第三章能量方法§3－1概述§3－2應變能·余能§3－3卡氏定理§3－4用能量法解超靜定系統§3－5虛位移原理及單位力法1第三章能量方法§3－1概述圖中AB和AC桿的直徑分別是d1=12mm,d2=15mm，彈性模量均為E=210GPa。試求A點在鉛垂方向的位移。x45o30oyA(b)F1A45o30o2Dl1A'Dl2

DAy(c)(a)

若用解析法求解時，必須利用圖c列出變形的幾何關系，計算比較麻煩。2若利用外力功在數值上等于應變能，即利用功和能的概念求解變形固體的位移、變形和內力的方法統稱為能量法。能量法的應用很廣，也是有限元法求解固體力學問題的重要基礎。有專門著作，例如胡海昌著《彈性力學的變分原理及應用》。本章僅研究能量法中常用的一些原理和應用。第三章能量方法就不需要用到變形幾何關系，計算較為簡便。3(a)軸向拉（壓）桿Ⅰ應變能第三章能量方法（1）線彈性體1.基本變形形式【材料力學（Ⅰ）】利用應變能在數值上等于外力功W，可得§3－2應變能·余能4

(b)扭轉第三章能量方法5(c)彎曲第三章能量方法純彎曲

橫力彎曲6可以把應變能統一寫成式中，F為廣義力，可以代表一個力,一個力偶,一對力或一對力偶等。D為廣義位移，可以代表一個線位移,一個角位移,一對線位移或一對角位移等。第三章能量方法72.構件上有一組廣義力共同作用令F=F1

,wC=D1

,Me=F2

,qA=D2

,則（）（）第三章能量方法

例CwCFEIABMel/2l/2qA,8

Fi

為廣義力，Di

為Fi的作用點沿Fi方向的廣義位移，它是由所有廣義力共同產生的。

3.組合變形（用內力形式表示的應變能）M(x)

—只產生彎曲轉角第三章能量方法小變形時不計FS產生的應變能，FN

(x)

—只產生軸向線位移T(x)—只產生扭轉角有n個廣義力同時作用時9對于dx微段，FN(x),T(x),M(x)均為外力。略去高階微量后，dx段的應變能為桿的應變能為第三章能量方法10(a)

由于應變能是外力（內力）或位移的二次齊次式，所以產生同一種基本變形形式的一組外力在桿內產生的應變能，不等于各力單獨作用時產生的應變能之和。小變形時，產生不同變形形式的一組外力在桿內產生的應變能等于各力單獨作用時產生的應變能之和。第三章能量方法4.應變能的特點:EAF2F1ab例F1F2Me11(b)

應變能的大小與加載順序無關（能量守恒）F和Me

同時作用在梁上，并按同一比例由零逐漸增加到最終值——簡單加載。在線性彈性范圍時，力和位移成正比，位移將按和力相同的比例，由零逐漸增加到最終值。第三章能量方法上圖中CwCFEIABMel/2l/2qA,(a)12第三章能量方法先加F,再加Me

(圖b，c)式中，為力F在由Me產生的C點處的撓度上作功，所以無系數。(b)CwC,FFEIABl/2l/2qA,F,cFEIABMel/2l/2wC,F

(c),13還可以先加Me，再加F，得到的應變能和以上的值相同。第三章能量方法14因為是彈性體，所以應變能在數值上仍等于外力功，即，但必須注意以及的非線性關系，不能再用線彈性體的公式計算外力功。1.軸向拉伸與壓縮第三章能量方法(2)非線性彈性體應變能為（3－1）（F－D曲線和D軸之間的面積）應變能密度為（s－e曲線和e軸之間的面積）（3－2）15（1）（3-1）和（3-2）式中，分別是以D和e為自變量，，。所以為位移狀態的函數。（2）因為，為非線性關系，（3-1）和（3-2）式積分后得不到1/2的系數，只能根據或的函數關系進行積分。應變能密度式中，為扭轉力偶矩，為扭轉角，為扭轉切應力，為

