年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）數學（理科）第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．（1）【2014年江西，理1，5分】是的共軛復數，若，（為虛數單位），則（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由于，可得①又②由①②解得，故選D．【點評】本題考查復數的乘除運算，屬于基本計算題．（2）【2014年江西，理2，5分】函數的定義域為（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】要使函數有意義，則，即或，故函數的定義域為，故選C．【點評】本題主要考查函數定義域的求法，比較基礎．（3）【2014年江西，理3，5分】已知函數，，若，則（）（A）1（B）2（C）3（D）【答案】A【解析】，若，則，即，則，解得，故選A．【點評】本題主要考查函數值的計算，利用條件直接代入解方程即可，比較基礎．（4）【2014年江西，理4，5分】在中，內角所對應的邊分別為，若，，則的面積為（）（A）3（B）（C）（D）【答案】C【解析】由題意得，，又由余弦定理可知，，∴，即．∴，故選C．【點評】本題是余弦定理的考查，在高中范圍內，正弦定理和余弦定理是應用最為廣泛，也是最方便的定理之一，高考中對這部分知識的考查一般不會太難，有時也會和三角函數，向量，不等式等放在一起綜合考查．（5）【2014年江西，理5，5分】一幾何體的直觀圖如右圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是（） （A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見線段，所以C、D不正確；幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確，故選B．【點評】本題考查三視圖的畫法，幾何體的結構特征是解題的關鍵．（6）【2014年江西，理6，5分】某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量之間的關系，隨機抽查52名中學生，得到統計數據如表1至表4，則與性別有關聯的可能性最大的變量是（）（A）成績（B）視力（C）智商（D）閱讀量【答案】D【解析】表1：；表2：；表3：；表4：，∴閱讀量與性別有關聯的可能性最大，故選D．【點評】本題考查獨立性檢驗的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．（7）【2014年江西，理7，5分】閱讀如下程序框圖，運行相應的程序，則程序運行后輸出的結果為（）（A）7（B）9（C）10（D）11【答案】B【解析】由程序框圖知：的值，∵，而，∴跳出循環的值為9，∴輸出，故選B．【點評】本題考查了循環結構的程序框圖，根據框圖的流程判斷算法的功能是解題的關鍵．（8）【2014年江西，理8，5分】若，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】若，則：，則，顯然A不正確；若，則∴，顯然B正確；若，則∴，顯然C不正確；若，則∴，顯然D不正確，故選B．【點評】本題考查定積分以及微積分基本定理的應用，回代驗證有時也是解答問題的好方法．（9）【2014年江西，理9，5分】在平面直角坐標系中，分別是軸和軸上的動點，若以為直徑的圓與直線相切，則圓面積的最小值為（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】∵為直徑，，∴點必在圓上，由向直線做垂線，垂足為，則當恰為圓與直線的切點時，此時圓的半徑最小，即面積最小此時圓的直徑為O到直線的距離為，則圓的面積為：，故選A．【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關系．用數形結合的思想，解決問題較為直觀．（10）【2014年江西，理10，5分】如右圖，在長方體中，，，，一質點從頂點射向點，遇長方體的面反射（反射服從光的反射原理），將次到第次反射點之間的線段記為，，將線段豎直放置【解析】設，，則，，∵過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，兩點，是線段的中點，∴兩式相減可得，∴，∴，∴．【點評】本題考查橢圓C的離心率，考查學生的計算能力，正確運用點差法是關鍵．三、解答題：本大題共6題，共75分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．（16）【2014年江西，理16，12分】已知函數，其中，．（1）當，時，求在區間上的最大值與最小值；（2）若，，求的值．解：（1）因，，故．又，故，因此，從而，．（2），又，故，．，故，得，從而．【點評】本題主要考查兩角和差的正弦公式、余弦公式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．（17）【2014年江西，理17，12分】已知首項都是1的兩個數列，（），滿足．（1）令，求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和．解：（1）因，且，故，即，所以是首項為，公差為2的等差數列，從而．（2）因，，有，．所以，從而．【點評】本題為等差等比數列的綜合應用，用好錯位相減法是解決問題的關鍵，屬中檔題．（18）【2014年江西，理18，12分】已知函數．（1）當時，求的極值；（2）若在區間上單調遞增，求的取值范圍．解：（1）當時，的定義域為，．令，解得，．當和時，，所以在和上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增．所以，當時，取得極小值；當時，取得極大值．（2）在上單調遞增且不恒等于0對恒成立．，故，因此．因，故．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的極值，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．（19）【2014年江西，理19，12分】如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面．（1）求證：；（2）若，，，問為何值時，四棱錐的體積最大？并求此時平面與平面夾角的余弦值．解：（1）因面面，面面，，故面．又面，故．（2）過作，由（1）有面，作，連接，作．設，則，故即時，．如圖建立空間直角坐標系，則，，，，故，，，，．設面、面的法向量分別為，．由得．設，則，故．同理可得．故，從而平面與平面夾角的余弦值為．【點評】本題考查線面位置關系、線線位置關系、線面角的度量，考查分析解決問題、空間想象、轉化、計算的能力與方程思想．（20）【2014年江西，理20，13分】如圖，已知雙曲線的右焦點，點分別在的兩條漸近線上，軸，，(為坐標原點）．（1）求雙曲線的方程；（2）過上一點的直線：與直線相交于點，與直線相交于點，證明點在上移動時，恒為定值，并求此定值．解：（1）因，，故且，因此，．所以所求方程為．（2）由（1）知，，，，．故．【點評】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，推理論證能力、運算求解能力、函數與方程思想，屬于難題．（21）【2014年江西，理21，14分】隨機將這個連續正整數分成兩組，每組個數，組最小數為，最大數為；組最小數為，最大數為，記，．（1）當時，求的分布列和數學期望；（2）令表示事件與的取值恰好相等，求事件發生的概率．（3）對（2）中的事件，表示的對立事件，判斷和的大小關系，并說明