頻率特性分析法

，又稱為頻域分析法，是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統輸出的時域表達式，不需要求解系統的閉環特征根，具有較多的優點。如：①根據系統的開環頻率特性能揭示閉環系統的動態性能和穩態性能,得到定性和定量的結論，可以簡單迅速地判斷某些環節或者參數對系統閉環性能的影響,并提出改進系統的方法。②時域指標和頻域指標之間有對應關系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經驗公式，簡化控制系統的分析與設計。

頻率特性分析法的特點現在是1頁\一共有135頁\編輯于星期四③具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統的頻率特性，建立數學模型作為分析與設計系統的依據，這對難于用理論分析的方法去建立數學模型的系統尤其有利。④頻率分析法使得控制系統的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應用到某些非線性系統中。

本章重點介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率特性(奈奎斯特圖)與對數頻率特性(波特圖)的繪制方法、奈奎斯特穩定判據、控制系統的相對穩定性、利用開環頻率特性分析系統閉環性能的方法。現在是2頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1頻率特性的基本概念5.2幅相頻率特性及其繪制5.3對數頻率特性及其繪制5.4奈奎斯特穩定判據5.5控制系統的相對穩定性5.6利用開環頻率特性分析系統的閉環性能5.7閉環系統頻率特性本章內容現在是3頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1頻率特性的基本概念現在是4頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1.1頻率響應控制系統對正弦輸入信號的穩態正弦響應。一個穩定的線性定常系統，在正弦信號的作用下，穩態時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且穩態輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數。RC

RC網絡ui(t)u0(t)i(t)電路的時間常數T=RC，單位為s。

例5-1：求下述RC網絡在正弦信號輸入作用下的穩態輸出。Ui與分別為輸入正弦信號的振幅與角頻率現在是5頁\一共有135頁\編輯于星期四輸出的拉氏變換為：

對上式進行拉氏反變換可得輸出的時域表達式：輸出與輸入相位差：

=-arctanTω穩態輸出與輸入幅值比A：二者均與輸入頻率，系統本身的結構與參數有關。現在是6頁\一共有135頁\編輯于星期四

實際上，頻率響應的概念具有普遍意義。對于穩定的線性定常系統（或元件），當輸入信號為正弦信號r(t)=sint

時，過渡過程結束后，系統的穩態輸出必為

Css(t)=Asin(ωt+)，如圖所示。線性定常系統sintAsin(ωt+)tr（t）Css（t）

線性系統及頻率響應示意圖A(ω)(ω)現在是7頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1.2頻率特性1、定義

線性定常系統（或元件）在零初始條件下，當輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內連續變化時，系統穩態輸出與輸入信號的幅值比A(ω)與相位差(ω)隨輸入頻率變化而呈現的變化規律為系統的頻率特性。A(ω)：幅頻特性。穩態響應不同頻率的正弦輸入時在幅值上是放大(A＞1)還是衰減(A＜1)。(ω)：相頻特性。穩態響應不同頻率的正弦輸入時在相位上是超前(＞0o)還是滯后(＜0o)。

頻率特性反映系統對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，在頻域內全面描述系統的性能。

只與系統的結構、參數有關，是線性定常系統的固有特性。現在是8頁\一共有135頁\編輯于星期四RC網絡的幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：A（ω）=

（ω）=-arctanTωRC

RC網絡ui(t)u0(t)i(t)控制系統的頻率傳遞函數恰好表示了系統的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達式。頻率傳遞函數現在是9頁\一共有135頁\編輯于星期四G（jω）就是頻率特性通用的表示形式，是ω的函數。G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej指數表示法G（jω）=A(ω)∠(ω)幅角表示法

當ω是一個特定的值時，可以在復平面上用一個向量去表示G(jω)。向量的長度為A(ω)，向量與正實軸之間的夾角為

(ω)，并規定逆時針方向為正，即相角超前；規定順時針方向為負，即相角滯后。2、頻率特性的表示方法現在是10頁\一共有135頁\編輯于星期四

另外還可以將向量分解為實數部分和虛數部分，即

G（jω）=R（ω）+jI（ω）

R(ω)稱為實頻特性，I(ω)稱為虛頻特性。A(ω)與R(ω)為ω的偶函數，

(ω)與I(ω)是ω的奇函數。現在是11頁\一共有135頁\編輯于星期四線性定常系統，傳遞函數為G（s）G（jω）=

G（s）|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅頻特性，是相頻特性

系統的頻率特性可由系統的傳遞函數G（s）將jω代替其中的s而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數的復變量s=σ+jω。當σ=0時，s=jω。所以G（jω）就是σ=0時的G（s）。即當傳遞函數的復變量s用jω代替時，傳遞函數轉變為頻率特性，這就是求取頻率特性的解析法。由傳遞函數求取頻率特性現在是12頁\一共有135頁\編輯于星期四RC

