巧妙(qiǎomiào)渡河第一頁，共23頁。1巧妙渡河

獵人要把一只狼，一頭羊和一籃白菜從河的左岸帶到右岸，但他的渡船太小，一次只能帶一樣。因為狼要吃羊，羊會吃白菜，所以狼和羊，羊和白菜不能在無人監視(jiānshì)的情況下相處。問獵人怎樣才能到達目的？

解：稍加思考就可得到渡河的方法，如下：

第一次：獵人把羊帶至右岸；

第二次：獵人單身回左岸，把白菜帶至右岸，此時(cǐshí)右岸有獵人，羊和白菜；

第三次：獵人再把羊帶回左岸，放下羊把狼帶至右岸，此時(cǐshí)右岸有獵人，狼和白菜；

第四次：獵人單身回左岸，最后把羊帶至右岸，便可完成渡河的任務。第二頁，共23頁。20個關于渡河過橋的數學題

A組：

1.老王體重150斤，他去山上打柴，共打了兩捆，每捆重70斤。老王回家要經過一座小橋，小橋只能載重200斤，請你給他想個方法，讓他一次平安地過河去。

2.有人要過橋，橋中有看守，看守每5分鐘出來巡視一遍，然后回屋打盹。但他巡視時，發現有人從橋東往西走，就趕回橋西。這人過橋至少要7分鐘。請你想方法幫他過橋？

3.一只船在河中行駛，來到一座橋下時，船上的貨物高出橋面底部3厘米，無法通過(tōngguò)。現在不準移動貨物，你可以想出方法，使船安全通過(tōngguò)橋底嗎？

第三頁，共23頁。34.一條大河20米寬，小軍站在岸邊看到對岸有一人(yīrén)正在岸邊的大樹上系一條長16米的繩子。小軍很好奇，于是他不走橋，不坐船，從河面上走了過去。你說這可能嗎？

5.一農民帶了一條狗、一只雞和一袋米過河，但是船很小，每次他只能夠帶一樣東西過去。傷腦筋的是，他不在場時，狗要吃雞，雞要吃米(他在場時述情形就不要緊)，不過狗不吃米。現在的問題是，怎樣才能想出一個方法，三件東西都帶過河去，并且一樣都不受損失。

6.48名同學要過河去野游，現在只有一只船，這只船小只能坐7個人過河，算一算，這些同學至少要分幾組才能全部過河？(提示：船不會自己游，每名同學都會劃船。)

第四頁，共23頁。4答案：A組：1.把柴放在河里拖過去；2.這人如果從東往西走，那么當看守回屋后，這人趕快向西走，約莫走一半時，他就轉身往東走。這樣，看守出來巡視時，誤認為他從西面來，便把他趕回西岸。此法可順利過橋。這人如果從西往東走，“道理〞同上；3.把船駛到岸邊，搬些石頭(shítou)等重物放在船上，使船下沉3厘米，即可平安通過；4.可能，因為是冬天走在冰面上；5.(1)第一次帶雞過，(2)第二次帶狗過，把雞帶回，(3)第3次帶米過，(4)第四次帶雞過；6.6×8＝48(人)，1人撐船，8組，撐船人每次送過6人，最后次撐船人也過了河。

第五頁，共23頁。5B組：

7.有100只雞，要從河的東岸運到西岸去，用一條船來裝運。但有一個條件：要分三次運，每次運數要相等。你看該如何裝運？

8.一隊士兵行軍到河邊，他們想渡過河去，可是河水又深又急不能泅渡。突然，看到河對岸有兩個(liǎnɡɡè)孩子搖來一條小船。這條小船每次最多只能容一個士兵或兩個(liǎnɡɡè)小孩乘坐。隊長想出了一個好主意，終于把士兵平安渡過了河。他們是怎樣渡河的？(提示，每位兵士、每個小孩都會劃船)

第六頁，共23頁。69.岸邊停靠著A、B、C、D四只汽艇，它們的船速不同。如果單獨開到對岸去，A艇需1分鐘，B艇需2分鐘，C艇需5分鐘，D艇需6分鐘。但現在只有一位駕駛員，一次最多只能同時開兩只艇過河。請你想一想，將四只艇全部開到對岸，最少可需要幾分鐘？

