第七章

金融市場中的維納過程和小概率事件第一節(jié)隨機環(huán)境中的微分第二節(jié)兩個一般模型第三節(jié)罕見和正常事件的描述第四節(jié)小概率事件的模型第一頁，共五十四頁。設一資產價格為時間上隨機變量第一節(jié)隨機環(huán)境中的微分則在給定的時間段上資產價格的變化是隨機的，其隨機微分形式為首頁第二頁，共五十四頁。先構建離散時間的隨機微分等式分成長度為h的n等份,則在這些有限間隔內價格的觀察值和增量為：一、隨機微分的構建首頁第三頁，共五十四頁。其中表示在間隔結束時的可得信息的情況下，完全不可知；反映在第k個間隔內資產價格的真實變化。表示在間隔結束時的可得信息的期望條件，反映在給出信息集情況下市場參與者的預期。則是中的一部分，稱為“革新項”革新項具有特征1、在間隔結束時未知，而在間隔k結束時可觀察到。即知道信息，就能說出其確切值，且首頁第四頁，共五十四頁。表示在鞅過程中的變化，稱作鞅微分。2在給出時刻的信息集的情況下，其值是不可測的。3即對于所有的k記累加的誤差過程：原因是首頁第五頁，共五十四頁。對于一個金融市場參與者來說，其在資產價格中的重要信息是。這些不可測的信息連續(xù)發(fā)生并且能被在線觀察到。因此，資產價格的在線運動就由控制。說明二、遞增誤差的大小革新項表示一個不可測的變化，其平方項是不可忽略的。（這與傳統(tǒng)微分不同）設的方差為，即累積誤差的方差且之間不相關，以及干擾項的期望是0。首頁第六頁，共五十四頁。假設1默頓方法注此假設對證券價格的可變性附加了一個下限，即當間隔被分成越來越小的子間隔，累積誤差的方差是正的。也就是越來越頻繁的觀察證券價格不會消除所有的風險，即資產價格具有不確定性。假設2注這個假設對累積誤差的方差附加了一個上限。當時間段被分成越來越小的間隔，更頻繁的交易是允許的。這樣的交易對系統(tǒng)不會帶來非限制的不穩(wěn)定性。首頁第七頁，共五十四頁。在假設1，2，3的前提下，的方差與h有關：假設3注假設表明金融市場的不確定性在一些特殊的階段是不集中的。無論市場什么時候開始，至少會存在一些可變性。即說明在金融市場上可預測不確定性定理1其中是一個有限的定數，它并不取決于h而取決于時刻的信息.首頁第八頁，共五十四頁。證明由假設3在所有的間隔上對兩邊同時求和：由假設2即又因則故得出有取決于h的上限.首頁第九頁，共五十四頁。由假設1得即再假設3得故得出有取決于h的下限.因此這意味著能找到一個取決于k的定數，使與h成比例：即可表為首頁第十頁，共五十四頁。其中在間隔開始給出信息的情況下是不可測的設是任意一個的隨機過程定理可以引申為其相應的期望存在，則在有限的間隔t內，有三、隨機微分等式為構建時間連續(xù)的隨機微分等式，對上式右邊第一項進行估計：是一個資產價格變化的預期，其變化的大小取決于最近的信息集和所考慮的時間間隔的長度。首頁第十一頁，共五十四頁。它可寫成如果時間就會跳過，并且在資產價格的預測變化就是0。即同普通微分一樣，處理隨機微分等式時余項可忽略不計，即故首頁第十二頁，共五十四頁。其中是漂移項，擴散項。從而有令得即為隨機微分等式。返回首頁第十三頁，共五十四頁。第二節(jié)兩個一般模型一、維納過程在連續(xù)時間下，正常事件可用維納過程或布朗運動來建模.（一）討論維納過程的方法1設一個隨機變量且則當有弱收斂于一個維納過程首頁第十四頁，共五十四頁。設為一具有有限方差的連續(xù)過程，說明維納過程是在概率意義下，對獨立同分布的隨機變量的總和求極限得到的，而這些增量的可能出現的結果，當時會變得越來越小。可知維納過程服從高斯（正態(tài)）分布。