年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學（理科）第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．（1）【2014年浙江，理1，5分】設全集，集合，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】，，故選B．【點評】本題主要考查全集、補集的定義，求集合的補集，屬于基礎題．（2）【2014年浙江，理2，5分】已知是虛數單位，，則“”是“”的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，，反之，，即，則，解得或，故選A．【點評】本題考查的知識點是充要條件的定義，復數的運算，難度不大，屬于基礎題．（3）【2014年浙江，理3，5分】某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的表面積是（）（A）90（B）129（C）132（D）138【答案】D【解析】由三視圖可知直觀圖左邊一個橫放的三棱柱右側一個長方體，故幾何體的表面積為：，故選D．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，根據三視圖判斷幾何體的形狀及數據所對應的幾何量是解題的關鍵．（4）【2014年浙江，理4，5分】為了得到函數的圖像，可以將函數的圖像（）（A）向右平移個單位（B）向左平移個單位（C）向右平移個單位（D）向左平移個單位【答案】C【解析】，而=，由，即，故只需將的圖象向右平移個單位，故選C．【點評】本題考查兩角和與差的三角函數以及三角函數的平移變換的應用，基本知識的考查．（5）【2014年浙江，理5，5分】在的展開式中,記項的系數，則=（） （A）45（B）60（C）120（D）210【答案】C【解析】令，由題意知即為展開式中的系數，故=，故選C．【點評】本題考查二項式定理系數的性質，二項式定理的應用，考查計算能力．（6）【2014年浙江，理6，5分】已知函數，且（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由得，解得，所以，由，得，即，故選C．【點評】本題考查方程組的解法及不等式的解法，屬于基礎題．（7）【2014年浙江，理7，5分】在同一直角坐標系中，函數，的圖像可能是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】函數，分別的冪函數與對數函數答案A中沒有冪函數的圖像,不符合；答案B中，中，中，不符合；答案C中，中，中，不符合；答案D中，中，中，符合，故選D．【點評】本題考查的知識點是函數的圖象，熟練掌握對數函數和冪函數的圖象和性質，是解答的關鍵．（8）【2014年浙江，理8，5分】記，，設為平面向量，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由向量運算的平行四邊形法可知與的大小不確定，平行四邊形法可知所對的角大于或等于，由余弦定理知，（或），故選D．【點評】本題在處理時要結合著向量加減法的幾何意義，將，，，放在同一個平行四邊形中進行比較判斷，在具體解題時，本題采用了排除法，對錯誤選項進行舉反例說明，這是高考中做選擇題的常用方法，也不失為一種快速有效的方法，在高考選擇題的處理上，未必每一題都要寫出具體解答步驟，針對選擇題的特點，有時“排除法”，“確定法”，“特殊值”代入法等也許是一種更快速，更有效的方法．（9）【2014年浙江，理9，5分】已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個籃球，從乙盒中隨機抽取個球放入甲盒中．（a）放入個球后，甲盒中含有紅球的個數記為；（b）放入個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為．則（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解法一：，=，∴－=，故．又∵，，∴，將一、二、三等獎各1張分給4個人有種分法，其中三張獎券都分給一個人的有4種分法，因此不同的獲獎情況共有種．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，考查學生的計算能力，屬于基礎題．（15）【2014年浙江，理15，5分】設函數若，則實數的取值范圍是．【答案】．【解析】由題意或，解得∴當或，解得．【點評】本題主要考查分段函數的應用，其它不等式的解法，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題．（16）【2014年浙江，理16，5分】設直線()與雙曲線（）兩條漸近線分別交于點，．若點滿足，則該雙曲線的離心率是．【答案】【解析】解法一：由雙曲線的方程可知，它的漸近線方程為和，分別與直線：聯立方程組，解得，，，設中點為，由得，則，即，與已知直線垂直，∴，即，即得，即，即，所以．解法二：不妨設，漸近線方程為即，由消去，得，設中點為，由韋達定理得：……①，又，由得，即得得代入①得，得，所以，所以，得．