10.有一條小河(xiǎohé)寬米，兩岸各有一個人要過河，兩岸每邊都只有一條長5米的木板。如果兩人體重都是100斤，板重各20斤，請你想一想，這兩個人怎樣才能都平安過河？

第七頁，共23頁。7B組：7.第一次裝運(zhuāngyùn)34只到對岸卸下33只，留一只帶回東岸；第二次又裝上33只，加上船上原有的一只，共34只運到對岸，卸33只，留一只帶回東岸；第三次把最后33只裝上船，一同運到西岸(解法不唯一)；8.一步：兩個小孩劃到對岸，一個孩子上岸。二步：另一個孩子把船劃回來，他上岸。三步：一個士兵把船劃到對岸，他上岸。四步：留在對岸的孩子把船劃回來。五步：兩個孩子再把船劃到對岸，重復這種步驟，直到把全部士兵渡過河為止；9.第一次A、B過(按慢艇速度)留A、B回，4分鐘。第二次C、D過，A回，7分鐘。第三次A、B過，2分鐘。至少需要13分鐘(此法不唯一，答案唯一)；10.如以下圖所示，將兩條木板搭接起來，由甲壓住放在下面的木板的一端，使乙通過。然后乙站在甲的位置上，使甲通過。這是巧妙利用了杠桿原理。第八頁，共23頁。8顏色相同

有紅、黃、藍、黑四種小球各假設干個，每個人可以從中任意摸出兩個。那么，需要多少個人同時摸球，才能保證至少有2人摸的小球顏色相同？

三種票

有40名學生到碧海山莊公園春游，16名學生買了過索橋的票，15人買了汽槍打靶的票，20人買了舞票，其中有3人既買了過索橋的票又買了汽槍打靶的票，有5人既買了汽槍打靶的票又買了舞票，有7人既買了舞票又買了過索橋的票，有2個人三種票都買了。40名學生中有沒有人這三種票哪一種都沒買到？

你能辦到嗎

請你在121這個數后面補上三個數字，組成一個六位數，使這個數能分別(fēnbié)被3、4、5整除，并且要求這個數值盡量小，你能辦到嗎？

第九頁，共23頁。9小聰明

“六一〞兒童節，某小隊全體同學(tóngxué)〔十人〕去玩電子游戲，但每次只能一個人玩。同學(tóngxué)們都想先玩，誰也不謙讓。這時有人想了個主意，叫他們站成一排，1、2、3、4……報數，報單數的離開隊伍，剩下的再報數，報單數的再離開……，最后剩下誰，誰就先玩。小聰明很快找到了第一個先玩的應站的位置。想想看，小聰明站在幾號位置上？

哪幾根可以不拔掉

爸爸為媽媽買了一塊生日蛋糕，小靈巧為媽媽買了假設干根小蠟燭。小靈巧想在蛋糕的周圍插一圈蠟燭。每隔6厘米插上一根，當插到11根時，蠟燭剩了很多，只好改成每隔4厘米插一根。媽媽想把插過的蠟燭全拔掉，重新插。小靈巧不同意。他說有幾根可以不拔掉，你說說看，哪幾根可以不拔掉呢？

第十頁，共23頁。10

五個星期日

某月份內有五個星期天，其中三個星期天的日期是偶數，二個星期天的日期是奇數。那么，這個月里哪幾天是星期日？

養兔

一位農民，一月份他買了一對剛生下的小兔，一個月后這對小兔長成了大兔，一個月后又生下一對小兔。這樣下去，十二月份時他家共有多少對兔子(tùzi)？算一算你就會知道他走養兔的路是能發家致富的。第十一頁，共23頁。11