把維納過程視為一個連續(xù)的平方可積鞅來進行分析2且在給定信息集下，具有不可預測的增量，即是一維納過程首頁第十五頁，共五十四頁。（二）利用鞅來定義維納過程（1）定義1（2）則稱是一維納過程首頁第十六頁，共五十四頁。對于具有不可預測的增量和隨時間連續(xù)運動的資產價格，維納過程是一個很好的描述模型。定義2若滿足即則稱為布朗運動。首頁第十七頁，共五十四頁。注維納過程假定是一個平方可積鞅，沒有提到的分布問題；而布朗運動假定服從正態(tài)分布。但這兩個過程沒有差異，這可由著名的Levy定理來說明。定理1在信息集下的任何維納過程都是布朗運動過程。（三）維納過程特征（補充內容）特征1在很小的時間間隔內，維納過程的變化增量為其中表示從標準正態(tài)分布中的一種隨機抽取。或首頁第十八頁，共五十四頁。特征2特征3維納過程是連續(xù)的。任意兩個不同時間區(qū)間內的值都是相互獨立的。（因是鞅，而鞅具有不可預測的增量）在無窮小的間隔內，的變化也是無窮小的意味著維納過程是遵循馬爾可夫過程。注期望是正態(tài)分布，且方差標準差首頁第十九頁，共五十四頁。注2期望在一段較長時間T內，維納過程服從的正態(tài)分布，且有方差標準差例1假設某資產的價值變化遵循維納過程，其初始值為25，估算的時間為一年。在一年結束時，若資產價值按正態(tài)分布，其期望值為25，標準差為1，那么在兩年期結束時，資產價值依然是期望值為25，但標準差是。即在未來某一時間（時間間隔T），資產價值的期望值等于現值，不確定性由標準差估算。首頁第二十頁，共五十四頁。表示附加到S軌跡上的噪聲或波動率，且這些噪聲或波動率的值為維納過程的b倍表示S變量在單位時間的漂移率期望值為a（四）一般化的維納過程（補充內容）基本維納過程討論的變量是漂移率為零，方差率為1的過程。下面將維納過程推廣到任意的變量S，則它的定義可以由表示為（a和b是常數）其中若在小的時間間隔，則S的變化可表示為其中表示從標準正態(tài)分布中的一種隨機抽取。首頁第二十一頁，共五十四頁。具有正態(tài)分布，且同樣若在任意時間間隔T后，則S的變化具有正態(tài)分布，且期望方差標準差期望方差標準差首頁第二十二頁，共五十四頁。因此一般化的維納過程描述的是的漂移率（單位時間的平均漂移）為a，方差率（單位時間的方差）為的正態(tài)分布。這就是說，若零時刻變量的值是S，則在T時刻它變?yōu)榫禐椋瑯藴什顬榈恼龖B(tài)分布。例2假定某公司的現金頭寸（以千美元計算）遵循一般性維納過程，每年的漂移率為20，每年的方差為900。若最初的現金頭寸為50，則在六個月月末的現金頭寸將具有均值為60，方差為450的正態(tài)分布；在第一年末將具有均值為70，方差為900的正態(tài)分布。首頁第二十三頁，共五十四頁。（五）伊托過程（補充內容）若一般化的維納過程中的參數a和b，分別是基礎變量S和時間t的函數，即有則稱它為伊托過程。伊托過程也是一種推廣的維納過程，它的漂移率和方差率是隨著時間的變化而變化。在研究基礎資產價格的變化時，我們通常用伊托過程來描述。如在研究不支付股息的股票時，其價格的變化特征可用下式表示：首頁第二十四頁，共五十四頁。即瞬態(tài)漂移率和瞬態(tài)方差率都按股票價格的比例變化，這就是最為廣泛的描述股價變化的模型，有時稱為幾何布朗運動模型。此模型的離散時間形式為其中表示股票價格S在很小的時間區(qū)間中的變化；表示從標準正態(tài)分布中的一種隨機抽取；參數為單位時間內股票的預期收益率，參數為股票價格的波動率，且這兩個參數都為常數。首頁第二十五頁，共五十四頁。