耿哲老師-----書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟幾何概型1.正確理解幾何概型定義及與古典概率的區別。2.掌握幾何概型的概率計算公式，并能解決簡單實際問題。3.了解隨機數的意義,能運用模擬方法估計或計算概率.一、高考目標1.重點

熟練掌握幾何概型的判斷及幾何概型的概率計算公式。2.難點幾何概型應用中集合度量的確定及運算。二、重點、難點三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求）問題1：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色得分環，從外向內為白色、黑色、藍色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運會的比賽靶面直徑為122cm，靶心直徑為12.2cm，運動員在70m外射．假設射箭都能中靶，且射中靶面內任意一點都是等可能的，那么射中黃心的概率有多大？122cm問題情境三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求）能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？（1）試驗中的基本事件是什么？（2）每個基本事件的發生是等可能的嗎？

射中靶面上每一點都是一個基本事件,這一點可以是靶面直徑為122cm的大圓內的任意一點.（3）符合古典概型的特點嗎？三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求）問題2:取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？（1）試驗中的基本事件是什么？能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？（2）每個基本事件的發生是等可能的嗎？（3）符合古典概型的特點嗎？

從每一個位置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3m的繩子上的任意一點.問題3:有一杯1升的水，其中漂浮有1個微生物，用一個小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個微生物的概率.（1）試驗中的基本事件是什么？能用古典概型描述該事件的概率嗎？為什么？（2）每個基本事件的發生是等可能的嗎？（3）符合古典概型的特點嗎？

微生物出現的每一個位置都是一個基本事件,微生物出現位置可以是1升水中的任意一點.三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求）三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求）(1)一次試驗可能出現的結果有無限多個；

(2)每個結果的發生都具有等可能性．上面三個隨機試驗有什么共同特點？

對于一個隨機試驗,將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點,該區域中每一個點被取到的機會都一樣;而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到所述區域內的某個指定區域中的點.這里的區域可以是線段,平面圖形,立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗,稱為幾何概型.三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求）

將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型．古典概型的本質特征：1.基本事件的個數有限的。2.每一個基本事件都是等可能發生的。幾何概型的本質特征：3.事件A就是所投擲的點落在S中的可度量圖形A中．1.有一個可度量的幾何圖形S；2.試驗E看成在S中隨機地投擲一點；如何求幾何概型的概率？122cmP(A)=3m1m1mP(B)=P(C)=三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求）三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求注意：D的測度不能為0,其中“測度”的意義依D確定.當D分別為線段,平面圖形,立體圖形時,相應的“測度”分別為長度,面積,體積等.

一般地,在幾何區域D中隨機地取一點,記事件“該點落在其內部一個區域d內”為事件A,則事件A發生的概率為:P(A)=三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求)

例1：某人午覺醒來,發現表停了,他打開收音機,想聽電臺報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.解：設A={等待的時間不多于10分鐘}.事件A恰好是打開收音機的時刻位于[50,60]時間段內,因此由幾何概型的求概率的公式得答：“等待的時間不超過10分鐘”的概率為．三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求)

例2：一海豚在水池中自由游弋，水池長30m，寬20m的長方形，求此刻海豚嘴尖離岸小于2m的概率．

解：設事件A“海豚嘴尖離岸邊小于2m”（見陰影部分）

P（A）＝＝答:海豚嘴尖離岸小于2m的概率約為0.31.30m20m2m三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求)(3)在1000mL的水中有一個草履蟲，現從中任取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，發現草履蟲的概率.