RC網絡ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/TA()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-90現在是13頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1.4頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數值，不是頻率特性。當輸入信號的頻率ω在0→∞的范圍內連續變化時，則系統輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規律將反映系統的性能，才是頻率特性。2.頻率特性反映系統本身性能，取決于系統結構、參數，與外界因素無關。3.頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關。4.頻率特性表征系統對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有“低通濾波”與“相位滯后”作用。現在是14頁\一共有135頁\編輯于星期四5.1.5頻率特性的數學意義

頻率特性是描述系統固有特性的數學模型，與微分方程、傳遞函數之間可以相互轉換。

三種數學模型以不同的數學形式表達系統的運動本質，并從不同的角度揭示出系統的內在規律，是經典控制理論中最常用的數學模型。

微分方程（以t為變量）

傳遞函數（以s為變量）

頻率特性（以ω為變量）

控制系統數學模型之間的轉換關系現在是15頁\一共有135頁\編輯于星期四1.幅相頻率特性曲線（奈氏曲線,奈氏圖）坐標系為極坐標。反映A(ω)與

(ω)隨ω變化的規律。2.對數頻率特性曲線(對數坐標圖，

波德圖)坐標系為半對數坐標。反映對數幅頻特性曲線L(ω)=20lgA(ω)和對數相頻特性曲線

(ω)隨ω變化的規律。3.對數幅相頻率特性曲線(尼柯爾斯圖或對數幅相圖)

坐標系為對數幅相坐標。反映L(ω)=20lgA(ω)隨

(ω)的變化規律，主要用于求取閉環頻率特性。常用頻率特性曲線現在是16頁\一共有135頁\編輯于星期四2023/4/21現在是17頁\一共有135頁\編輯于星期四5.2幅相頻率特性及其繪制

現在是18頁\一共有135頁\編輯于星期四5.2.1奈氏圖的基本概念

繪制奈氏圖的坐標系是極坐標與直角坐標系的重合。取極點為直角坐標的原點，極坐標軸為直角坐標的實軸。當ω在0→∞的范圍內連續變化時，向量的幅值A()與相角()均隨之連續變化，不同ω下的向量的端點在復平面上掃過的軌跡即為該系統的奈氏曲線G(j2)Re(1)(2)A(1)A(2)G(j1)

極坐標圖的表示方法

Im

把ω作為參變量，標在曲線旁邊，并用箭頭表示頻率增大時曲線的變化軌跡，以便更清楚地看出該系統頻率特性的變化規律。G(jω)與G(-jω)互為共軛。相應的奈氏圖曲線G(jω)必然與G(-jω)對稱于實軸。G(jω)=A(ω)·ej現在是19頁\一共有135頁\編輯于星期四

當系統或元件的傳遞函數G(s)已知時，可以采用解析的方法先求取系統的頻率特性的具體步驟：1.用jω代替s，求出頻率特性G(jω)2.求出幅頻特性A(ω)與相頻特性(ω)的表達式，也可求出實頻特性R(ω)與虛頻特性I(ω)，幫助判斷G(jω)所在的象限。3.在0→∞的范圍內選取不同的ω，分別計算出A(ω)與(ω)的值，在坐標圖上描出對應的向量G(jω)，將所有G(jω)的端點連接描出光滑的曲線即可得到所求的奈氏曲線。現在是20頁\一共有135頁\編輯于星期四典型環節的奈氏圖1、比例環節用j替換s，可求得比例環節的頻率特性表達式為

G(j)=KImRe0K→0→

比例環節的幅相頻率特性G(s)=K幅頻特性A(ω)=

|K|=K相頻特性（ω）=0o比例環節的幅頻特性、相頻特性均與頻率無關。所以當由0變到,G(j)始終為實軸上一點。比例環節可以完全、真實地復現任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。現在是21頁\一共有135頁\編輯于星期四2、積分環節頻率特性：幅頻特性：A()=|1/|=1/

，與角頻率ω成反比相頻特性：()=-90o

積分環節的幅相頻率特性→0→0ReIm0＜＜：幅相頻率特性與負虛軸重合。積分環節是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。現在是22頁\一共有135頁\編輯于星期四3、微分環節G(s)=s頻率特性：G(j)=j幅頻特性:

A()=||=，與成正比。相頻特性：

()=90o。在0＜＜的范圍內,

奈氏圖與正虛軸重合。理想微分環節是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預見性作用。現在是23頁\一共有135頁\編輯于星期四4、慣性環節R()≥0，I()≤0:慣性環節的奈氏圖必在坐標系的第四象限。位于第四象限的半圓，圓心為(1/2,0),直徑為1。