【點評】本題考查雙曲線的離心率，考查直線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．（17）【2014年浙江，理17，5分】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進行射擊訓練．已知點到墻面的距離為，某目標點沿墻面上的射擊線移動，此人為了準確瞄準目標點，需計算由點觀察點的仰角的大小．若，，，則的最大值是（仰角為直線與平面所成角）．【答案】【解析】解法一：∵，，，∴，過作，交于，1當在線段上時，連接，則，設，則，（）由，得．在直角中，∴，令，則函數在單調遞減，∴時，取得最大值為2當在線段的延長線上時，連接，則，設，則，（）由，得，在直角中，，∴，令，則，當時；當時，所以當時，此時時，取得最大值為，綜合1，2可知取得最大值為．解法二：如圖以為原點，、所在的直線分別為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵，，，∴，由，可設（其中），，，所以，設()，，所以，當時；當時，所以當時，所以取得最大值為．解法三：分析知，當取得最大時，即最大，最大值即為平面與地面所成的銳二面角的度量值，如圖，過在面內作交于，過作于，連，則即為平面與地面所成的二面角的平面角，的最大值即為，在中，由等面積法可得，，所以．【點評】本題考查利用數學知識解決實際問題，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5題，共72分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（18）【2014年浙江，理18，14分】在中，內角，，所對的邊分別為，，．已知，．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．解：（1）由題得，即，，由得，又，得，即，所以．（2），，，得，由得，從而，故=，所以，的面積為．【點評】本題主要考查二倍角公式、兩角和差的三角公式、正弦定理的應用，屬于中檔題．（19）【2014年浙江，理19，14分】已知數列和滿足．若為等比數列，且．（1）求與；（2）設．記數列的前項和為．（ⅰ）求；（ⅱ）求正整數，使得對任意均有．解：（1）∵①，當，時，②，由①②知：當時，，令，則有，∵，∴．∵為等比數列，且，∴的公比為，則，由題意知，∴，∴．∴．又由，得：，即，∴．（2）（ⅰ）∵，∴====．（ⅱ）因為，，，；當時，，而，得，所以，當時，，綜上，對任意恒有，故．【點評】本題考查了等比數列通項公式、求和公式，還考查了分組求和法、裂項求和法和猜想證明的思想，證明可以用二項式定理，還可以用數學歸納法．本題計算量較大，思維層次高，要求學生有較高的分析問題解決問題的能力．本題屬于難題．（20）【2014年浙江，理20，15分】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）求二面角的大小．解：（1）在直角梯形中，由，，得，由，得，即，又平面平面，從而平面，所以，又，從而平面．（2）解法一：作，與交于點，過點作，與交于點，連接，由（1）知，則，所以就是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，從而，由于平面，得．在中，由，，得；在中，由，得；在中，由，，，得，，從而，在，中，利用余弦定理分別可得，．在中，，所以，，即二面角的大小為．解法二：以的原點，分別以射線，為，軸的正半軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．由題意知各點坐標如下：，，，，．設平面的法向量為，平面的法向量為，可算得：，，，由，即，可取，由即可取，于是．由題意可知，所求二面角是銳角，故二面角的大小為．【點評】本題主要考查空間點、線、面位置關系，二面角等基礎知識，同時考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力．（21）【2014年浙江，理21，15分】如圖，設橢圓:動直線與橢圓只有一個公共點，且點在第一象限．（1）已知直線的斜率為，用表示點的坐標；（2）若過原點的直線與垂直，證明：點到直線的距離的最大值為．解：（1）解法一：設方程為，，消去得：，由于直線與橢圓只有一個公共點，故，即，解得點的坐標為，又點在第一象限，故點的坐標為．解法二：作變換，則橢圓：變為圓：，切點變為點，切線（，變為．在圓中設直線的方程為（），由，解得，即，由于，所以，得，即，代入得，即，利用逆變換代入即得：．（2）由于直線過原點且與直線垂直，故直線的方程為，所以點到直線的距離，整理得:，因為，所以，當且僅當時等號成立．所以，點到直線的距離的最大值為．【點評】本題主要考查橢圓的幾何性質、點到直線間的距離、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法、基本不等式應用等綜合解題能力．（22）【2014年浙江，理22，14分】已知函數．（1）若在上的最大值和最小值分別記為，求；（2）設若對恒成立，求的取值范圍．解：（1）∵，∴，由于，（ⅰ）當時，有，故，所以，在上是增函數，因此，，故．（ⅱ）當時，若，，在上是增函數；若，，在上是減函數，∴，，由于，因此當時，；當時，；（ⅲ）當時，有，故，此時在上是減函數