現代交換理論第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六1.基本要求（1）熟練掌握幾種典型的概率分布、生滅過程理論及其應用。（2）掌握通信業務量、服務質量和話務負荷能力的概念、定義、計算。（3）掌握服務器利用度的概念、占用概率分布、呼損的計算。（4）掌握等待制交換系統的基本理論。2.重點、難點重點：生滅過程在交換理論中的應用，呼損與利用率，等待制交換系統的基本理論。難點：占用概率分布，呼損、服務質量和服務設備容量三者之間的關系。3.說明交換理論基礎部分概念和公式較多，力求理解公式推導過程，掌握重要結論。

2第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六關于“交換理論”

交換理論是隨著電話交換技術的應用和發展而產生的一門學科。它的任務是研究電話負載、電話交換系統結構和服務質量之間的數量關系,提供最優系統設計理論和方法。交換理論的研究對象不僅限于電話交換系統，其原理和方法還應用于其他各類信息交換系統。

3第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六

通信網絡與交換機是典型的服務系統。它們利用所擁有的資源（信道帶寬資源、計算資源、存儲資源等）或設備為用戶提供服務，并滿足特定的服務質量要求。因為用戶的服務需求是隨機發生的，每次服務占用資源的時間也是隨機的，所以這是一種隨機服務系統，需要借助于概率論及隨機過程的理論。交換理論研究方法

4第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六

對于電路交換系統而言，它們的服務對象是用戶的呼叫。根據其交換機制，在電路連接建立以后交換時延可以忽略不計。但呼叫到達時刻和持續時間的隨機性導致交換服務設備忙閑狀態的不確定性，當服務設備處于全忙狀態時，新到達的呼叫就不能得到服務。所以其主要的QoS指標是呼叫的損失率，簡稱呼損率。對于分組交換系統而言，它們的服務對象是分組，它的交換機制是存儲轉發。所以分組交換系統的主要QoS指標是分組的轉發時延和丟失率。

5交換理論研究方法(續)第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.1概率論與隨機過程

二項分布：交換系統中的各種服務設備，如各級交換單元的輸入輸出鏈路、交換機的中繼線等，這些設備的占用情況往往可以用二項分布來分析。泊松分布：在實際問題中，有許多隨機變量服從泊松分布。例如，一段時間內電話局收到的呼叫次數，某路口通過的車輛數等，都可用泊松分布來描述。

概率論與隨機過程是研究隨機現象的數學工具，內容十分豐富，本節主要介紹與交換理論密切相關的內容，包括：

6第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六指數分布：在交換理論中，有兩種很重要的隨機變量服從指數分布，這就是兩個相鄰呼叫的間隔時間和電話呼叫的占用時長。隨機過程：隨機過程理論的內容極為廣泛，與交換理論密切相關的是馬爾可夫過程，尤其是馬爾可夫過程的特殊情況，即泊松過程和增消過程（生滅過程）。

7第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.2通信業務量

通信業務量是衡量交換系統在一定時間內提供的服務數量的指標，是學習交換理論首先必須掌握的一個重要概念，也是交換理論研究的對象之一。業務量又稱為業務負載。在一個交換系統中，我們把請求服務的用戶稱為業務源（負載源），而把為業務源提供服務的設備（如接續網絡中的內部鏈路、中繼線、信令處理器等）稱為服務器。

8第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.2.1話務量的概念電話通信的業務源，簡稱話源；電話通信的業務量，通常稱為話務量。

我們來分析決定話務量大小的因素。首先，話務量與所考察的時間有關，顯然考察時間越長，這段時間里發生的呼叫就越多，因而話務量就越大。其次，影響話務量大小的是呼叫強度，也就是單位時間里發生的平均呼叫數，呼叫強度越大，話務量就越大。再者，每個呼叫占用設備的時長也是影響話務量大小的一個因素。在相同的考察時間和呼叫強度情況下，每個呼叫的占用時間越長，話務量就越大。

