湖北省武漢市一初慧泉中學高二數學理聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某人5次上班途中所花的時間（單位：分鐘）分別為x，y，10，11，9．已知這組數據的平均數為10，方差為2，則|x﹣y|的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D【考點】極差、方差與標準差．【分析】由題意知這組數據的平均數為10，方差為2可得到關于x，y的一個方程組，解這個方程組需要用一些技巧，因為不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用換元法來解出結果．【解答】解：由題意這組數據的平均數為10，方差為2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解這個方程組需要用一些技巧，因為不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，設x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故選D．2.某工廠為了調查工人文化程度與月收入的關系，隨機抽取了部分工人，得到如下列表：

文化程度與月收入列表

單位：人

月收入2000元以下月收入2000元及以上總計高中文化以上104555高中文化及以下203050總計3075105

由上表中數據計算得=6.109，請根據下表，估計有多大把握認為“文化程度與月收入有關系”(

)A．1％

B．99％

C．2.5％

D．97.5％參考答案：D3.已知（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.下列語句為命題的是（

）A．對角線相等的四邊形

B.C.

D.有一個內角是的三角形是直角三角形.參考答案：D略5.已知a＞b＞0，則方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0的曲線在同一坐標系中大致是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】曲線與方程．【分析】根據題意，a＞b＞0，可以整理橢圓a2x2+b2y2=1與拋物線ax+by2=0變形為標準形式，可以判斷其焦點所在的位置，進而分析選項可得答案．【解答】解：由a＞b＞0，橢圓a2x2+b2y2=1，即=1，焦點在y軸上；拋物線ax+by2=0，即y2=﹣x，焦點在x軸的負半軸上；分析可得，D符合，故選D．【點評】本題考查由橢圓、拋物線的方程判斷圖象的方法，注意先判斷曲線的形狀，再分析焦點等位置．6.從10個學生中挑選若干人組成一組，如果必含其中某人的組合數等于必不含某人的組合數，則這樣的一個組合的人數有（

）

A．4個B．5個C．6個D．7個參考答案：B略7.設是函數的導函數，則的值為（）（A）1 （B）0 （C）

（D）參考答案：C8.設m、n為實數，若m+n=2，則3m+3n的最小值為（）A．18 B．6 C．2 D．9參考答案：B【考點】基本不等式．【專題】不等式．【分析】根據基本不等式和指數冪的運算即可得到答案．【解答】解：∵m+n=2，∴3m+3n≥2=2×=6，當且僅當m=n=1時取等號．故選：B．【點評】本題考查基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵．9.（5分）在6道題中有4道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到文科題的概率為（） A． B． C． D． 參考答案：D10.已知等差數列的前項和為，若（

）

A．72

B．68

C．54

D．90參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝，則P(Y≥1)＝________.參考答案：12.某班課程表中星期二上午的5節課要排語文、英語、數學、政治和化學5個科目（每科都要排），要求語文、英語不相鄰的不同排法種數是

（用數字作答）參考答案：72略13..對于各數互不相等的整數數組(i1,i2,i3…，in)(n是不小于3的正整數)，若對任意的p，q∈{1，2，3…，n},當p＜q時有ip＞iq，則稱ip，iq是該數組的一個“逆序”.一個數組中所有“逆序”的個數稱為該數組的“逆序數”，則數組（2，4，3，1）的逆序數為

.參考答案：

4略14.比較大小：403（6）

217（8）參考答案：>15.一物體沿直線以速度（的單位為:秒,的單位為:米/秒）的速度作變速直線運動，則該物體從時刻t=0秒至時刻t=5秒間運動的路程是_______米參考答案：10略16.將標號為的張卡片放入個不同的信封中，若每個信封放張，其中標號為的卡片放入同一信封，則有

▲

種不同的放法．（用數字作答）參考答案：18略17.如下圖所示，E、F分別是正方體的棱AA1、的中點，則四邊形BFD1E在該正方體的各表面內的射影可能是 .