切應變。第三章能量方法注意：2.扭轉應變能16式中，為外力偶矩，為彎曲轉角，為正應力，為線應變。應變能密度應變能和應變能密度之間的關系為式中，V

為體積。第三章能量方法3.梁應變能17

例3－3原為水平位置的桿系如圖a所示，試計算在荷載作用下的應變能。兩桿的彈性模量均為,橫截面面積均為。解：首先分析力F

和位移D之間的關系，求出F=f(D)的表達式。設兩桿的軸力均為FN

，兩桿的伸長量和A點的位移分別為（1）第三章能量方法(a)18將（1）式代入上式得由結點A的平衡方程，得(2)為小角度，(4)第三章能量方法(3)由于所以19將（5）式代入（2）式，得或寫成（7）F

和D的關系如圖b所示。（5）第三章能量方法（6）將（4）式代入（3）式，得20

（1）由于力F引起的變形，對產生影響，形成F和D的非線性關系，而應力和應變仍為線性關系——幾何非性。當材料為非線性彈性體時，即應力與應變為非線性時——物理非線性。（2）幾何非線性時，不能用求應變能，而只能用求應變能。第三輪章正能誼量方稱法桿的珍應變惕能為注意21Ⅱ.余能第三隱章朋能曠量方授法圖a為非線章性體彈藥性體的羨受拉桿娃，其F－D和s－e關系如做圖b,c所示。（1）余功的謙定義為（3－6）

22第三者章夜能工量方異法其大小凳為曲面OF1a的面宴積如淋圖d所示客。Wc和外力曬功W具有相止同的量熄綱，且Wc為矩形OF1aD1的面腿積與蓮曲面OaD1的面客積（W）之差（霜圖d）,故稱Wc為余功吊。Wc只有幾斯何圖形荷上的意草義，無障物理概涂念，即必沒有什絨么力作坦的功為Wc。FF1WcaWD1Do(d)23余能密度為（3－8）(3－7)和（3－8）式貓，分接別以F和s為自變企量，D=昂f(F),e=f(s)。所以Vc=f(F)為受力池狀態的蔬函數。第三章馬能膛量方法VcVeF1FD

D1

a(e)o（3）線計彈性星體（惡圖e）Ve和Vc數值相畏等，但路概念和幣計算方侮法不同班，即Ve=f(D),Vc=f(F)。仿照,余能為（3－7）（2）余能（3－9）余能為24例3－5圖a中兩幻玉桿的莊長度糧均為l,橫截萄面面蔑積均五為A。材料艷在單膽軸拉直伸時芬的s－e關系如領圖b所示屢。求區結構燙的余姐能。解：該題憶為物湯理非店線性著問題儉，需復用合求Vc。第三有章乓能撕量方胃法由結點C的平荒衡方肥程，山得二倡桿的魄軸力暮為應力躁為25余能哪密度筋為結構蜜的余隸能為得第三章庫能室量方法（n>1）由26圖示駐梁的烤材料德為非享線性旋彈性競體，Fi為廣靜義力袍，Di為廣瘦義位尤移。步各力染同時彈作用寨在梁族上，君并按絨同一抄比例版由零免逐漸懲增加熱到最躲終值矩（簡拍單加窗載）良。Ⅰ.卡氏萄第一價定理（3－10）第三逐章闊能肝量方土法設各諷力和兇相應趣位移后的瞬慌時值盜分別平為fi,di，各力囑在其畜相應桃的位移上近做功,并注意去到材料刊為非線短性彈性址體，梁射的應變喬能為§3－3卡氏蒸定理為位父移狀紗態函趕數。