9第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六如果用Y表示話務量，用T表示計算話務量的時間范圍，用λ表示呼叫強度，用S表示呼叫的平均占用時長，則話務量可表示為：影響話務量的第一因素是時間，話務量計算中的各個參數都與時間有關。Y的單位取決于S的單位，當S用不同的時間單位時，同一話務量，其數值是不同的。如果S以小時為時間單位，則話務量的單位叫作“小時呼”，常用符號“TC”表示。如果S以分鐘為時間單位，則話務量的單位叫作“分鐘呼”。也有用“百秒”作時間單位，這時話務量的單位叫作“百秒呼”，常用符號“CCS”表示。話務量的定義

10Y=TλS=CS第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六對于大量隨機發生的呼叫，有些呼叫可能遇到電話局忙。對于這類呼叫，不同的交換系統有不同的處理方法。一種系統是讓遇忙呼叫等待，一旦有了空閑的服務設備，呼叫就繼續進行下去，這樣的系統叫作待接制系統或等待制系統。另一種系統，它對不能立刻得到服務的呼叫的處理方法是給用戶送“忙音”。用戶聽到忙音后，必須放棄這次呼叫，然后再重新呼叫。這種系統叫做明顯損失制系統。對于等待制系統來說，如果等待時間不限，那么流入系統的話務量都能被處理，只是有一些呼叫要等待一段時間才能得到接續。對于明顯損失制系統來說，流入系統的話務量有一部分被處理了，另外一部分則被“損失”掉了。等待制與明顯損失制

11第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六我們把單位時間的話務量叫做話務量強度或負載強度。習慣上常把“強度”兩個字省略。這樣，當人們談及話務量都是指話務量強度。當所談及的話務量不是單位時間內的話務量時，應特別指明計算時間，如T小時的話務量等。話務量強度

12第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六一般地說，電話局的話務量強度經常處于變化之中。話務量強度的這種變化叫做話務量的波動性，它是多方面因素影響的綜合結果。用概率論的語言說，話務量的波動是一個隨機過程。經過對話務量波動的長期觀察和研究，發現話務量的波動存在著周期性。具有重要意義的是一晝夜內各小時的波動情況，為了在一天中的任何時候都能給用戶提供一定的服務質量，電話局服務設備數量的計算應根據一天中出現的最大話務量強度進行。我們把一天中出現最大平均話務量強度的60分鐘的連續時間區間稱為最繁忙小時，簡稱“忙時”。話務量的特性

13第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六我們把流入系統的話務量叫做流入話務量或流入負載。完成了接續的那部分話務量叫做完成話務量或完成負載。流入話務量與完成話務量之差，就是損失話務量或損失負載。流入話務量和完成話務量

14第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六定義流入話務量強度等于在一次呼叫的平均占用時長內業務源發生的平均呼叫數。令A表示流入話務量強度，λ表示單位時間內發生的平均呼叫數，S表示呼叫的平均占用時長，則根據流入話務量強度的定義為當λ和S使用相同的時間單位時，流入話務量強度A無量綱。為了紀念話務理論的創始人，丹麥數學家A·K·Erlang，將話務量強度的單位定名為“愛爾蘭”，并用“e”或“E”表示。流入話務量強度的定義

15SAl=第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六性質1

A或a分別為N條入線或單條入線在呼叫平均占用時長內流入的呼叫數，

A＝

N

a

。性質2

a

是單條入線被占用的概率（占用時間百分數）。性質3

A是N條入線中同時被占用的平均數。流入話務量強度的性質

16第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六定義服務設備的完成話務量強度等于這組設備在一次呼叫的平均占用時長內完成服務的平均呼叫數。令Ac表示m個服務器的完成話務量強度，S表示呼叫的平均占用時長，λc為單位時間內完成服務的呼叫數，則有：完成話務量強度的單位也用“愛爾蘭”。設單個服務器的完成話務量強度用ac表示，則m個服務器完成的總話務量強度Ac=mac