比例系數變為K時，圓心為(K/2,0),直徑為K。慣性環節為低通濾波器，且輸出滯后于輸入，相位滯后范圍為0o→-90o。00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/TA()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-90現在是24頁\一共有135頁\編輯于星期四5、一階微分環節實頻特性恒為1，虛頻特性與輸入頻率成正比。平行于正虛軸向上無窮延伸的直線G(s)=(s+1)具有放大高頻信號的作用，輸入頻率越大，放大倍數越大；且輸出超前于輸入，相位超前范圍為0o→90o，輸出對輸入有提前性、預見性作用。是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二階系統的動態性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。00.5/1/2/A()11.121.412.36()028.74565.490現在是25頁\一共有135頁\編輯于星期四6、二階振蕩環節虛頻特性恒≤0，奈氏曲線必位于第三與第四象限。1＞2。與負虛軸的交點頻率為=1/T，幅值為1/(2)。相位滯后：輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；的取值對曲線形狀的影響較大，可分為以下兩種情況

01/A()11/(2)0()0-90-180現在是26頁\一共有135頁\編輯于星期四1)

＞0.707

幅頻特性A()隨的增大而單調減小，如圖中1所對應曲線，環節有低通濾波作用。當＞1時，振蕩環節有兩個相異負實數極點。若足夠大，一個極點靠近原點，另一個極點遠離虛軸（對瞬態響應影響很小），奈氏曲線與負虛軸的交點的虛部為1/(2)≈0，奈氏圖近似于半圓，即振蕩環節近似于慣性環節。

現在是27頁\一共有135頁\編輯于星期四2)0≤≤0.707當增大時，幅頻特性A()并不是單調減小，而是先增大，達到一個最大值后再減小直至衰減為0，這種現象稱為諧振。奈氏圖上距離原點最遠處所對應的頻率為諧振頻率r，所對應的向量長度為諧振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。諧振表明系統對頻率r下的正弦信號的放大作用最強。現在是28頁\一共有135頁\編輯于星期四隨的減小,諧振峰值Mr增大，諧振頻率r也越接近振蕩環節的無阻尼自然振蕩頻率n。諧振峰值Mr越大，表明系統的阻尼比越小，系統的相對穩定性就越差，單位階躍響應的最大超調量σ%也越大。當=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環節處于等幅振蕩狀態。

求諧振角頻率r和諧振峰值Mr，現在是29頁\一共有135頁\編輯于星期四7、延遲環節幅頻特性：A()=1相頻特性：()=-單位為弧度（rad）。或者()=G(s)=e-sG(j)=e-j故延遲環節的奈氏圖是一個以原點為圓心,半徑為1的圓。即延遲環節可以不失真地復現任何頻率的輸入信號，但輸出滯后于輸入，而且輸入信號頻率越高，延遲環節的輸出滯后就越大。

=時，()=-，即輸出相位滯后輸入為無窮大。當從0連續變化至時，奈氏曲線沿原點作半徑為1的無窮次旋轉，τ越大，轉動速度越大。現在是30頁\一共有135頁\編輯于星期四在低頻區，頻率特性表達式根據泰勒公式展開為當很小時，有

即在低頻區，延遲環節的頻率特性近似于慣性環節。從奈氏圖也可見，二者的曲線在低頻區基本重合。現在是31頁\一共有135頁\編輯于星期四5.2.3開環奈氏圖的繪制1.定義系統的頻率特性有兩種，閉環頻率特性Ф(jω)與開環頻率特性Gk(jω)。由于系統的開環傳遞函數較易獲取，并與系統的元件一一對應，在控制系統的頻率分析法中，分析與設計系統一般是基于系統的開環頻率特性。幅值相乘、相位相加現在是32頁\一共有135頁\編輯于星期四2.開環奈氏圖的繪制(1)低頻段的確定(→0)：起點

低頻段的Gk(jω):()=-v90°向量相乘是幅值相乘、相位相加:低頻段的幅頻：低頻段的相頻：現在是33頁\一共有135頁\編輯于星期四開環系統奈氏圖低頻段的形狀（幅值與相位）均與系統的型別v與開環增益K有關。1)0型系統，v=0：A(0)

=K，(0)=0o;低頻特性為實軸上的一點(K,0)。2)Ⅰ型系統，v=1：A(0)=∞，(0)=-90o3)Ⅱ型系統，v=2：A(0)=∞，(0)=-180o系統的型別v每增加1，起點順時針轉90度現在是34頁\一共有135頁\編輯于星期四(2)高頻段（→∞）：終點

不失一般性，假定系統開環傳遞函數全為不相等的負實數極點與零點。m為分子多項式的階數，

n為分母多項式的階數，且一般m＜n

高頻段終止于坐標原點；而最終相位為()=-(n-m)90，

現在是35頁\一共有135頁\編輯于星期四

①(n-m)=1,則()=-90,即幅相特性沿負虛軸進入坐標原點。②(n-m)=2,則()=-180,即幅相特性沿負實軸進入坐標原點。③(n-m)=3,則()=-270,即幅相特性沿正虛軸進入坐標原點。現在是36頁\一共有135頁\編輯于星期四(3)奈氏圖與實軸、虛軸的交點將頻率特性表達式按照分母有理化的方法分解為實部與虛部。1）曲線與實軸的交點處的頻率由虛部為0求出