27假設與惡第i個荷載Fi相應的恰位移Di有一微武小位移茅增量dDi，而與其蜻余荷載橡相應的引位移,以及各丹荷載均址保持不季變。外出力功和扔應變籮能的增謀量分別悉為（dDi不是耐由Fi產生的月，FidDi為常力嘩做的功）（a）第三章暢能拌量方法(b)式中，為應變能對位移的變化率。28（3－11）式為卡氏第淡一定理。它洗說明炒，彈性旅結構念的應光變能民，對于結構誓上與某差一荷載敞相應的勺位移之狼變化率闖，等于擱該荷載綱的值。以源上推煮導中熱并沒鏟有涉亞及到例梁的衫具體朝性質濫，故抗（3－11）適搖用于挖一切受唇力狀伐態的鏡彈性攻體。座對于烘線彈紹性體糖也必糠須把Ve寫成盞給定且位移斃的函籌數形矛式。第三章充能跡量方法（3－11）得令29第三米章寄能殿量方營法例3－8圖a所示結恩構中，AB,譯BC桿中伶的橫飛截面駐面積祝均為A，彈性模工量均為E。兩桿瓜處于誘線彈因性范雙圍內劉。試黃用卡氏第僻一定理，求B點的雕水平家位移D1和鉛躁垂位把移D2。30解：卡氏第此一定理毫要求把徹應變能羅寫成位壺移D1和D2的函數蛇，D1和D2是由AB,污BC桿的變頑形量dAB,dBC所引宵起的牽。首闖先分蹄析dAB,dBC和D1和D2的幾賽何關森系。dAB=D1，dBC=A1co激s4亦5?=設B點只氧發生笛鉛垂驅位移D2（圖c），由圖糕可見第三距章補能沙量方健法設B點只帆發生腥水平蔑位移D1（圖b），由圖給可見31D1和D2同時發測生時，討則有,（1）,由于是脊線彈性缺問題，步結構的庸應變能腹為（2）第三章侵能鋸量方法32（3）（4）聯立支求解餡（3）,（4），得可以英驗證（3）,（4）式相蜂當于其平衡獎方程恭。（→）,（↓）第三塑章涂能磨量方畢法由卡氏技第一定限理，得33Ⅱ.卡氏第退二定理圖示為止非線性濱彈性桿符，Fi為廣義府力，Di為廣巨義位循移。曾各力嶺按簡鋒單加思載方也式作鋒用在若梁上抹。設座加載駝過程蟻中各悠位移狂和相掀應力襲的瞬竊時值沸分別占為di，fi。梁的余能為（3－12）第三章陷能林量方法表明(1)余能撫定理34令上式版稱為余能酬定理。可用組于求解刷非線性派彈性結需構與Fi相應化的位的移。(3－13)得第三章折能紙量方法設第i個力Fi有一吐個增桃量dFi，其余各期力均保恰持不變么，各位改移均不變。余諸功和余吧能的改尋變量分禽別是35例3－9圖a中兩桿聚的長度繁均為l，橫截始面面閃積均腐為A，材料和在單辟軸拉藏伸時英的s－e的關柴系如賄圖b所示件。試抬用余能定尋理求結扒點C的鉛垂價位移D1。第三章碼能插量方法36解：在例3－5中，底已求熱出結唇構的聽余能紹為由余能莖定理得第三章貨能播量方法設BC春,C素D桿的伸任長量為d，容易驗曠上式的石，即宣為變形的虹幾何關慈系。37由平衡程方程得第三叮章重能擴量方卵法兩桿誰的伸舒長量透為則BC膊,C猾D桿橫截住面上的棕的應力是為故38(2)卡氏第貨一定理洲和余能閉定理的云比較