。完成話務量強度的定義

17SAccl=第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六性質1

Ac或ac分別為m個服務器或單個服務器在呼叫平均占用時長內完成服務的平均呼叫數，Ac=mac。性質2

ac是單個服務器的占用概率，即利用率。性質3

Ac是m個服務器中同時被占用的平均數。完成話務量強度的性質

18第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六從定義可以看出，流入話務量強度A與完成話務量強度Ac有著完全相同的形式和量綱，其差別在于λ和λc，一個是單位時間內發生的平均呼叫數，一個是單位時間內完成服務的平均呼叫數。在發生的全部呼叫中，有一小部分會因為設有找到空閑的服務設備而被損失掉，所以，在明顯損失制系統中，λ與λc之差，正是損失掉的那部分呼叫。如果一個系統的損失非常小，則λ≈λc

，在這種情況下，完成話務量強度近似等于流入話務量強度，在工程計算中可以不加區分，籠統地使用“話務量”這個概念。流入話務量和完成話務量比較

19第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六例假設在100條線的中繼線群上，平均每小時發生2100次占用，平均占用時長為1/30小時。求這群中繼線上的完成話務量強度；并根據完成話務量強度的性質說明其意義。解：根據題意λc

=2100呼叫/小時S=1/30小時/呼叫

Ac=λcS=2100×1/30=70e根據完成話務量強度性質1，70e可理解為在平均占用時長1/30小時內，平均有70次占用發生；根據性質2，單條中繼線的占用概率(利用率)為0.7；根據性質3，70e意味著在100條中繼線中，同時處于工作狀態的平均有70條，空閑著的平均有30條。

20完成話務量強度舉例第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.2.2數據業務量數據通信如果采用分組交換方式，交換系統采用等待制服務，分組丟失率可以忽略，那么流入和流出的業務量強度將相等，業務量強度為：式中ρ代表業務量強度；λ為數據分組的到達(速)率，即單位時間內到達的平均分組數；S=1/μ是分組的平均服務時間，μ稱為服務(速)率。業務量強度也具有話務量強度的那些性質，其中最重要的是單服務設備的業務量強度等于它被占用的概率，即處于“忙”狀態的概率。

21mllr/==S第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.2.3交換系統的服務質量和話務負荷能力

服務質量是說明交換系統給呼叫提供服務的可能性或者呼叫發生等待的可能性及等待時間等指標。實際的交換系統都是有損失的系統。有損失的系統又分為明顯損失制系統和等待制系統。

1.明顯損失制系統的服務質量指標一、服務質量

?按呼叫計算的呼損B

在時間(t1,t2)內損失的呼叫數CL(t1,t2)與在同一時間內發生的呼叫總數C(t1,t2)的比，稱為(t1,t2)時間內按呼叫計算的呼損，即

22()()2121,,ttCttCBL=第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六在時間(t1,t2)內損失的話務量YL(t1,t2)與在同一時間內流入的話務量Y(t1,t2)的比，稱為(t1,t2)時間內按負載計算的呼損，即：在時間(t1,t2)內所有服務設備全部阻塞的時間TB(t1,t2)與所考察的時間段(t1,t2)長度的比，稱為按時間計算的呼損，即所有服務器全忙的概率：

23()()2121,,ttYttYHL=()mBPttttTE=-=1221,明顯損失制系統的服務質量指標

?按負載計算的呼損H

?按時間計算的呼損E第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六以上所定義的呼損指標B、H、E取值在0～1之間，而且它們的數值很接近。所以我們統一用呼損概率P代表B、H、E。系統所能達到的呼損概率常稱為服務等級。簡記為GoS(GradeofService)，服務等級取決于系統的話務量和服務器數量。2.等待制系統的服務質量指標為了定量地說明等待制系統的服務質量或服務等級，常采用以下指標：呼叫發生等待的概率、呼叫等待時間大于任意給定值的概率、平均等待時間等。（這里對等待制系統暫不作進一步討論。）