Im[G(j)]=I()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。2）曲線與虛軸的交點處的頻率由實部為0求出

Re[G(j)]=R()=0求出交點處的，再代回頻率特性表達式求出交點的坐標。現在是37頁\一共有135頁\編輯于星期四(1)分別寫出開環系統中各個環節的幅頻特性和相頻特性。(2)寫出開環系統的A(ω)和φ(ω)表達式。(3)分別求出ω=0和ω=的G(jω)H(jω)

。(4)求奈氏圖與實軸交點：可用Im[G(jω)H(jω)

]=0求出。(5)求奈氏圖與虛軸交點：可用Re[G(jω)H(jω)

]=0求出。(6)必要時再畫出中間幾點。(7)勾畫大致曲線（開環概略幅相曲線）總結：開環系統Nyquist圖的一般作圖方法現在是38頁\一共有135頁\編輯于星期四起點：A(0)=10,(0)=0終點：A()=0,()=-90-90=-180與虛軸的交點：G(j)()17.07-50.72.53.61-82.0351.75-105.2100.74-129.31000.01-173.7例1：繪制0型開環系統的奈氏圖現在是39頁\一共有135頁\編輯于星期四Ⅰ型系統G(j)()0.199.6-95.710.517.89-116.5722.24-153.4350.39-168.69100.1-174.29500.004-178.85例2已知開環系統的頻率特性，試畫出奈氏圖現在是40頁\一共有135頁\編輯于星期四Ⅱ型系統例3G(j)()0.535.7-206.617.07-22521.12-243.4350.08-258.7100.01-264.3現在是41頁\一共有135頁\編輯于星期四0型3型2型1型值系統名稱奈氏圖起點奈氏圖終點=00型(K,j0)(1)分母階次大于分子階次：坐標原點處；相位為-90(n-m)(2)分母階次等于分子階次：坐標實軸上的有限值處=1I型相角為-90的無窮遠處=2II型相角為-180的無窮遠處奈氏圖起點：每增加一個積分環節，相位增加-90現在是42頁\一共有135頁\編輯于星期四下圖列出了常見系統的開環傳遞函數與開環概略奈氏圖。

如果系統的開環傳遞函數沒有開環零點，則在由0增大到過程中，頻率特性的相位單調連續減小（滯后連續增加），特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續變化最后終于原點。現在是43頁\一共有135頁\編輯于星期四(4)開環零點對曲線的影響1）如果系統的開環傳遞函數沒有開環零點，則在由0增大到過程中，頻率特性的相位單調連續減小（滯后連續增加），特性曲線平滑地變化。奈氏曲線應該是從低頻段開始幅值逐漸減小，沿順時針方向連續變化最后終于原點。2）如果系統的開環傳遞函數有開環零點，則在由0增大到過程中，特性的相位不再是連續減小。視開環零點的時間常數的數值大小不同，特性曲線的相位可能在某一頻段范圍內呈增加趨勢，此時，特性曲線出現凹部。

現在是44頁\一共有135頁\編輯于星期四若該系統增加一個開環零點，開環頻率特性表達式為此系統仍為Ⅱ型系統，當→0時，幅值趨于無窮大,而相角位移為-180，即奈氏圖的起點基本未變。在→時，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏圖沿負實軸終止于原點。

由于增加了開環零點，所以奈氏曲線從低頻段到高頻段連續變化時，相位先滯后增加，達到一個滯后最大值后，相位滯后又開始減小（即相位增加），整條曲線出現了凹凸。現在是45頁\一共有135頁\編輯于星期四現在是46頁\一共有135頁\編輯于星期四

根據以上繪制規律，可以方便地繪制系統的開環概略奈氏圖。

在０＜＜的區段，奈氏曲線的形狀與所有典型環節及其參數有關，但通過奈氏曲線并不能非常直觀地顯示出系統的開環傳遞函數的結構與參數。

奈氏圖的用途：判斷系統穩定性作業：p.2375-6p.2385-8,5-9現在是47頁\一共有135頁\編輯于星期四2023/4/21現在是48頁\一共有135頁\編輯于星期四5.3對數頻率特性及其繪制現在是49頁\一共有135頁\編輯于星期四5.3.1對數頻率特性曲線（Bode圖）基本概念坐標系為半對數坐標。反映對數幅頻特性曲線L(ω)=20lgA(ω)和對數相頻特性曲線