卡氏第一定理

余能定理第三漿章萬能事量方魂法Di→Di+dDi，其它截位移蘇均不役變，發所有裁的力萍均不掠變。Fi→Fi+dFi，其它苦力均甜不變今，所品有的齊位移松均不涌變。39

卡氏第一定理

余能定理

續表(平衡方程)第三章登能律量方法（變形飲的幾何拘關系）適用于非線性和線性彈性體適用于非線性和線性彈性體40(3廢)卡氏粘第二海定理當結構多為線彈營性體時諸，由于薪力F和位懂移D成正比驚，Vc在數值價上等于葛應變能Ve（如圖）懲。若把弓用軍力表示宴，即（3－13）式可咬改寫械成（3－14）上式稱段為卡氏第敘二定理工，它是宣余能必定理段在線星彈性截情況遵下的啞特殊例情況鐮。僅浮適用徑于線欲彈性竟體，色它將涼是研抓究的榨重點窮。第三也章妥能駕量方跡法VcF1FD

D1

a(e)O41它表遞明，線彈熟性結燦構的訊應變嘉能，姥對于陵作用早其上途的某傻一荷峽載的弊變化邊率，倦等于慨與該荷損載相價應的身位移辭。注意:組合砍變形例（不劣計剪撤力的份影響腥）時也可以貧寫成用該短式計粒算時想，可仁減少元計算月工作塊量。第三章枝能圖量方法42例3－10圖示梁莖的材料翻為線彈議性體，滋彎曲剛續度為EI，不計剪力籍對位移拜的影響。逝試用卡氏座第二月定理求梁A端的撓鴿度wA。解：因為A截面處送無與wA相應的半集中力哥，不能張直接利灶用卡氏酷第二定夏理，可失在A截面軋上虛靜加一置個與wA相應延的集掠中力F，利用醋卡氏拒第二靜定理于后，鬧令F=0,即第三章焦能兵量方法43梁的彎磚矩方程贈以及對F的偏導豈數分別給為利用卡垮氏第二土定理，食得（和假催設的F的指向腸一致）這種臨虛加F力的烤方法舒，也誼稱為蘭附加變力法炒。(↓)第三章真能混量方法這是因為為n個獨立廣義力的二次齊次式,其中也可以作為一個廣義力。44例3－11圖a所示梁的材傭料為線振彈性體深，彎曲態剛度為EI。用卡氏第澡二定理求中間濫鉸B兩側截厚面的相狐對轉角風。唱不計國剪力對素位移的稱影響。第三未章尤能釀量方盟法45在中拖間鉸B兩側截泥面處各陷加一個摸外力偶眨矩MB，并求淚出墊在一悉對外泉力偶MB及q共同作野用下梁忽的支反轉力（圖b）。第三章晴能迎量方法解：B截面兩故側的相坊對轉角毀，就是導與一對怕外力偶MB相應的蓬相對角戴位位移，飾即46（0<x≤l）梁的彎免矩方程筆及其對MB的偏導妖數分別眉為第三章閥能剛量方法AB段47中間鉸B兩側截面的相對轉角為結果穿為正系，表開示廣豈義位很移的憶轉向齒和MB的轉向餅一致。(涌)第三章父能偶量方法（0≤x≤

l），BC段48第三章境能馳量方法例3－12圖a所示筋為一充等截恒面開譯口圓鼓環，海彎曲惡剛度品為EI，材料逆為線崇彈性駝。用卡氏第虜二定理求圓環略開口處傲的張開躬量D。不計底剪力和巧軸力的憑影響。49圓環蔑開口充處的助張量惑就是貢和兩錫個F力相對盲應的相終對線位山移，即（←→）用

角表示圓環橫截面的位置，并規定使圓環內側受拉時彎矩為正，則彎矩方程及其對F的偏導數分別為第三章隸能燒量方法解：，50結果為賀正，表擱示廣義刃位移方報向和廣卡義力的龜指向一柿致。第三章良能欺量方法（）←→利用對興稱性，這由卡氏踏第二定表理，得51例3－13圖a所示Z字型平千面剛架云中，各射桿的彎迅曲剛度肆均為EI，材料為寶線彈性少，不計魂剪力和典軸力對新位移的武影響。穗用卡氏第二定花理求A截面的屠水平位仿移DAx及鉛垂館位移DAy和A截面的汽轉角qA。第三華章個能毒量方棍法52解：在A截面線處虛用加Fx，MA（圖b），閃則第三章蝕能抱量方法各段的膽彎矩方丘程及其絲式對各力際的偏導雨數分別禁為M(x)=穿-Fx-MA(0≤x≤3a)，，AB段53第三哲章單能斯量方您法B

(c)M(x)F3FaxqABC段將力F向B截面條簡化言，得步到作鍋用于B的豎直向力F和力偶藍矩3Fa，Fx和F在垂延直于BC桿方向傻上的力愿分別為Fxsi憤nq，Fcosq，指向如凍圖c中虛線降所示。54第三芹章咳能繩量方天法B

(c)M(x)F3FaxqABC段（0

≤

x≤5a），，55M(x)=Fx4a－Fx－MA(0≤x≤3a)第三那章陸能遭量方之法CD段，，由卡秘氏第悟二定污理可拳得（←）56（↓）第三伶章就能愉量方血法（）57

例

懸臂梁受力如圖所示，在兩力F共同作用下，1,2兩截面的撓度分別為w1

和w2。試證明：第三境章順能睬量方楚法w11FF2w2證明：設作包用在1,買2兩截面陵的外力杰分別為F1和F2，且F1=F,F2＝F，則梁選的應飽變能漢為Ve=Ve(F1,F2)。根據庸復合鳥函數叼求導圓法則汪，有58第三塌章亂能酸量方靈法因此匹，若眼結構墳上有綠幾個股外力糟的字日符相齒同時果，在企利用初卡氏耽第二覽定理薯求其壩中某等一力拆的作顆用點絕沿該豆力方宰向的今位移財時，曉應將事該力烈與其邊它力觸區分潮開。w11FF2w259例圖示愿剛架稍各桿揀的彎謠曲剛惡度均泳為EI，不計晶剪力評和軸像力對償位移找的影吉響。赤試用卡氏第志二定理求A截面的茅鉛垂位誼移DAy。解：由于鏈剛架移上A,灑C截面烈的外嘴力均熊為F，求A截面的霜鉛垂位清移時，未應將A處的力F和C處的泛力F區別誤開（淹圖b），踏在應云用卡氏第聚二定復理后脆，令FA=F。第三章財能享量方法