24第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六所謂交換系統的話務負荷能力，指的是在給定服務質量指標的條件下，系統所能承擔的話務量強度。話務負荷能力實質上代表了交換系統的效率。影響系統話務負荷能力的因素很多，如呼損率指標、服務設備容量、系統結構、服務方式、呼叫流的性質等。在一定的服務質量指標條件下，交換系統的話務負荷能力，常用完成話務量強度Ac與服務設備容量m的比來表示。二、話務負荷能力η是每個服務器承擔的平均話務量強度，表示了服務器（如中繼線）的利用率，。當然也表示服務設備被占用的概率或被占用的時間比例。

25mAc/=h第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.3明顯損失制交換系統的基本理論

2.3.1呼損指標的分配呼損是交換系統服務質量的重要指標，這個指標關系到用戶對電話交換系統所提供服務的滿意程度，也涉及到運營商投資的大小和經濟效益。呼損標準由有關行政主管部門制定。從經濟性和技術的合理性角度，我們來分析呼損的分配問題。一般情況下，一個端到端的接續路由要經過若干個選擇級，在每個選擇級上都有呼損。

26第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六首先來分析一個接續路由的總呼損概率PB和各選擇級的呼損概率pk之間的關系。要準確地計算PB是一件很復雜的事情，因為各選擇級的占用存在著一定的依賴關系。如果假設各選擇級的工作是完全獨立的，則呼損PB可表示為：

27()()()?=--=----=nkknBppppP121)1(11111L呼損指標的分配第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六實際的交換系統中，呼損率pk一般都很小，大約在百分之零點幾，忽略所有pk的乘積項，則這樣，總呼損可近似看作各選擇級呼損之和，下面的問題就是怎樣把總呼損分配到各選擇級上去？

1o平均分配（簡單，但不合理）。

2o

根據各選擇級的費用和在接續中的作用和影響分配

（復雜，但合理）。

28nkBppppPLL++++?21呼損指標的分配第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六電話交換系統是一種典型的設備共享系統，所謂服務設備泛指各種在電話接續過程中，為用戶提供服務的共享資源。在分析討論中，服務設備具體是哪種并不重要。用戶是產生話務量的源泉，稱為負載源或話源，負載源的真正含義要廣泛得多，一般地說，凡是向本級設備送入話務量的前級設備，都是本級的負載源。2.3.2關于利用度的概念?服務(器)設備與負載源

29第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六如果接線網絡能夠把任何空閑的入線連接到任何空閑的出線，這叫做“全利用度”接線網絡，這種情況下，每一個負載源能夠使用所有服務器中的任何一個。當然也有“部分利用度”接線網絡，其中任一負載源只能使用所有服務設備中的一部分設備。把負載源能夠使用的服務器數稱為“利用度”。顯然，全利用度情況下的利用度等于服務器的數量。?全利用度和部分利用度

30第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.3.3服務設備占用概率分布問題的提出：

1）服務設備同時占用數的概率分布問題;2）呼損的計算問題;3）服務設備的利用率問題。

呼損是明顯損失制系統的基本服務指標，利用率表明設備的經濟效益，所以呼損和利用率是交換理論的中心課題。什么決定呼損和利用率？是系統內所進行著的隨機過程。因此對全利用度明顯損失制系統的研究必須從服務設備占用概率分布開始。

31第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六假設有一全利用度的隨機服務系統，服務設備數量為m，它為N個負載源服務。假設：1）系統按明顯損失制方式工作；

2）所研究的系統滿足生滅過程條件，且滿足統計平衡條件。

32服務設備占用概率分布第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六當系統處于統計平衡狀態時，可由生滅過程狀態概率一般解求得服務設備的占用概率分布。顯然，所研究的系統具有有限個狀態，在統計平衡條件下，系統處于狀態k的概率為：式中λk和μk分別是系統處于狀態k時的呼叫發生強度和呼叫結束強度。

33服務設備占用概率分布mkPPkkk,,2,1021110LLL==-mmmlll12111021101001--ú?ùê?é++++=mmPmmmlllmmllmlLLL第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六

λk和μk的計算λk常采用以下兩種計算方法：1）假設呼叫強度λk與空閑的負載源數成正比，因為呼叫總是由空閑著的負載源發起的，所以這種假設是自然、合理的。如果在任意時刻系統處于狀態k

