------------------------------------------------------------------------全等三角形證明經(jīng)典50題(含答案)已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，111749AD是整數(shù)，求ADAADBC解：延長(zhǎng)AD到E,使AD=DE∵D是BC中點(diǎn)∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=2已知：D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，求證：DADABC∵DP=DC,DA=DB∴ACBP為平行四邊形又∠ACB=90∴平行四邊形ACBP為矩形∴AB=CP=1/2AB

已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：∠1=∠2

ABABCDEF21∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF連接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。∵∠ABC=∠AED。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=ACBACDF21E

過C作CG∥EF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（對(duì)頂角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又，EF∥AB

∴，∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝BACDF21E

已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠CAA證明：延長(zhǎng)AB取點(diǎn)E，使AE＝AC，連接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE

證明：在AE上取F，使EF＝EB，連接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE已知：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADAADBC解：延長(zhǎng)AD到E,使AD=DE

∵D是BC中點(diǎn)

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=2已知：D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，求證：DABC

解：延長(zhǎng)AD到E,使AD=DE

∵D是BC中點(diǎn)

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵DABC已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：∠1=∠2AABCDEF21證明：連接BF和EF。∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。∴三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)。∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。連接BE。在三角形BEF中,BF=EF。∴∠EBF=∠BEF。又∵∠ABC=∠AED。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。∴三角形ABF和三角形AEF全等。∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=ACBACDF21E

過C作CG∥EF交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（對(duì)頂角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又EF∥AB

∴∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝BACDF21E已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠CACACDB證明：延長(zhǎng)AB取點(diǎn)E，使AE＝AC，連接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE

在AE上取F，使EF＝EB，連接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC又∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE12.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，連接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+∠CFE=180o∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCE

CE平分∠BCDCE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求證：∠F=∠CDDCBAFEAB‖ED，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度，∵∠EAB=∠BDE，∴∠AED=∠ABD，∴四邊形ABDE是平行四邊形。∴得：AE=BD，∵AF=CD,EF=BC，∴三角形AEF全等于三角形DBC，∴∠F=∠C。已知：AB=CD，∠A=∠D，求證：∠B=∠CAABCD證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E，（當(dāng)AD<BC時(shí)，E點(diǎn)是射線BA,CD的交點(diǎn)，當(dāng)AD>BC時(shí)，E點(diǎn)是射線AB,DC的交點(diǎn)）。則：△AED是等腰三角形。∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE(等量加等量，或等量減等量）∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.P是∠BAC平分線AD上一點(diǎn)，AC>AB，求證：PC-PB<AC-ABPPDACB在AC上取點(diǎn)E，

使AE＝AB。

∵AE＝AB

AP＝AP

∠EAP＝∠BAE，

∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE

∴PC＜（AC－AE）＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE證明：

在AC上取一點(diǎn)D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；

∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC–AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分線，

∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴點(diǎn)E一定在直線BD上，

在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴點(diǎn)E也是BD的中點(diǎn)

∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE已知，E是AB中點(diǎn)，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCFAEDCB

∵作AG∥BD交DE延長(zhǎng)線于G

∴AGE全等BDE

∴AG=BD=5

∴AGF∽CDF

FAEDCB18．如圖，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC．

解：延長(zhǎng)AD至BC于點(diǎn)E,

∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形

∴∠DBC=∠DCB

又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

｛AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

∴△ABD和△ACD是全等三角形（邊角邊）

∴∠BAD=∠CAD

∴AE是△ABC的中垂線

∴AE⊥BC

∴AD⊥BC19．如圖，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B為垂足，AB交OM于點(diǎn)N．求證：∠OAB=∠OBA證明：∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵M(jìn)A⊥OP，MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM（AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON∴△AON≌△BON（SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB20．（5分）如圖，已知AD∥BC，∠PAB的平分線與∠CBA的平分線相交于E，CE的連線交AP于D．求證：AD+BC=AB．做BE的延長(zhǎng)線，與AP相交于F點(diǎn)，∵PA//BC∴∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均為∠PAB和∠CBA的角平分線∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB為直角三角形在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE為∠FAB的角平分線∴三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，∴三角形DEF與三角形BEC為全等三角形，∴DF=BC∴AB=AF=AD+DF=AD+BC21．如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線，且AB=AC+CD，求證：∠C=2∠B延長(zhǎng)AC到E

使AE=AC連接ED∵AB=AC+CD∴CD=CE

可得∠B=∠E△CDE為等腰

∠ACB=2∠B22．（6分）如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于點(diǎn)M．（1）求證：MB=MD，ME=MF（2）當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說明理由．