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y260即AB段（0≤x≤l）

M(x)=?FAx,各段載的彎縱矩方藏程及齒其對FA的偏柜導數喉分別臘為第三腐章漂能筍量方概法BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=?FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y261CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=?FAl?Fy2,令以鼓上各熱彎矩聾方程赴中的FA=F，由卡氏緣瑞第二定需理得（↓）第三奸章蠻能熱量方刃法62例圖示仙各桿徹的直冶徑均妖為d，材料的售彈性常倆數G=0.4E。試用卡氏勾第二渠定理求A端的鉛盤垂位移斷（不計吐剪力對輸位移的曬影響）拋。解：AB段的彎閥矩方程晃及其對F的偏導貼數分別禿為lCBAFlxxzyO第三胡章飛能犬量方染法（0≤x≤l），63（0≤y裕≤肺l）A端的鉛沒垂位移替為第三商章急能舟量方尺法，，（↓）BC段的懷彎矩貞和扭伯矩方潤程及賺其對F的偏睛導數豎分別驢為64Ⅰ.卡氏巧第一坡定理警（代）例各桿的逆彈性模抽量均為E，橫截蒙面面胖積均項為A。試用卡氏育第一棉定理求各桿道的軸力變。第三訪章孩能仁量方銅法§3－4用能量倒法解超貪靜定系統65(2)解：設1,抬2,剃3桿的夠軸力絨分別籌為,和（圖b），相應幕的位傲移為D1,D2和D3（圖c）。由對稱沖性可知鞋，直，D1＝D2。由圖c可知眠：第三椅章凈能思量方味法結構糕的應恩變能便為(1)若求妖出D3，可由（1）求伙出D1（D2）。再由盡胡克邀定律哥求出元軸力民。以D3為基本流未知量塔，該題對為一次撤超靜定耳。66解得由胡白克定縱律得將（4）式代裕入（1）得(4)第三章勇能膨量方法(3芹)得由，67以位移朵作為基艱本未知慢量求解墾超靜定帥問題的烘方法，肝稱為位硬移法。（1）式為變織形的幾仔何方程沉，（3）式為黨平衡袋方程河。求督軸力掀時又抬應用襲了物話理方伴程。故位移換法仍然上是綜合舉考慮了躁平衡方階程,幾何牛關系喂和物燭理方飲程來逗求解挖超靜摧定問永題的煌。第三章膏能渾量方法68解：若以各廢桿的軸僚力為未呢知量，漆該題為貼（k-2）次超靜約定問題女。若以A點的冠水平獎位移Dx和鉛垂剪位移Dy為未納知量琴，各箱桿的羅位移拘均可落用Dx,Dy表示，旺再由胡璃克定律壺求出軸狗力，該扯題為二納次超靜屆定問題屑。第三飲章敘能氏量方見法例3－18圖a中k≥3。各桿杯的彈環性模筑量均旨為E，橫截拍面面博積分逝別為A1,A2…，Ak。試用卡氏第扯一定理求各桿蠻的軸力葉。69第i根桿的猛長度為（1）由圖b可知，儀第i根桿廈的伸面長量趁為（2）結構賄的應廣變能返為（3）第三章略能渣量方法70由，得（5）聯解（4）,（5）可得Dx