，N個負載源中有k個處于忙狀態，N-k個處于空閑狀態，則呼叫強度λk可以表示為：α為一個空閑負載源的呼叫強度。λk=(N-k)·α

34假設不管空閑著的負載源有多少，呼叫強度λk始終是一個與系統狀態無關的常數，即λk

=λ。2）第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六實際計算中，究竟采用哪一種方法計算λk

，取決于負載源數目N的大小。當負載源數很大（在理論上N→∞）時，其中處于忙狀態的負載源數在全部負載源數中只占一個很小的比例，呼叫強度基本上取決于總負載源數，這時就可以近似的認為呼叫強度λk是一個常數，即可以采用第二種方法計算λk

。如果負載源數N不是很大，因而不能忽略忙負載源數的影響時，就要用第一種方法計算λk

。

35

λk和μk的計算第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六μk的計算方法呼叫的占用時長近似服從指數分布，如果呼叫的平均占用時長為S，則在非常小的時間區間?t內呼叫結束其占用的概率為1-e-?t/S，并且與該呼叫已經占用了多少時間無關。由于?t很小，呼叫結束占用的概率可以近似的表示為：因此，在有一個占用情況下，呼叫結束強度μ1=1/S=μ。當系統中有k個呼叫占用時，由于每個呼叫是獨立的，并都以強度μ=1/S結束自己的占用，則狀態k下的呼叫結束強度應為1-e-?t/S≈?t/S+o(?t)(指數函數展開，忽略高次項）μk=kμ=k/S

36

λk和μk的計算第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六根據負載源數N的大小及其與服務設備數量m的關系，下面分四種不同的情況來研究服務設備的占用概率分布。占用概率分布1.二項分布研究負載源數N不大于服務設備數量m（即N≤m）的情況。根據前面對λk和μk計算方法的討論，令：式中S為呼叫的平均占用時長，α為一個空閑負載源的平均呼叫強度。

37NkSkkNkk,,2,1,0,/,)(L==-=mal第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六由占用概率分布公式其中β=α?S，根據話務量強度的定義，β是一個空閑負載源的流入話務量強度。（推導過程參看教材）

38NkPCPSkkNNNNPSkSSSkNNNNPPkkNkkkk,,2,1)()1()2)(1()/()/3()/2()/1()1()2()1(000021110LLLLLL==×+---=××+--×-×==-baaaaammmlll！()NNNPbmmmlllmmllml+=++++=--11]1[1211102110100LLL二項分布第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六將P0代入Pk，m個服務設備有k個占用的概率為令a=β/(1+β)，最后得上式的占用概率分布顯然是二項分布。式中a表示的是一個負載源處于忙狀態的概率。根據話務量強度的性質，a就是每個負載源的話務量強度。式a=β/(1+β)

給出了在N≤m的條件下，一個負載源的話務量強度與一個空閑負載源的話務量強度之間的關系。已知a或β，就可求得服務設備的占用概率分布。

39二項分布NkCCPkNkkNNkkNk,,2,1,0111)1(1L=+-)(+=+=-bbbbbb()NkaaCPkNkkNk,,2,1,0)1(L=-=-第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六例已知m＝6，N＝6，若每一話源忙的概率為a＝0.667，試求服務設備處于各種占用狀態的概率。解∵N=m＝6∴服務設備占用服從二項分布。已知a＝0.667，由公式計算得：P0=0.001，P1=0.016，P2=0.082P3=0.219，P4=0.329，P5=0.264，P6=0.088且滿足

P0+P1+P2+P3+P4+P5+P6=1

40二項分布舉例NkaaCPkNkkNk,,2,1,0)1(L=-=-第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六研究負載源數N大于服務設備數量m(N>m)的情況。根據λk和μk的計算方法，令：