例3考慮一種無紅利支付的股票，每年的漂移率為30%、預期收益率為15%（以連續(xù)復利計），即、，或設時間間隔長度為1周或0.0192年，股票價格的初始值為100美元，即則即表示股票價格的增加是均值為0.288美元，標準差為4.16美元的正態(tài)分布的隨機抽樣值。則股票價格的過程為首頁第二十六頁，共五十四頁。二、泊松過程考慮一種與正常事件明顯不同的隨機環(huán)境，即在一段時間內，一個金融市場所發(fā)生的極端事件的總次數，且這些事件都是不可預測的。設表示所發(fā)生的極端事件的總次數，若只可能出現兩種值，或是等于0，意味著沒有新的重大事件發(fā)生；或是等于1，表示有重大事件發(fā)生。即可表為首頁第二十七頁，共五十四頁。則是泊松過程若令且泊松過程與維納過程間的比較（1）軌跡不同：（2）一次和二次量運動具有相同特征：兩個過程的增量方差都比例于小的時間間隔h注首頁第二十八頁，共五十四頁。（3）泊松過程的軌線比維納過程軌線更規(guī)則。泊松過程在大部分時間內保持恒定，盡管有離散的跳躍，但在小的時間間隔，出現跳躍的概率會趨于0，即它的方差有界。因為維納過程雖顯示出無窮小的變化，且這些變化多的不可計量，因此，方差是無界的。由此可知定義維納過程的積分比定義泊松過程積分困難的多。一般說泊松過程積分可用Riemann-Stieltjes來定義；維納過程積分可用Ito積分來表示。返回首頁第二十九頁，共五十四頁。第三節(jié)罕見和正常事件的描述設只會出現一些固定的可能值，假設4其中注分為兩種類型：正常事件和小概率事件首頁第三十頁，共五十四頁。正常事件小概率事件假設對于標的資產是谷物期貨的衍生品，很明顯由這些罕見事件，引起的價格變化程度要比一個點大的多。否則，價格變化就是由正常事件所引起的。首頁第三十一頁，共五十四頁。在假設4下，擴展這個結論：據假設4在假設1—3下，證明了一個很重要的結論：這意味著首頁第三十二頁，共五十四頁。由于總和與h成比例，且每一數為非負數，則總和中的每一項都與h成比例或等于0，即有從而因此可得但與觀測間隔長度

h無關。首頁第三十三頁，共五十四頁。事件大小和概率都與間隔長度h有關.。當h越來越大時，所觀測的價格變化尺度（絕對值）和概率也會越來越大，除非等于0。說明1當觀測間隔越來越小時決定事件趨于0的速率，說明2兩者可能消失,但不可能同時消失.從而有即意味著決定事件的概率趨于0的速率。首頁第三十四頁，共五十四頁。故這樣，只可能出現兩種情況：(1)(2)第一種情況所引起的就是正常事件，第二種情況對應的就是小概率事件.注1注2所引起的也是正常事件首頁第三十五頁，共五十四頁。1．正常事件當則決定發(fā)生結果的大小和概率函數分別為隨著時間間隔h越來越小，事件的大小也會越來越小;而事件發(fā)生的概率與h無關。因此即當觀測間隔越來越小時，發(fā)生結果的大小會很小且具有一個固定的概率，這就是正常事件。首頁第三十六頁，共五十四頁。樣本路徑的特征（1）連續(xù)性當即一方面故所以另一方面當以上可看出，正常事件可產生連續(xù)時間路徑。首頁第三十七頁，共五十四頁。(2)不光滑性故在任何時間t,是不可導.即軌跡是不光滑的.意味著從而得知,資產價格變化是連續(xù)的卻不規(guī)則首頁第三十八頁，共五十四頁。2、小概率事件當則決定發(fā)生結果的大小和概率函數分別為隨著時間間隔h越來越小，事件發(fā)生的概率也會越來越小,且因此而事件的大小與h無關。故是小概率事件.樣本路徑特征不連續(xù)性與h無關因所以即軌跡是不連續(xù)的.首頁第三十九頁，共五十四頁。又因則出現跳躍的概率取決于h,當h越來越小時，跳躍出現的概率也會下降，即這些跳躍不是會經常出現.跳躍性3、正常事件（續(xù)）則樣本路徑是連續(xù)的卻不光滑同正常事件的維納過程因故不是小概率事件注意但只要它們的大小會越來越小，就不能稱為小概率事件返回首頁第四十頁，共五十四頁。