和Dy

。把Dx和Dy代入（2）可得，由胡克定律得到第i根桿得軸力第三章漿能猾量方法（4）71Ⅱ.余能定理（）例3－15三桿的醫材料相外同，s=Ke1/n(n>1)，橫截面遙面積均陰為A，1,辣2兩桿長度恐為l。用余能定聾理求各掀桿的造軸力鍵。第三章散能報量方法72第三章牲能城量方法解：以鉸耕鏈D的支反絲式力X為多雷余未崗知力沫，基湊本靜濕定系振如圖b所示，F,振X看作啄基本需靜定績系上墊獨立翠的外熔力，所以Vc=Vc(F,肉X)（不能含湊有其它備未知力串）因為池鉸鏈D處沿匠鉛垂惠方向可的位獲移為該零，夏應有由該毀式求討出X后，膠再利階用平客衡方行程求竊各桿博的軸足力。73(1)（軸力屬均用F和X表示顏）第三檢章男能調量方昏法由平朝衡方犁程得恥各桿與的軸襖力分頌別為各桿興的應寧力分戴別為(2皺)(3替)由得74第三章依能鈔量方法結構的屢余能為(4)三桿的駱余能密灶度分別肉為75（4）式包含了平衡方程和物理方程，而，表示變形的幾何關系。由，得將X值代阻入（1），得第三章急能布量方法以力為距基本未炊知量解茫超靜定適問題的萍方法，盯稱為力虧法。76Ⅲ.卡氏第二定理（）用卡氏第二定理來解超靜定問題，仍以多余未知力為基本未知量，以荷載及選定的多余未知力作為基本靜定系上獨立的外力，應變能只能為荷載及選定的多余未知力的函數，即變形幾何關系為，Di為和

的相應位移，它是和約束情況有關的已知量。第三章匯能籌量方法77例剛架各侄桿的彎名曲剛度監均為EI，不計剪撐力和軸賀力對位睬移的影槍響，用卡氏狼第二寫定理求支反召力。第三殼章周能紛量方叛法CABqll(a)78解：該題為一次超靜定。以鉸鏈C的鉛垂支反力X為多余未知力，基本靜定系如圖b所示。由于,但是在中，出現(Ve

也將出現)，必須把第三掃章逐能尺量方材法CABqll(a)l(b)yFCxxXFAxFAyCABql用q,X

表示。由，得79CB,刑AB段的嘩彎矩竄方程棍及其奏對X的偏導母數分別漲為，第三章艷能仿量方法由，得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql80解得（↓）和圖示方向相反。（↑）（←）（←）第三責章買能臭量方忙法由平衡泥條件得l(b)yFCxxXFAxFAyCABql81例3－17半圓昆環的獄彎曲寇剛度瞇為EI，不計堆剪力耕和軸學力對騰位移今的影嘴響，守用卡氏第骨二定理求對秧稱截舊面上全的內款力。第三擁章灶能累量方涌法82解：沿半汗圓環議的對仰稱截粗面處吸截開拜，取鉛兩個1/4圓環為槽基本靜盼定系（量圖b)，多余憐未知棉力為柱軸力X1,彎矩X2,剪力X3。該題偉為三精次超磚靜定朱。第三走章吵能綁量方者法(a藝)但由供于結擴構與考荷載傻均是菜對稱短的，珠內力寨也應讓該是著對稱破的，陪但X3是反艱對稱反的，獸故X3＝0，問題簡市化為二黑次超靜患定。半侍圓環的應誦變能象只能耀為F，X1，X2的函數俱，即83與X1，X2相應腐的位嘉移條倚件分勞別為呈兩截股面的黨相對膛線位元移和耽相對殼角位爹移為涂零，羨即(b尺)彎矩方臟程及其貧對X1，X2的偏類導數居分別從為第三僵章乏能姥量方燭法(c)84注意到閘基本靜穴定系為擇兩個1/壓4圓環亂，(b)式成為(d)第三章膨能其量方法(e)將(c背)式代泉入(d)和(e觸)式，慣可解遵得85Ⅰ.虛位功移原餅理第三章事能猜量方法（1）剛質體虛位俯移——滿足雖約束鼓條件疲的假增想的鎖任意齡微小挖位移滴。虛位請移原桐理——作用獄于剛薦體上謎的力牛對于諸任何他虛位郵移所急作的總功等己于零（前平衡的尾必要和摧充分條稀件）。§3－5虛位移猜原理及鳴單位力給法86第三屆章吳能叔量方掘法（2）可棕變形殊固體滿足類約束活條件符和變獵形連閘續條尺件的夕假想魄的任簽意微小院位移爭。——外力作刊用下，許物體產扛生變形嫌的同時蒜產生內鎮力虛位甲移——虛位移愚原理——外力和請內力對敏于虛位燦移所作美的總虛競功等于止零（平唱衡的充漂要條件戶），即We（外力虛功）＋Wi（內力虛功）＝0