λk=(N-k)α，μk=k/S，k=0,1,2…m

代入占用概率分布公式，得m個設備有k個占用的概率分布為：

2.恩格塞特分布上式所描述的概率分布稱為恩格塞特分布。

41mkPCPkkNk,,2,1,00L==b100-=ú?ùê?é=?miiiNCPbmkCCPmiiiNkkNkL2,1,00==?=bb第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六在實際的工程計算中，一般不使用β，而是用流入話務量強度A或負載源的話務量強度a。由于A=Na，若呼損率為B，則服務設備的完成話務量強度Ac=A(1-B)。根據完成話務量強度的定義，Ac等于平均同時占用數。因此，N-Ac是平均空閑負載源數。于是每個空閑負載源的話務量強度β為：將β的不同表達式代入恩格塞特分布公式，可得到采用不同參數計算Pk的公式形式。（參考教材給出的結果）

42恩格塞特分布)1(1)1(BaaBANAANAc--=--=-=b第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六例有6個接續用的機鍵，它們為7個用戶服務，設每個空閑用戶每分鐘平均發生0.665個呼叫，每次呼叫平均占用2分鐘，試計算6個機鍵的占用概率分布。解∵N=7，m＝6，N>m∴機鍵的占用服從恩格塞特分布。已知α＝0.665呼叫/分鐘，S=2分鐘/呼叫

所以β=α?S＝1.33愛爾蘭，由公式

計算得：P0=0.0027，P1=0.0255，P2=0.1016P3=0.2253，P4=0.2997，P5=0.2391，P6=0.1060

43恩格塞特分布舉例mkCCPmiiiNkkNkL2,1,00==?=bb第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六研究負載源數為無窮大，服務設備數量有限(N→∞，m有限或N>>m)的情況，此時可認為呼叫強度不再與系統的狀態有關，而是一個常數。根據λk和μk的計算方法，令：

λk=λ，μk=k/S，k=0,1,2…m

代入占用概率分布公式，得3.愛爾蘭分布

44mkPkSPkkL,2,1,0!)(0==l120!)(!2)(1-ú?ùê?é++++=mSSSPmlllL第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六根據流入話務量強度的定義，λS就是系統的流入話務量強度。令A＝λS，則m個服務設備中有k個被占用的概率為：上式所示的概率分布稱為愛爾蘭分布。由愛爾蘭分布可以得到遞推式Pk=Pk-1(A/k)。由此可見，在k<A的區域內，Pk>Pk-1；在k>A區域內Pk<Pk-1。當k=A（如果A是整數）或k=[A](如果A不是整數)Pk值達到最大。

45愛爾蘭分布mkiAkAPmiikk,,2,1,0!/!/0L==?=第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六例設有6條中繼線，其話源數很大，已知話源的呼叫強度是每分鐘2個呼叫，每個呼叫平均占用2分鐘。試求中繼線群的占用概率分布。解∵N=∞，m＝6（有限）∴中繼線群的占用服從愛爾蘭分布。已知λ＝2呼叫/分鐘，S=2分鐘/呼叫

所以A=λ?S＝4愛爾蘭，由公式

計算得：P0=0.0206，P1=0.0824，P2=0.1648P3=0.2197，P4=0.2197，P5=0.1757，P6=0.1172

46愛爾蘭分布舉例mkiAkAPmiikk,,2,1,0!/!/0L==?=第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六研究負載源數和服務設備數量都非常大（N→∞，m

→∞

）的情況。根據λk和μk的計算方法，令：

λk=λ，μk=k/S，k=0,1,2…

代入占用概率分布公式，得:4.泊松分布其中A=λS為系統的流入話務量強度，上式所示的概率分布顯然是泊松分布。

47SeSSPlll--=ú?ùê?é+++=120!2)(!11LL,2,1,0!!)(0===-kekAPkSPAkkkl第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六以上分析了服務設備的四種占用概率分布，每一種分布都有相應的前提條件，選擇使用某一種分布時，必須注意分析負載源數量N與服務設備數量m之間的關系以及呼叫發生強度λk和呼叫結束強度μk的計算方法。占用概率分布小結