智力趣題“公雞不能生蛋〞

從前有一個國王，暴虐任性。一次，他對一位大臣說：

“我吃的雞蛋都是母雞生的，現在想嘗嘗公雞蛋的滋味，命令你三天內把公雞蛋找來，我將重賞你；如果三天內找不到(bùdào)公雞蛋，我就要在第四天的早晨處死你。〞

大臣知道厄運將至，但又不敢公開違抗，只有悲傷地離開了朝廷。

三天過去了，大臣無法找到公雞蛋。最后的一個夜晚，他顯得異常煩躁。大臣的小兒子是一個很聰明的少年，看到爸爸如此焦急，知道一定是大禍臨頭了。便問道：

“爸爸有什么煩悶的事呢？〞

“你小孩子家，我講了又有什么用？〞大臣有氣無力地答復。

“不，爸爸！告訴我吧，或許我能為你分憂。〞少年緊握爸爸的雙手，使勁地搖晃著。

大臣深情地望著自己的孩子，終于說出了事情的原委。少年沉思了一會，勸爸爸不要著急，他有方法逢兇化吉。

第十二頁，共23頁。12第四天的一早，少年代替大臣上了朝。

“你爸爸怎么不來呢？〞國王(guówáng)問道。

“啟稟國王(guówáng)，我爸爸在家生孩子。〞少年不慌不忙地答復。

少年的答復引起國王(guówáng)和大臣們一陣哄笑。繼而，國王(guówáng)生氣了：

“胡說！男人怎么會生孩子？〞

“是的，國王(guówáng)。男人是不能生孩子的，正如公雞不能下蛋一樣。〞少年抓住時機，一句話說得國王(guówáng)張口結舌，無言相對，最后只好赦免了大臣。

生活中有很多現象是類似的。我們常常根據兩個類似系統的某一系統中某一公認為正確的判斷，來對另一系統作出類似的判斷，這種方法叫做類比。“公雞是不會生蛋的〞，這是公認的事實，可是國王(guówáng)卻違背了這個真理。“公雞不能生蛋〞與“男人不能生孩子〞是類似的兩個現象。為了證實“公雞不能生蛋〞是正確的，就用“男人不能生孩子〞這一公認的事實來類比，從而到達否認國王(guówáng)謬論的目的。

第十三頁，共23頁。13趣題巧解貓捉老鼠

問題：如果3只貓在3分鐘內捉住了3只老鼠，那么多少只貓將在100分鐘內捉住100只老鼠?

這是一個古老的趣題，常見的答案(dáàn)是這樣的：如果3只貓用3分鐘捉住了3只老鼠，那么它們必須用1分鐘捉住1只老鼠。于是，如果捉1只老鼠要花去它們1分鐘時間，那么同樣的3只貓在l00分鐘內將會捉住100只老鼠。

遺憾的是，問題并不那么簡單。剛剛的解答實際上利用了某個假定，它無疑是題目中所沒有談到的。這個假定認為這3只貓把注意力全部集中于同一只老鼠身上，它們通過合作在1分鐘內把它捉住，然后再聯合把注意力轉向另—只老鼠。

但是，假設3只貓換一個做法，每只貓各追捕1只老鼠，各花3分鐘把它們捉住。按照這種設想，3只貓還是用3分鐘捉住3只老鼠。于是，它們要花6分鐘去捉住6只老鼠，花9分鐘捉住9只老鼠，花99分鐘捉住99只老鼠。現在我們面臨著一個計算上的困難，同樣的3只貓究竟要花多長時間才能捉住第100只老鼠呢?如果它們還是要足足花上3分鐘去捉住這只老鼠，那么這3只貓得花l02分鐘捉住102只老鼠。要在100分鐘內捉住100只老鼠──這是題目關于貓捉老鼠的效率指標，我們肯定需要多于3只而少于4只的貓，因此答案(dáàn)只能是需要4只貓，雖然這有點浪費。

第十四頁，共23頁。14顯然，對于3只貓是怎樣準確地計算(jìsuàn)貓捉老鼠這種行動的時間，這個趣題沒做任何交代。因此，如果允許答案不唯一，那么，答案可以是豐富多彩的，3只、4只、甚至更多。如果要求答案唯一的話，這個問題的唯一正確答案是：這是一個意義不明確的問題，由于沒有更多關于貓是怎樣捕捉老鼠的信息，因此無法答復這個問題。

這個簡單的趣題啟示我們，在解答一個數學問題〔也包括其他問題〕前，一定要仔細領會題目所給出的全部信息，既不要曲解題義，也不要人為添加條件以迎合所謂的標準答案。當然這個趣題也給了我們一個有益的人生啟示──只有合作才能產生最正確的工作效益。第十五頁，共23頁。15