(要求：把可能的圖形的序號都填上)

①

②

③

④

參考答案：①②三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.［選修4－2：矩陣與變換］（本小題滿分10分）

已知二階矩陣A的屬于特征值－1的一個特征向量為，屬于特征值3的一個特征向量為，求矩陣A。參考答案：

解：設

則

∴

∴19.已知(x∈N＋)①求證：

②試求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)參考答案：f(x)的周期T＝＝4，所以而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝sin＋sin＋sin＋sin＝cos－sin－cos＋sin＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2010)＝502×(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(2)＝cos－sin＝0.20.已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是（0，﹣），（0，），且AC，BC所在直線的斜率之積等于．（1）求頂點C的軌跡M的方程；（2）當點P（1，t）為曲線M上點，且點P為第一象限點，過點P作兩條直線與曲線M交于E，F兩點，直線PE，PF斜率互為相反數，則直線EF斜率是否為定值，若是，求出定值，若不是，請說明理由．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】（1）C點坐標為（x，y），運用直線的斜率公式，化簡整理，可得所求軌跡方程，注意去除y軸上的點；（2）設E（x1，y1），F（x2，y2），令直線PE：y﹣=k（x﹣1），聯立橢圓方程，運用韋達定理求得E的坐標，同理將k換為﹣k，可得F的坐標，再由直線的斜率公式，化簡整理，即可得到定值．【解答】解：（1）令C點坐標為（x，y），則直線AC的斜率k1=，直線BC的斜率k2=，因為兩直線的斜率之積為，所以有，化簡得到，所以軌跡M表示焦點在x軸上的橢圓，且除去（0，﹣），（0，）兩點；（2）由題意曲線M為+=1（x≠0），點P（1，），設E（x1，y1），F（x2，y2），令直線PE：y﹣=k（x﹣1），聯立橢圓方程，得（3+4k2）x2+8k（﹣k）x+4（﹣k）2﹣12=0，則x1xP=，故x1=，同理x2=，kEF=====，故直線EF斜率為為定值．21.用數學歸納法證明：≤n+1（n∈N*）．參考答案：【考點】RG：數學歸納法．【專題】14：證明題；55：點列、遞歸數列與數學歸納法．【分析】本題考查的知識點是數學歸納法，由數學歸納法的步驟，我們先判斷n=1時成立，然后假設當n=k時成立，只要能證明出當n=k+1時，結論成立，立即可得到所有的正整數n都成立．【解答】證明：①n=1時，左邊=，右邊=2，成立；②設n=k時，結論成立，即≤k+1，即k+1≥0則n=k+1時，左邊==≤＜k+2，∴n=k+1時，成立．由①②可知，≤n+1（n∈N*）．【點評】數學歸納法的步驟：①證明n=1時A式成立②然后假設當n=k時，A式成立③證明當n=k+1時，A式也成立④下緒論：A式對所有的正整數n都成立．22.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，向量，，且．（1）求角B；（2）若a，b，c成等差數列，且b=2，求△ABC的面積．參考答案：【考點】平面向量數量積的運算；兩角和與差的正弦函數；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．【專題】計算題；三角函數的圖像與性質；解三角形；平面向量及應用．【分析】（1）根據向量數量積的運算公式，結合三角恒等變換公式化簡整理，得，再由0＜B＜π，解此方程可得角B的大小；（2）根據余弦定理，建立關于a、c的方程并化簡得4=a2+c2﹣ac，而a、b、c成等差數列得a+c=2b=4，代入前面的式子解出a=c=2，從而得到△ABC是等邊三角形，由此不難得到△ABC的面積．【解答】解：（1）∵向量，，且，∴，化簡得，可得，…（5分）又0＜B＜π，得，∴，解之得…（7分）（2）∵a，b，c成等差數列，b=2，∴a+