48第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.3.4呼損率與設備利用率

明顯損失系統的服務質量是用呼損表示的，應用最廣的是按呼叫計算的呼損B和按時間計算的呼損E

。呼損的計算離不開服務設備的占用概率分布，只有正確的選擇占用概率分布，才能得到準確的計算結果。下面分別討論各種占用概率分布情況下B和E的計算，重點是愛爾蘭分布。

49()()2121,,ttCttCBL=()mBPttttTE=-=1221,第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六?二項分布由于N≤m，所以B=0；對于N<m，也有E=0；對于N=m，會出現全部服務設備占滿情況，出現這種狀態的概率就是呼損E，所以有：

E=Pm=am=aN

(N=m)

式中a是單個服務設備的話務量強度。?泊松分布由于N=∞，m=∞

，所以B=0，E=0。在實際的交換系統中，總是許多用戶共用少量服務設備(N>m或N>>m)，相應的占用概率分布是恩格塞特分布和愛爾蘭分布，下面分別進行詳細討論。

50呼損率第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六?

占用概率服從愛爾蘭分布情況下，按時間計算的呼損率E為：式中A是系統的流入話務量強度，m為服務設備數量。上式是著名的愛爾蘭呼損公式，常用符號Em(A)表示。1.愛爾蘭呼損公式Em(A)的意義：服務設備容量為m的全利用度系統，當流入話務量強度為A時，按愛爾蘭呼損公式計算的呼損為Em(A)。

51?===miimmiAmAPE0!/!/第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六?

占用概率服從愛爾蘭分布情況下，按呼叫計算的呼損率B為：式中CL和C分別代表單位時間內損失的平均呼叫數和總平均呼叫數。可以看出：按呼叫計算的呼損B等于按時間計算的呼損E，因而沒必要區分它們，通常就簡單的稱為呼損，并用PB表示。即:

52愛爾蘭呼損公式???=====.=..==miimmmkkmmkkkmmiAmAPPPPPCCB000!/!/llllL?=====miimmBiAmAAEBEP0!/!/)(第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六直接按愛爾蘭呼損公式計算比較繁瑣，在工程上常用查表或近似計算公式。?查表把愛爾蘭呼損公式計算值列成表，已知E、m、A三個量中的任意兩個，通過查表，就可以得到愛爾蘭呼損公式給出的第三個量的數值。表2.1給出了E從0.001到0.2，服務設備數量m從1到300時，系統所能承擔的話務量值。例如E10(3)≈0.001E10(10)≈

0.2?近似計算公式當話務量值的范圍為5e≤A≤50e時，利用下面近似計算公式得到的服務器數量m相當接近精確值(±1)。

m=5.5+1.17A

E=0.01

m=7.8+1.28A

E=0.001愛爾蘭呼損公式的計算問題

53第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六由愛爾蘭呼損公式得到的流入話務量強度A，呼損E和服務設備數量m之間的關系曲線如下圖所示。愛爾蘭呼損公式分析可以看出：1)當服務設備數量m一定時，話務量A越大，呼損E就越大。2)當呼損E一定時，話務量A越大，需要的服務設備數量m就越大。3)當呼損E一定，m大到一定程度時，A與m明顯呈線性關系，即A/m接近于一個常數。

54第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.恩格塞特呼損公式?

對于服從恩格塞特分布的全利用度系統，按時間計算的呼損率E為：式中N為負載源數，m為服務設備數量，A為流入話務量強度，Ac為完成話務量強度。?

對于服從恩格塞特分布的全利用度系統，按呼叫計算的呼損率B為：式中Pk是按恩格塞特分布計算的有k個服務設備被占用的概率，α是一個空閑話源的呼叫強度。

55?===miiiNmmNmCCPE0bb)1(BANAANAc--=-=b??=--=-.-.=mkkkNmmNmkkmCCkNPmNPCCB0110)()(bbaa＝＝L第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六在恩格塞特分布條件下，無論是按時間計算的呼損還是按呼叫計算的呼損，呼損公式的右側仍含有呼損B，這使得呼損的計算更加復雜，一般也有計算好的表格，通過查表可以方便地得出呼損值。實際應用中如果呼損很小時，可以用A代替Ac，從而使計算得到簡化。隨著話源數N的增大，恩格塞特分布趨向于愛爾蘭分布。通常在N大于100時，可以用愛爾蘭分布代替恩格塞特分布進行計算。