韓信是中國古代一位有名的大元帥，輔助劉邦打敗楚霸王項羽，奠定(diàndìng)了漢朝的基業。民間流傳著一些以韓信為主角的有關聰明人的故事，下面就是其中的一個。據說有一天，韓信騎馬走在路上，看見兩個人正在路邊為分油發愁。這兩個人有一只容量10斤〔1斤=500千克〕的簍子，里面裝滿了油；還有一只空的罐和一只空的葫蘆，罐可裝7斤油，葫蘆可裝3斤油。要把這10斤油平分，每人5斤。但是誰也沒有帶秤，只能拿手頭的三個容器倒來倒去。應該怎樣分呢？韓信騎在馬上，了解情況以后，說：“葫蘆歸罐罐歸簍，二人分油回家走。〞說完了，打馬就走。兩個人按照韓信的方法倒來倒去，果然把油平均分成兩半，每人5斤，高快樂興，各自回家。究竟是怎樣倒來倒去的呢？三種容器各自裝油斤數的變化過程，可從下面的表中看出。韓信(hánxìn)所說的“葫蘆歸罐〞，是指把葫蘆里的油往罐里倒；“罐歸簍〞是指把罐里的油往簍里倒。通常分油要把油從大容器往小容器里倒，現在卻把小容器里的油往大容器里“歸〞。往油葫蘆里倒油，只能得到3斤的油量；把葫蘆里的油往罐里“歸〞，“歸〞到第三次，葫蘆里就出現2斤的油量。再把滿滿一罐油“歸〞到簍里，騰出空來，把葫蘆里的2斤油“歸〞到空罐里；最后再倒一葫蘆3斤油，“歸〞到罐里，完成分油任務了。第十六頁，共23頁。16

阿凡提猜珍珠

阿凡提運用他的聰明才智為人民行俠仗義，無情地嘲弄那些殘暴而又愚昧無知的封建統治者，那些老爺們對阿凡提恨之入骨。

一天，國王召阿凡提進宮，煞有介事地對阿凡提說：“阿凡提先生，聽說你經常在外面講我的壞話，這樣吧，人們都說你很聰明，我這里有一個問題，你如果能解答出來，我就釋你無罪，如果答不出來，那就加重處分。〞原來，國王想用這個方法作借口來報復阿凡提。國王讓人拿來了三個盒子，對阿凡提說：“三個盒子中只有一個盒子里放著我的一粒珍珠。每個盒子上各寫著一句話，但只有一句真話，其余都是假話。你給我找出珍珠在哪個盒子里。〞阿凡提一看，第一個盒子是紅色的，上面寫著：“珍珠在這里〞；第二個盒子是藍色的，上面寫著：“珍珠不在紅盒子里〞；第三個盒子是黃色的，上面寫著：“珍珠不在這里阿凡提看完了盒子上的字，略一沉思，馬上就指出了珍珠在哪個盒子里。國王和手下大臣一聽，一個個都驚訝(jīngyà)得半天說不出話來。國王只好把阿凡提放了。

聰明的小讀者，你能找出珍珠在哪個盒子里嗎？

第十七頁，共23頁。17在現實生活中，任何事情都遵循一個規律，要么是這，要么是那，不可能兩者都是，這一規律叫排中律。如果珍珠在紅盒子中，自然珍珠便不在黃盒子中，那么紅盒子上的話和黃盒子上的話都是真話，這與“只有一句是真話〞相矛盾，以這是不可能的。如果珍珠在藍盒子中，自然珍珠就不在紅盒子和黃盒子中，那么藍盒子和黃盒子上的話也都是真話。因此，這也是不可能的。因為珍珠在三個盒子中的一個盒子里，既然(jìrán)不在紅盒子和藍盒子里，那么一定在黃盒子里。第十八頁，共23頁。18古希臘將軍(jiāngjūn)飲馬古希臘一位將軍(jiāngjūn)要從A地出發到河邊〔如以下圖MN〕去飲馬，然后再回到駐地B。問怎樣選擇飲馬地點，才能使路程最短？第十九頁，共23頁。19

圖35分析與解這是著名的“將軍飲馬問題〞。在河邊飲馬的地點有許多處，把這些地點與A、B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程(lùchéng)之和。現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的那個點來。

圖36在圖上過B點作河邊MN的垂線，垂足為C，延長BC到B′，B′是B地對于河邊MN的對稱點；連結AB′，交河邊MN于D，那么D點就是題目所求的飲馬地點。為什么飲馬的地點選擇在D點能使路程最短呢？因為BD=B′D，AD與BD的長度之和就是AD與DB′的長度之和，即是AB′的長度；而選擇河邊