（3－15）871.梁的虛遍位移原流理第三秒章崇能役量方檢法圖a所示題的位包移為他由荷升載產柜生的廊實際稻位移輝，簡才稱實幟位移昨。荷木載對移于其角相應池位移受上所俱作的珍功為酬實功魚。圖b所示遭的位淡移為奇梁的虛位典移，詳它是諒滿足段約束事條件固和變滿形連蝦續條驅件的退假想餡的任膽意微婆小位賢移，與梁絨上的校荷載瘦及其純內力今完全迷無關共。(a)x實際位移實際撓曲線lxdxy(b)x虛位移虛設撓曲線lxdxy88第三章曠能銀量方法梁上廣義力的作用點沿其作用方向的虛位移分別為外力對薪于虛位某移所作皂的總虛咬功為(a)(a)外力虛錘功(b)x虛位移虛設撓曲線lxdxy(b末)內力虛含功取梁于的dx微段進坡行分析尚。圖c為微段驚的原始嘉位置，撕其上面慌各力均簡由荷載級產生，亦它們為僻梁的內煩力，也富是微段爬的外力談。89由于敢梁的繩虛位漁移，閉使微豎段位押移至四圖d所示位猾置。覺微段今的虛牧位移禿可分思為兩痛部分壤：第三昌章魄能條量方償法一為剛這性體位高移。暫不計微段的變形，由于梁的其它部分的變形，而引起的微段的虛位移，微段由abcd位置移至。（圖d的實線）(d)(b)x虛位移虛設撓曲線lxdxy90第三章夏能菜量方法二為賢變形通虛位演移。由于微段本身的虛變形而引起的位移，使微段由移到（圖d的虛線）。變形虛位移包括由彎曲和剪切產生的兩部分，如圖(e)和圖(f)所示。(d)(b)x虛位移虛設撓曲線lxdxy91(b)第三他章誰能熊量方址法

M、對于剛體虛位移要做虛功，但由剛體虛位移原理可知，所有外力對于微段的剛體虛位移所作的總虛功等于零。M、對于世變形碼虛位撫移（假圖e,抖f），所做傘的虛貝功為92(b)式為微喜段的外被力虛功dWe，設微太段的鈴內力潮虛功屈為dWi。由變形謠固體的款虛位移忌原理(3-1鮮5)，即

(c)梁的船內力幼虛功銷為

(d)將(a)應,(道d)式代躬入（3－15）式，得拼梁的虛位移躺原理表麗達式為第三就章惡能費量方紛法得即(3-16)93組合梅變形詠時，洽桿橫企截面跟上的蔥內力作一般盒有彎敬矩M，剪力FS，軸力FN及扭矩T。與軸力踩相應的悠虛變形跟位移為煉沿軸力銹方向的考線位移dd，與扭矩播相應的賤虛變形而位移為常扭轉角dj。仿森照梁誕的虛齊位移威原理倒，可漿得組郊合變刻形時糾的虛別位移覆原理寶表達擔式為(3-17)第三章信能復量方法2.組合升變形費的虛男位移枯原理由于以辮上分析參中沒有招涉及材全料的物咳理性質卻，所以(3-平17)式適用銳于彈性厲體和非裝彈性體恐問題。秩式中Fi為廣義陶力，M,想FS,吩FN,磚T是由查荷載春產生榮的內全力，卵為廣謀義虛砌位移挨，dq,dl,dd,為微段辛的變形倆虛位移許。94Ⅱ.單位慨力法(1)因為由貸荷載引再起的位神移，滿族足約束叢條件和佛變形連貿續條件彈，且為箏微小位刃移，滿奶足可變衡形固體頂的虛位懶移條件晃。因此他，可以姻把由荷承載引起仰的實際怖位移D，作為對虛位移保。由荷妻載引起粱的微段腦的變形辨位移dq,dl,dd,dj作為蝕變形染虛位雕移。織即以實際貫位移作在為虛位歇移。(2)

若要確定在荷載作用下桿件上某一截面沿某一指定方向的實際位移D，可在該處施加一個相應的單位力，并以此作為單位荷載。即以虛設單位力作為荷載。由單位力引起的內力記為。第三古章陵能松量方聲法95（3）單位力釣所做的杜外力虛僑功為We=1·D單位詞力法張的虛竄位移弄原理洲表達瘋式為(3-18)該式尖同樣痛適用極于彈瞧性體松和非搖彈性變體問崇題。第三章境能薦量方法桿件焰的內傭力虛挨功為96(3-19)于是(3-1察8)成為(3-20)式中為由單位力引起的內力，為荷載引起的內力。