阿0.002(2)在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油,如果在海域中任意點鉆探,鉆到油層面的概率.0.004與面積成比例(1)在區間（0，10）內的所有實數中隨機取一個實數a，則這個實數a>7的概率為

.0.3與長度成比例與體積成比例三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求

例3：取一個邊長為2a的正方形及其內切圓(如圖),隨機地向正方形內丟一粒豆子,求豆子落入圓內的概率.解:記“豆子落入圓內”為事件A,則P(A)=答:豆子落入圓內的概率為

撒豆試驗：向正方形內撒n顆豆子，其中有m顆落在圓內，當n很大時，頻率接近于概率．例3：取一個邊長為2a的正方形及其內切圓(如圖),隨機地向正方形內丟一粒豆子,求豆子落入圓內的概率.解:記“豆子落入圓內”為事件A,則P(A)=答:豆子落入圓內的概率為

撒豆試驗：向正方形內撒n顆豆子，其中有m顆落在圓內，當n很大時，頻率接近于概率．三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求)

練習3：在正方形ABCD內隨機取一點P，求∠APB＞90°的概率．∠APB

＝90°？概率為0的事件可能發生！ADP三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求)回顧小結：1.幾何概型的特點：⑶事件A就是所投擲的點落在S中的可度量圖形A中．⑴有一個可度量的幾何圖形S；⑵試驗E看成在S中隨機地投擲一點；2.古典概型與幾何概型的區別.相同：兩者基本事件的發生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型要求基本事件有無限多個.三、基礎知識的深刻理解（高考的初級層次要求)回顧小結：3.幾何概型的概率公式.4.幾何概型問題的概率的求解.三、知識的綜合應用（高考的高層次要求)例1(1)(2016全國乙卷,理4)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發車,小明在7:50至8:30之間到達發車站乘坐班車,且到達發車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是(

)(2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB=,BC=1,以A為圓心,1為半徑作四分之一個圓弧DE,在∠DAB內任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為

.

思考如何確定幾何概型的概率用長度或角度的比來求?考點1.與長度、角度有關的問題三、知識的綜合應用（高考的高層次要求)對點訓練

(1)設P在[0,5]上隨機地取值,則關于x的方程x2+px+1=0有實數根的概率為(

)

(2)如圖所示,在直角坐標系內,射線OT落在30°角的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在∠yOT內的概率為

.

考點2與面積、體積有關的幾何概型

例3(1)(2015南昌二模)若在圓C:x2+y2=4內任取一點P(x,y),則滿足y>x的概率是

.

(2)(2015濟南一模)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1中,有一動點在此長方體內隨機運動,則此動點在三棱錐A-A1BD內的概率為

.三、知識的綜合應用（高考的高層次要求)考點3：幾何概型與古典概型結合例4：（1）x的取值是區間[1,4]中的整數，任取一個x的值，求“取得值大于2”的概率。古典概型P=2/4=1/2（2）x的取值是區間[1,4]中的實數，任取一個x的值，求“取得值大于2”的概率。123幾何概型P=2/34三、知識的綜合應用（高考的高層次要求)例5:（1）x和y取值都是區間[1,4]中的整數，任取一個x的值和一個y的值，求“x–y≥1”的概率。1234x1234古典概型-1作直線x-y=1P=3/8例6:（2）x和y取值都是區間[1,4]中的實數，任取一個x的值和一個y的值，求“x–y≥1”的概率。1234x1234y幾何概型-1作直線x-y=1P=2/9ABCDEF

例7.(會面問題）甲、乙二人約定在12點到17點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去設二人在這段時間內的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響．求二人能會面的概率.解：以X,Y

分別表示甲乙二人到達的時刻，于是

即點M落在圖中的陰影部分．所有的點構成一個正方形，即有無窮多個結果．由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內各點是等可能的．012345yx54321.M(X,Y)考點4：與線性規劃的結合二人會面的條件是：答：兩人會面的概率等于012345yx54321y-x=1y-x=-1考點4：與線性規劃的結合三、知識的綜合應用（高考的高層次要求)四、課堂總結1.轉化思想在幾何概型中的應用:處理幾何概型與非幾何知識的綜合問題的關鍵是,通過轉化,將某一事件所包含的基本事件用“長度”“角度”“面積”“體積”等表示出來.如把這兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標,這樣基本事件就構成了平面上的一個區域,進而轉化為面積的度量來解決.2.當考察對象為點,點的活動范圍在線段上時,用線段長度比計算幾何概型的概率;當考察對象為線時,一般用角度比計算幾何概型的概率.四、課后作業2.在一張方格紙上隨機投一個直徑1的硬幣，問方格