（1）連接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE=BF．

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

∴MB=MD，ME=MF；

（2）連接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，

∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，

在Rt△DEC和Rt△BFA中，

∵AF=CE，AB=CD，

∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），

∴DE=BF．

∴四邊形BEDF是平行四邊形．

∴MB=MD，ME=MF．23．已知：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：△AED≌△EBC．（2）觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請(qǐng)?jiān)賹懗鰞蓚€(gè)與△AED的面積相等的三角形．（直接寫出結(jié)果，不要求證明）：

證明：∵DC∥AB∴∠CDE＝∠AED∵DE＝DE，DC＝AE∴△AED≌△EDC∵E為AB中點(diǎn)∴AE＝BE∴BE＝DC∵DC∥AB∴∠DCE＝∠BEC∵CE＝CE∴△EBC≌△EDC∴△AED≌△EBC

24．（7分）如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F．求證：BD=2CE．

證明：

∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE四點(diǎn)共元∵∠ABE=∠CBE∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取線段BD的中點(diǎn)G，連接AG，則：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA(同弧上的圓周角相等）∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE

25、如圖：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求證：△AED≌△BFC。證明：∵DF=CE，

∴DF-EF=CE-EF，

即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF

∴△AED≌△BFC（SAS）

26、（10分）如圖：AE、BC交于點(diǎn)M，F(xiàn)點(diǎn)在AM上，BE∥CF，BE=CF。求證：AM是△ABC的中線。證明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中線.27、（10分）如圖：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中點(diǎn)。求證：BD⊥AC。∵△ABD和△BCD的三條邊都相等

∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD

∴∠ADB=∠CDB=90°

∴BD⊥AC28、（10分）AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證：BF=CF在△ABD與△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF與△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。∵AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE30.公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BE＝CF，M在BC的中點(diǎn)，試說明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.證明：連接EF

∵AB∥CD

∴∠B=∠C

∵M(jìn)是BC中點(diǎn)

∴BM=CM

在△BEM和△CFM中

BE=CF

∠B=∠C

BM=CM

∴△BEM≌△CFM（SAS）

∴CF=BE

31．已知：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.

∴AE=CF.

∵DF//BE,

∴∠AEB=∠CFD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵BE=DF

∴：△ABE≌△CDF（SAS）32.已知：如圖所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證：AE＝AF。DDBCcAFE連接BD；

∵AB=ADBC=D

∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;兩角相加，∠ADC=∠ABC；

∵BC=DCE\F是中點(diǎn)

∴DE=BF；

∵AB=ADDE=BF

∠ADC=∠ABC

∴AE=AF。

33．如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，求證:∠5=∠6．證明：在△ADC，△ABC中∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA∴△ADC≌△ABC（兩角加一邊）∵AB=AD，BC=CD在△DEC與△BEC中∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD∴△DEC≌△BEC（兩邊夾一角）∴∠DEC=∠BEC34．∵AD=DF

∴AC=DF

∵AB//DE

∴∠A=∠EDF

又∵BC//EF

∴∠F=∠BCA

∴△ABC≌△DEF（ASA）35．已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，求證：BE=CD．AACBDEF證明：

∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°∵AB=AC

∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC

∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)

∴BE=CD如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求證：DE=DF．AEBDCF

證明：AEBDCF∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED與∠AFD=90°在△AED與△AFD中∠EAD=∠FADAD=AD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD（AAS）∴AE=AF在△AEO與△AFO中∠EAO=∠FAOAO=AOAE=AF∴△AEO≌△AFO（SAS）

∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF37.已知：如圖,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的長(zhǎng)？DDCBAE∵AD⊥AB

∴∠BAC=∠ADE

又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E

根據(jù)三角形角度之和等于180度

∴∠ABC=∠DAE

∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）

∴AD=AB=538．如圖：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC證明：

∵AB=AC∴∠B=∠C∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF∴△BME≌△CMF（AAS）∴MB=MC．39.如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：①②③④⑤．請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明．已知：①AD=BC，⑤∠DAB=∠CBA

求證：△DAB≌△CBA

證明：∵AD=BC，∠DAB=∠CBA

又∵AB=AB

∴△DAB≌△CBA40．在△ABC中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①≌②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說明理由.（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE41．如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BFAAEBMCF（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；（2）如圖，根據(jù)（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（對(duì)頂角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．42．如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。證明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN43．如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF在△ABF和△CDE中,AB=DE∠A=∠DAF=CD∴△ABF≡△CDE（邊角邊）∴FB=CE在四邊形BCEF中FB=CEBC=EF∴四邊形BCEF是平行四邊形∴BC‖EF44．如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說明理由在AB上取點(diǎn)N,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN

∴AE為公共,

∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE為公共邊

∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如圖,已知:AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．證明：

∵AD是△ABC的中線

BD=CD

∵DF=DE（已知）

∠BDE=∠FDC

∴△BDE≌△FDC

則∠EBD=∠FCD

∴BE∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線