形BBD為行四邊形，又∈，平BBDD則∈平面BBD，∵平面ACD∩面DDOD，∴∈.即、、點共線．5．如圖所示，等腰直角三角形中∠＝90°＝2，DA⊥，⊥AB若DA＝，E為的中點．求異面直線BECD所角的余弦.導號254016837

[答案]

1010[解析]取AC的點F，連接，，在△ACD中，、分別是AD、的點，∴∥.∴∠BEF或其補角即為異面直線BE