(ω)隨ω變化的規律。1.Bode圖的坐標系橫坐標：對取以10為底的對數lg進行分度。十倍頻程（decade，dec）：每變化十倍,

1gω就增加一個單位長度。標注ω的真值,以方便讀數。橫坐標對于ω是不均勻的，但對1gω卻是均勻的線性分度。由于0頻無法表示，橫坐標的最低頻率是由所需的頻率范圍來確定的。ω1與ω2的距離不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1現在是50頁\一共有135頁\編輯于星期四對數幅頻特性縱坐標：(dB)

，用L()=20lgA(ω)表示。對數相頻特性圖縱坐標：對相角進行線性分度，單位為度（o）

,仍用

()表示。2.伯德（Bode）圖的構成G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()=L1()+L2()+…+Ln()現在是51頁\一共有135頁\編輯于星期四3．Bode圖法的特點（1）橫坐標按頻率取對數分度，低頻部分展寬，而高頻部分縮小。與對實際控制系統（一般為低頻系統）的頻率分辨要求吻合。（2）幅頻特性取分貝數（20Lg|GH|）后，使各因子間的乘除運算變為加減運算，在Bode圖上則變為各因子幅頻特性曲線的疊加，大大簡化了作圖過程，使系統設計和分析變得容易。（3）可采用由直線段構成的漸近特性（或稍加修正）代替精確Bode圖，使繪圖十分簡便。（4）在控制系統的設計和調試中,開環放大系數K是最常變化的參數。而K的變化不影響對數幅頻特性的形狀，只會使幅頻特性曲線作上下平移。現在是52頁\一共有135頁\編輯于星期四5.3.2典型環節的伯德圖

1.比例環節（K）

比例環節可以完全、真實地復現任何頻率的輸入信號，幅值上有放大或衰減作用；

()=0o,表示輸出與輸入同相位，既不超前也不滯后。現在是53頁\一共有135頁\編輯于星期四2.積分環節(1/s)

402000.010.111020100.010.11

頻率每增加10倍，幅頻特性下降20dB，故積分環節的對數幅頻特性是一條斜率為-20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。積分環節是低通濾波器，放大低頻信號、抑制高頻信號，輸入頻率越低，對信號的放大作用越強；并且有相位滯后作用，輸出滯后輸入的相位恒為90o。現在是54頁\一共有135頁\編輯于星期四3.微分環節（s）

1微分環節的對數幅頻特性是一條斜+20dB/dec的斜線,并且在=1這一點穿過0dB線。理想微分環節是高通濾波器，輸入頻率越高，對信號的放大作用越強；并且有相位超前作用，輸出超前輸入的相位恒為90o，說明輸出對輸入有提前性、預見性作用。積分環節與理想微分環節的對數幅頻特性相比較，只相差正負號，二者以軸為基準，互為鏡象；同理，二者的相頻特性互以軸為鏡象。現在是55頁\一共有135頁\編輯于星期四4.慣性環節(1)對數幅頻特性

1)低頻段：T<<1(或<<1/T)，T0低頻漸近線：0dB的直線，現在是56頁\一共有135頁\編輯于星期四2)高頻段

:T>>1(或>>1/T)3）轉折點：低頻與高頻漸近線的交點。

轉折頻率T：

T

=1/T。

繪制慣性環節的對數頻率特性時的一個重要參數。高頻漸近線：斜率為-20dB/dec的直線，現在是57頁\一共有135頁\編輯于星期四（2）對數相頻特性()=-arctan(ωT)；對數相頻特性曲線將對應于ω=1/T及()=-45°這一點斜對稱。在整個頻率范圍內，()呈滯后持續增加的趨勢，極限為-90。現在是58頁\一共有135頁\編輯于星期四

當慣性環節的時間常數T改變時，其轉折頻率1/T將在Bode圖的橫軸上向左或向右移動。與此同時，對數幅頻特性及對數相頻特性曲線也將隨之向左或向右移動，但它們的形狀保持不變。現在是59頁\一共有135頁\編輯于星期四5．一階微分環節（s＋1）

(1)

低頻漸近線：<<1(或<<1/)；近似用零分貝線表示。(2)高頻漸近線：>>1(或>>1/)；斜率為20dB/dec的斜線。(3)轉折頻率:T=1/。1)對數幅頻特性

現在是60頁\一共有135頁\編輯于星期四一階微分環節的bode圖與慣性環節互以橫軸為鏡像。一階微分環節具有放大高頻信號的作用；輸出超前于輸入，0o→90o，輸出對輸入有提前性、預見性作用。一階微分環節（PD控制器）：改善二階系統的動態性能，但存在放大高頻干擾信號的問題。2)相頻特性