第四節(jié)小概率事件的模型維納過程描述的隨機微分方程，在小時間間隔內，不可預期的價格變化分布是正態(tài)分布。而正態(tài)分布具有一個無窮擴展的尾巴，當時間間隔越來越小，尾巴并沒有完全消失，說明維納過程所描述的價格變化也就越來越小，幾乎不變。而小概率事件表示在極短的間隔內，價格運動能出現巨烈變動時，顯然再用維納過程所描述就不合適。因此需要加上一個可在極其短的時間間隔產生巨大變化的事件的干擾項，即需要一個可產生跳躍的過程，且這個過程所產生的結果要與h無關，這樣，該過程的路徑才與小概率事件相符合。首頁第四十一頁，共五十四頁。一、資產價格的小概率事件模型離散間隔隨機微分等式價格變化分兩部分第一部分為在給定信息下可預測的，第二部分則是不可預測的。連續(xù)時間隨機微分形式正常事件維納過程首頁第四十二頁，共五十四頁。描述小概率事件也可采用此微分形式：與維納過程唯一不同點：樣本路徑的連續(xù)性。小概率事件的發(fā)生也是不可預測的，且它的方差也比例于時間間隔h，即第一部分相同。因此，只要對第二部分作一小的修改即可，建立新模型的隨機不可預測誤差項由于小概率事件，當時間間隔趨于0時，概率可忽略，但事件發(fā)生的大小并不是無窮小的。因此，新增項應該能代表資產價格變化中極少出現的跳躍，更進一步說，該模型應該能足夠捕捉跳躍發(fā)生概率的任何潛在變化。首頁第四十三頁，共五十四頁。首先把誤差項分為兩部分：其中表示由發(fā)生的正常事件引起的變化，表示由發(fā)生的跳躍事件引起的變化其次精確說明則在時刻有令設資產價格變化的跳躍大小為1，首頁第四十四頁，共五十四頁。顯然泊松過程特征（1）在小時間間隔h，最多有一個事件發(fā)生的概率接近于1（2）至時間t的信息不會有助于預測下一間隔h事件是否會發(fā)生；（3）在固定概率下發(fā)生。由于只有泊松過程能同時滿足這些條件，所以用它來為不連續(xù)的跳躍事件建模是很好的選擇，但還需要作兩個修改。1某一資產價格的跳躍發(fā)生率會隨時間變化，而泊松過程中為一固定的發(fā)生率，不能解釋這種行為，有必要作些調整。首頁第四十五頁，共五十四頁。2中的增量具有非零均值，而隨機微分方程中的新增項只具有零均值，因此，需要作些修改以消除均值。考慮變量進一步則跳躍的大小就是獨立于時間的。因此用來表示資產價格中不可預測的跳躍是很好的選擇。意味著如果金融工具市場受零星發(fā)生的小概率事件影響，則隨機微分方程可寫為首頁第四十六頁，共五十四頁。離散間隔隨機微分等式注1這個隨機微分方程可同時處理正常和小概率事件連續(xù)時間隨機微分形式跳躍部分和維納過程部分在每一時間t是獨立的。當h越來越小時，正常事件的變化幅度會變得越小，而小概率事件的大小保持不變。在這些條件下，這兩種事件相互之間沒有關系，它們的瞬時相關性一定為0。注2首頁第四十七頁，共五十四頁。二、考慮各次量對觀測資料的處理都是直接或間接采用標的資產價格過程的適當“量”。“量”就是標的資產價格過程的各種期望值：如一次量二次量高次量方差能衡量價格的變動程度，三次量衡量的是價格變化分布的歪斜度，四次量衡量的是分布的寬尾巴。量反映過程的信息首頁第四十八頁，共五十四頁。在分析無窮小間隔h的價格變化時，對正常事件只考慮了前兩次量，高次項量被忽略了，然而，對小概率事件則需要考慮所有的量。其不可預測誤差項前兩次量為再看一下當一次量不等于0，有一次量1、正常事件首頁第四十九頁，共五十四頁。則不可預期的價格變化的期望率當h越來越小時，上式會變得越來越大。當一次量不為0時，對小時間間隔，一次量的值會很大而不可忽略。結