56恩格塞特呼損公式第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六3.服務設備利用率每個服務設備所承擔的平均完成話務量強度表明服務設備的利用率，即：以愛爾蘭分布為例，我們來研究服務設備數量m、話務量強度A、呼損率B與服務設備利用率η之間的關系。當呼損一定時，可以得出η與m和η與A的關系曲線如下圖所示。

57mBAmAc)1(-==h第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六從曲線可以看出，在服務設備數量一定的條件下，呼損越大，服務設備利用率越高；在流入話務量強度一定的條件下，呼損越大，服務設備的利用率也越高。呼損大意味著服務質量低。因此，用提高呼損率從而降低服務質量的辦法，可以提高設備的利用率。但交換系統的設計，必須兼顧服務質量與經濟效益兩個方面。從曲線還可以看出，在呼損一定的情況下，服務設備數量越多，或者流入話務量強度越大，服務設備的利用率就越高。因此，在交換系統的設計中，要盡可能組成大線群，以提高設備的利用率。但是，對于一定的呼損值，當設備數量或流入話務量強度大到一定程度后，利用率趨向于“飽和”。高利用率的系統也有不利的一面，即當系統發生過負荷現象時，呼損的增長幅度非常大，會造成交換系統服務質量的嚴重下降。關于利用率

58第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六2.4等待制交換系統的基本理論

前面講到電路交換有兩種服務制式，明顯損失制和等待制。對于程控交換，接續網絡一般采用明顯損失制，而信令處理一般采用等待制。至于分組交換一般都采用等待制。因此本節的內容將適合于采用等待制服務方式的電路交換和分組交換系統，所不同的是電路交換系統的服務對象是用戶的呼叫，而分組交換系統的服務對象是數據分組。2.4.1等待制電路交換假設：1)

呼叫流是泊松流，呼叫強度為λ；2)每個呼叫的服務時間服從指數分布，平均服務時間S=1/μ；3)服務器的數目為m，各個服務器的服務能力相同；4)在服務設備全忙的條件下，到達的呼叫將排隊等待，等待隊列的長度無限；5)排隊服務規則為先來先服務。

59第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六

定義系統的狀態為系統內逗留的呼叫數。現在來研究系統狀態的概率分布。在以上假設條件下，系統可用下圖的M/M/m排隊模型來描述。系統狀態隨時間的變化可視為生滅過程，其狀態轉移關系如下圖所示。

60等待制電路交換第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六生滅過程的參數確定如下：將以上參數代入生滅過程狀態概率一般解的表達式，可得到系統在統計平衡狀態下的概率分布為:式中A=λ/μ是流入業務量強度。該式成立的條件是A<m或λ<mμ。由概率歸一化條件可得P0。

61等待制電路交換L,2,1,0==kkll?íì+===LL,1,,,2,1,0mmkmmkkkmmm??t??yü+====-LL,1,!,,2,1,0!00mmkPmAmAPmkPkAPmkmkkk()第61頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六根據概率分布可得呼叫發生等待的概率為:上式稱為第二愛爾蘭公式（愛爾蘭C公式）。而Em(A)稱為第一愛爾蘭公式（愛爾蘭B公式）。可以證明，呼叫等待時間W大于t的概率為:如果允許的等待時間為T，則等待制電路交換系統的呼損率為:

62等待制電路交換[])()(11)(!)(0ADAEmAAEPAmmmAPmkPmmmmmkk=--=-==3?￥=()StAmmtAmeADeWPtWP/)()()()0()(----.=.>=>mSTAmmeADTWPE/)()()(--.=>=第62頁，共68頁，2023年，2月20日，星期六例1設電話呼叫平均占用時長S=3分鐘，允許的等待時間T＝3秒鐘，流入話務量強度A=70e，服務設備中繼線的數目（每條中繼線的容量為一個話路）為90，試求呼損率E。解：由表2.1查得Em(A)=E90(70)≈0.005

根據第二愛爾蘭公式Dm