3)特點

現在是61頁\一共有135頁\編輯于星期四

6．二階振蕩環節（1）對數幅頻特性

1)低頻段：T<<1(或<<1/T)時，L()20lg1=0dB。(0≤≤1)2)高頻段：T>>1(或>>1/T)時,并考慮到（0≤≤1），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB這說明高頻段是一條斜率為-40dB/dec的斜線。3)T=1/T為轉折頻率，也就是環節的無阻尼自然振蕩頻率n。現在是62頁\一共有135頁\編輯于星期四0.4時，漸近線需要加尖峰修正。隨的減小,諧振峰值Mr增大，系統的相對穩定性就越差，單位階躍響應的最大超調量σ%也越大。諧振頻率r也越接近n。當=0時，r≈n，Mr≈，即振蕩環節處于等幅振蕩狀態。

高頻漸近線:-40dB/dec低頻漸近線:0dB現在是63頁\一共有135頁\編輯于星期四（2）相頻特性

當ω=0時，()=0ω=1/T時，()=-90°ω→∞時，()→-180°

振蕩環節具有相位滯后的作用，輸出滯后于輸入的范圍為0o→-180o；同時的取值對曲線形狀的影響較大。振蕩環節的對數相頻特性曲線將對應于ω=1/T及()=-90°這一點斜對稱。現在是64頁\一共有135頁\編輯于星期四7．延遲（滯后）環節（e-Ts）

()是呈指數規律下降的曲線，隨ω增加而滯后無限增加，現在是65頁\一共有135頁\編輯于星期四控制系統的開環頻率特性為：5.3.3開環伯德圖的繪制順序斜率疊加法在繪制系統Bode圖時，應先將系統傳遞函數分解為典型環節乘積的形式，再逐步繪制。不必將各個典型環節的L(ω)繪出,而使用從低頻到高頻逐次變換斜率的方法繪出L(ω)曲線,Ф(ω)曲線描點或疊加求取。G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()=L1()+L2()+…+Ln()現在是66頁\一共有135頁\編輯于星期四1.基本規律（1）由于系統開環幅頻特性的漸近線是由各典型環節的對數幅頻特性疊加而成，而直線疊加就是斜率相加，所以L()的漸近線必為由不同斜率的線段組成的折線。（2）低頻漸近線（及其延長線）的確定()=-v90°斜率:-20vdB/dec;與積分環節的個數v有關=1時,有L(1)=20lgK。現在是67頁\一共有135頁\編輯于星期四（3）轉折頻率及轉折后斜率變化量的確定在慣性環節的轉折頻率1/T處，斜率-20dB/dec；在一階微分環節G(s)=(s+1)的轉折頻率1/處，斜率+20dB/dec；在振蕩環節的轉折頻率1/T處，斜率-

40dB/dec（4）最終斜率與最終相位滯后與n-m的關系()=-(n–m)·90°斜率為-20（n-m）dB/dec的斜線。高頻段Bode圖與（n-m）有關。→時,由于n＞m，現在是68頁\一共有135頁\編輯于星期四2．Bode圖繪制步驟1)開環傳遞函數寫成時間常數表達式，確定各典型環節的轉折頻率。2)選定Bode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統最低轉折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉折頻率的10倍左右。3)在橫坐標上，由小到大標注各典型環節轉折頻率。4)確定低頻漸近線（由積分環節個數v與開環傳遞系數K決定），找到橫坐標為ω=1、縱坐標為20lgK的點，過該點作斜率為-20vdB/dec的斜線。5)由低頻向高頻延伸，每到一個轉折頻率,斜率根據具體環節作相應的改變，最終斜率為-20（n-m）dB/dec。6)如有必要，可對分段直線進行修正，以得到精確的對數幅頻特性。通常只需修正各轉折頻率處以及轉折頻率的二倍頻和1/2倍頻處的幅值就可以了。現在是69頁\一共有135頁\編輯于星期四7）系統開環對數幅頻特性L()通過0分貝線,即

L(c)=0或A(c)=1時的頻率c稱為幅值穿越頻率。是分析與設計時的重要參數。8)在對數相頻特性圖上，分別畫出各典型環節的對數相頻特性曲線，將各典型環節的對數相頻特性曲線沿縱軸方向迭加，便可得到系統的對數相頻特性曲線。也可求出()的表達式，逐點描繪。低頻時有()=-v(90)，最終相位為()=-(n-m)90。9)若系統串聯有延遲環節，不影響系統的開環對數幅頻特性，只影響系統的對數相頻特性，則可以求出相頻特性的表達式，直接描點繪制對數相頻特性曲線。現在是70頁\一共有135頁\編輯于星期四(1)確定Bode圖坐標系例5.3.1：求開環傳遞函數的Bode圖0.1110100204060(2)將各環節的轉角頻率由低到高依次標于橫軸上：=1,=2。2(3)繪制低頻漸近線。I型系統；斜率為-20dB/dec

