2.5平面向量應用舉例1.向量在幾何中的應用2.向量在物理中的應用解決的問題：比如：距離、平行、三點共線、垂直、夾角等幾何問題解決的問題：比如：力、速度等物理問題平面幾何的向量方法例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩條對角線的長度與兩條鄰邊的長度之間的關(guān)系嗎？ABDCABCD特殊化探索：中，該關(guān)系是否依然成立？一般化例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設，則

分析：因為平行四邊形對邊平行且相等，故設其它線段對應向量用它們表示。∴例2如圖，ABCD中，點E、F分別是AD、

DC邊的中點，BE、

BF分別與AC交于R、

T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、

RT、TC之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC解：設則由于與共線，故設又因為共線，所以設因為所以ABCDEFRT線，故AT=RT=TCABCDEFRT（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；常設基底向量或建立向量坐標。（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：簡述：形到向量向量的運算向量和數(shù)到形練習1、證明直徑所對的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知⊙O，AB為直徑，C為⊙O上任意一點。求證∠ACB=90°分析：要證∠ACB=90°，只須證向量，即。解：設則，由此可得：即，得∠ACB=90°思考：能否用向量坐標形式證明？2.5.2向量在物理中的應用例1：同一平面內(nèi)，互成120?

的三個大小相等的共點力的合力為零。BO120oabcDCA證：如圖，用a，b，c表示這3個共點力，且a，b，c互成120°，模相等，按照向量的加法運算法則，有：

a+b+c=a+（b+c）=a+OD

又由三角形的知識知：三角形OBD為等邊三角形，故a與OD共線且模相等所以：OD

=-a，即有：

a+b+c=0

例2：在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂夾角越小越省力！你能從數(shù)學的角度解釋這個現(xiàn)象嗎？分析：上述的問題跟如圖所示的是同個問題，抽象為數(shù)學模型如下：

F2θF1FG用向量F1，F(xiàn)2，表示兩個提力，它們的合向量為F，物體的重力用向量G來表示，F(xiàn)1，F(xiàn)2的夾角為θ，如右圖所示，只要分清F，G和θ三者的關(guān)系，就得到了問題得數(shù)學解釋！θF1FGF2cos2θ探究：（1）θ為何值時，最小，最小值是多少？F1（2）能等于嗎？為什么？F1GF1解：不妨設=，由向量的

平行四邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道：

=（*）

通過上面的式子，有：當θ由0o到180o逐漸變大時，由0o到90o逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此：由小逐漸變大，即F1，F(xiàn)2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力！

F2F1Gcos2θ2θcos2θ2F1答：在（*）式中，當θ=0o時，最大，最小且等于cos2θF1G2答：在（*）中，當=

即θ=120o時，=

cos2θ12F1GF2小結(jié)：（1）、為了能用數(shù)學描述這個問題，我們要先把這一物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題。如上題目，只考慮繩子和物體的受力平衡，畫出相關(guān)圖形！（2）、由物理中的矢量問題化成數(shù)學中的向量問題，用向量的有關(guān)法則解決問題！（3）、用數(shù)學的結(jié)果解決物理問題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。練習；（1）如圖所示，用兩條成120o的等長的繩子懸掛一個燈具，已知燈具的重量為10N，則每根繩子的拉力是————。120o10NPQ瀑布θQ，60m(2)如圖，今有一艘小船位于d=60m寬的河邊P處，從這里起，在下游=80m處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為5m/s為了使小船能安全過河，船的劃速不能小于多少？當劃速最小時，劃速方向如何？(2)如圖，今有一艘小船位于d=60m寬的河邊P處，從這里起，在下游=80m處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為5m/s為了使小船能安全過河，船的劃速不能小于多少？當劃速最小時，劃速方向如何？(2)如圖，今有一艘小船位于d=60m寬的河邊P處，從這里起，在下游=80m處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為5m/s為了使小船能安全過河，船的劃速不能小于多少？當劃速最小時，劃速方向如何？P瀑布θV船V水V合的方向θPQ從圖上看，哪個速度（向量的模）最小？分析：用向量來分別表示河流的水流速度、船速和它們的合速度為、和，由題意，船的實際速度為向量其方向為臨界方向，船只要朝著這個方向行駛，它就不會掉下瀑布，如（右）圖所示：PQV船V水V合=+V船V水V合解：由題意知：其方向為臨界方向，設和夾角為θ，則最