第二節(jié)定積分計算公式和性質一、變上限函數設函數了何在區(qū)間［心］上連續(xù)，并且設x為k上］上的任一點,于是，了b）在區(qū)間b』］上的定積分為這里x既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變量無關，故可將此改為如果上限X在區(qū)b』］間上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個確定值與之對應，所以定積分在血對上定義了一個以x為自變量的函數殊0，我們把號力稱為函數了⑴在區(qū)間k⑹上變上限函數記為此卜U（濕蘭不幻）圖5-10 從幾何上看，也很顯然。因為X是反引上一個動點，從而以線段反引為底的曲邊梯形的面積，必然隨著底數端點的變化而變化，所以陰影部分的面積是端點x的函數（見圖5-10)定積分計算公式利用定義計算定積分的值是十分麻煩的，有時甚至無法計算。因此，必須尋求計算定積分的簡便方法。我們知道：如果物體以速度嗆何f）〉o）作直線運動，那么在時間區(qū)間b』］上所經過的路程s為"（訕圖5-11 I* % J另一方面，如果物體經過的路程s是時間t的函數難），那么物體從t=a到t=b所經過的路程應該是（見圖5-11）即［訛儀=￡0）-屯）Ji2'' '_ _'由導數的物理意義可知:也“即諒）是誠）一個原函數，因此，為了求出定積分帥，應先求出被積函數誠）的原函數詠），再求呦在區(qū)間b』］上的增量論卜個即可。如果拋開上面物理意義，便可得出計算定積分〔心的一般方法：設函數了⑴在閉區(qū)間*］上連續(xù)，弘）是八）的一個原函數，即叭山卅），則

S吩陀）-昨）這個公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。為了使用方便，將公式寫成牛頓-萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一個函數定積分等于這個函數的原函數在積分上、下限處函數值之差。它揭示了定積分和不定積分的內在聯系，提供了計算定積分有效而簡便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應用。因為「是/的一個原函數所以[x因為「是/的一個原函數所以[x2dx-例2求曲線y=和直線x=0、x=桿及y=0所圍成圖形面積A（5-12）解這個圖形的面積為圖5-12smxdx=-圖5-12-—匚osjt-l-cosO=1-1-1=2二、定積分的性質設了⑴、亞）在相應區(qū)間上連續(xù)，利用前面學過的知識，可以得到定積分以下幾個簡單性質:

f生質1被積函數的常數因子可以提到定積分符號前面，即］：機畑制:兀叫a為常數）f生質2函數的代數和的定積分等于它們的定積分的代數和,［&（力士或珅暢=［或訟這個性質對有限個函數代數和也成立。生質3積分的上、下限對換則定積分變號，即以上生質用定積分的定義及牛頓-萊布尼茲公式均可證明，此處證明從略。f生質4如果將區(qū)間k』］分成兩個子區(qū)間［釘d及b』］那么有這個于區(qū)間分成有限個的情形也成立。下面用定積分的幾何意義，對生質4加以說明。當avcvb時，從圖5-13a可知，由y=fh）與和x=ax=b及x軸圍成的曲邊梯形面積蟲：A=A1+A2圖5-13a圖5-13b因為貝二（于s迢兀舄二［了（對出y；甩二rj（對出y所以［于（X）必二［了⑴+［孑（不）必即性質4成立。當avbvc時，即點c在b』］外，由圖5-13b可知，［畑=A1-\-A2=打（z協十仃（冊所以（憑）=［了G禺-［Ax禺解所以1?2于是，￡n^=￡一xdx十［xdx12012——丁+—才2-120解因為了匕莊［-12］上分段連續(xù)所以”(*［：血協十f血禺」：&一肚+!■:護x~2~^十-丄-1例8火車以v=72km/h的速度在平直的軌道上行駛，到某處需要減速停車。設火車以加速度a=-5m//剎車。問從開始剎車到停車，火車走了多少距離？解首先要算出從開始剎車到停車經過時間。當時火車速度=12km!h-72x1000=12km!h-72x10003600皿剎車后火車減速行駛。其速度為閹二弘-也二20-殳當火車停住時，速度誡故從誡5￡=Q解得5m!s于是在這段時間內，火車走過的距離為即在剎車后，火車需走過40m解得5m!s于是在這段時間內，火車走過的距離為即在剎車后，火車需走過40m才能停住。習題5-21求下列定積分：rrcos2x(8)hcosr+sinx⑼號