的直線；

=1處的幅值為20lg100=40(dB)。-20dB/dec(4)由低頻到高頻順序繪出對數幅頻特性漸近線。在低頻漸近線的基礎上，每遇到一個環節的轉折頻率,根據該環節的性質作一次斜率變化，直至最后一個環節完成為止。-40dB/dec-20dB/dec>1:[-20][-40]>2:[-40][-20]28c(5)幅值穿越頻率c?現在是71頁\一共有135頁\編輯于星期四畫開環傳遞函數的相頻bode圖-108.4-95.592023/4/21現在是72頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.3.2系統的開環傳遞函數為

繪制Bode圖。解：(1)頻率特性(3)轉折頻率：=2,10現在是73頁\一共有135頁\編輯于星期四0.1121020()-92.86-110.85-123.69-123.69-110.85-90現在是74頁\一共有135頁\編輯于星期四0.112103010002040-20-90L(ω)/dBω[-20][-40]14[-40]-2620-14[-20]-100-110-120(ω)/現在是75頁\一共有135頁\編輯于星期四例：繪制開環對數幅頻漸近特性曲線低頻段(<0.5)：轉折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時為38db時為52db解：開環傳遞函數為現在是76頁\一共有135頁\編輯于星期四0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[-20][-40][-20][-40]低頻段：時為38db轉折頻率：0.5230斜率：-40-20-40時為52db

L()曲線38db14db-6db現在是77頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.3.4：繪制開環系統的對數頻率曲線。解：對數幅頻：低頻段：-20dB/dec,=1時，20lgK=20lg20=26dB對數相頻：相頻特性的畫法為：起點，終點，轉折點。 環節角度：

轉折頻率：1510斜率：-400-40現在是78頁\一共有135頁\編輯于星期四1101000.10db20db40db-20db-40dbL(ω)/dBω5-90-180對數幅頻：低頻段：-20dB/dec,20lgK=26dB

轉折頻率：1510

斜率：-400-40修正值：

-114.7-93.7-137.5[-20]26db46db8.14db[-40][-40]-14db現在是79頁\一共有135頁\編輯于星期四畫開環系統Bode圖的步驟：(1)寫出開環頻率特性的時間常數表達式，把其所含各環節的轉折頻率由小到大依次標注在頻率軸上。(2)確定各轉折頻率前后分段直線的斜率：低頻段（<min)的斜率為-20dB/dec（為積分環節數）。同時利用在=1處，L()=20lgK確定低頻漸近線的位置。沿著頻率增大的方向，每遇到一個轉折頻率就改變一次分段直線的斜率，取決于對應的典型環節的種類（p.203表5-2）。高頻漸近線（分段直線最后一段）的斜率為-20(n-m)dB/dec，其中n、m分別為開環傳遞函數G(s)H(s)的極點數和零點數。(3)作出分段直線表示的漸近線后，如果需要，再按照各典型因子的誤差曲線對相應的分段直線進行修正，就可得到實際的對數幅頻特性曲線。如對二階振蕩環節，標出Mr值。(4)作相頻特性曲線，根據開環相頻特性的表達式，在低頻、中頻和高頻區域各選擇若干個頻率進行計算，然后連成曲線。現在是80頁\一共有135頁\編輯于星期四由Bode圖確定傳遞函數1、系統的類型與Bode圖低頻漸近線斜率的對應關系1）0型系統0型系統對數幅頻特性低頻漸近線為一條20lgKdB的水平線。2）I型系統

低頻漸近線斜率為-20dB/dec開環增益K在數值上等于低頻漸近線（或延長線）與0dB線相交點的頻率值。

低頻漸近線（或延長線）在ω=1處的相交坐標值為20lgK。現在是81頁\一共有135頁\編輯于星期四3）Ⅱ型系統

低頻漸近線的斜率為-40dB/dec。

低頻漸近線（或延長線）在ω=1處的坐標值為20lgK。

開環增益K在數值上等于低頻漸近線（或延長線）與0dB線相交點頻率值的平方。現在是82頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.3.5某最小相位系統的對數幅頻特性的漸近線如圖所示，確定該系統的傳遞函數。2、舉例28現在是83頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.3.5某最小相位系統的對數幅頻特性的漸近線如圖所示，確定該系統的傳遞函數。現在是84頁\一共有135頁\編輯于星期四作業：p.238:5-11；5-12現在是85頁\一共有135頁\編輯于星期四5.3.4最小相位系統和非最小相位系統

“最小相位”這一概念來源于網絡理論。它是指具有相同幅頻特性的一些環節,其中相角位移有最小可能值的,稱為最小相位環節;反之,其中相角位移大于最小可能值的環節稱為非最小相位環節。1.基本概念（1）如果系統傳遞函數在右半S平面上沒有極點和零點，則稱該系統為最小相位系統（由除延遲環節之外的典型環節組成），如（2）系統傳遞函數在右半s平面上有一個(或多個)零點或極點，稱為非最小相位系統；

現在是86頁\一共有135頁\編輯于星期四

顯然G1（s）屬于最小相位系統。這兩個系統幅值相同，具有同一個幅頻特性，但它們卻有著不同的相頻特性。下面以一個簡單例子來說明最小相位系統的慨念。現在是87頁\一共有135頁\編輯于星期四1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanTG1(s)具有較小的相位變化范圍(0°,-90°),為最小相位環節；而G2(s)為非最小相位環節，相位變化范圍較大(0°，-180°)現在是88頁\一共有135頁\編輯于星期四2、性質☆

(1)最小相位系統的對數相頻特性和對數幅頻特性是一一對應的。也就是說，對于最小相位系統，一條對數幅頻特性只有一條對數相頻特性與之對應，知道其對數幅頻特性，也就知道其對數相頻特性。因此，利用Bode圖對最小相位系統進行分析時，往往只分析其對數幅頻特性L()。(2)最小相位系統的對數相頻特性和對數幅頻特性的變化趨勢相同，即若L()的斜率減小（或增大），則()的相位也相應地減小（或增大）；如果在某一頻率范圍內,對數幅頻特性L()的斜率保持不變,則在這些范圍內,相位也幾乎保持不變。現在是89頁\一共有135頁\編輯于星期四5.4奈奎斯特穩定判據現在是90頁\一共有135頁\編輯于星期四

除勞斯判據外，分析系統穩定性的另一種常用判據為奈奎斯特(Nyquist)判據。Nyquist穩定判據是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內容，簡稱奈氏判據。奈氏判據的主要特點有1.根據系統的開環頻率特性，來研究閉環系統穩定性，而不必求閉環特征根；2.能夠確定系統的穩定程度（相對穩定性）。3.可用于分析系統的瞬態性能，利于對系統的分析與設計；4.基于系統的開環奈氏圖，是一種圖解法。

現在是91頁\一共有135頁\編輯于星期四一、

簡化奈奎斯特穩定判據

1.繪制由0變到+

時的開環幅相頻率特性G(j)

由0變到+

時的開環幅相頻率特性G(j)順時針包圍(-1,j0)點的圈數為N，已知系統開環右極點數為P

，則系統閉環右極點個數為Z

（不包括虛軸上的極點）：

Z=P+2N

當Nyquist曲線G(jω)通過(-l,j0)點時,表明在s平面虛軸上有閉環極點，系統處于臨界穩定狀態，屬于不穩定。現在是92頁\一共有135頁\編輯于星期四2.采用穿越的概念簡化復雜曲線包圍次數的計算由0變到+

時開環頻率特性曲線要形成對(-1,j0)點的一次包圍，勢必穿越（-∞，-1）區間一次。開環頻率特性曲線逆時針穿越（-∞，-1）區間時，隨ω增加，頻率特性的相角值增大，稱為一次正穿越N’+。開環頻率特性曲線順時針穿越（-∞，-1）區間時，隨ω增加，頻率特性的相角值減小，則稱為一次負穿越N’-。由0變到+

時的開環幅相頻率特性G(j)對(-1,j0)點的總包圍次數為N=N’--

N’+

Z=P+2(N’--

N’+

)利用正、負穿越情況的奈奎斯特穩定判據敘述為：現在是93頁\一共有135頁\編輯于星期四3.半次穿越

奈氏曲線始于或止于(-1,j0)點以左負實軸，稱為一個半次穿越。由于曲線始于(-3，j0)點，故順時針包圍(-1，j0)的次數為1/2，N’-=1/2。開環右極點數為P=0，故

Z=P+2(

N’--0)

=P+2N’-=1閉環系統有一個右極點，閉環不穩定。例某系統開環傳遞函數如下，試判斷閉環系統的穩定性。現在是94頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.4.2經實驗測得某最小相位系統的開環奈氏圖如圖所示，判斷閉環穩定性。由圖可以看出,當由0變到+時,G(j)矢量在(-1,j0)點以左負實軸上正負穿越次數各一次。

Z=P+2（N’-

-N’+

）

=0。

故由奈氏穩定判據知該閉環系統是穩定的。

由于為最小相位系統，開環右極點數P=0，且為0型系統，故直接利用開環頻率特性G(j)的軌跡判斷穩定性。現在是95頁\一共有135頁\編輯于星期四4.型別v≥1系統開環頻率特性G(j)曲線的處理原有曲線的起點對應于=0+。在=0附近,幅相特性以為半徑,逆時針補畫=v·90°的圓弧，添加圓弧后相當于得到新的開環頻率特性G(j)曲線。系統在虛軸上的0值開環極點作左極點處理。

Z=P+2（N’--

N’+

）開環系統型別過高會影響穩定性.而串聯比例微分調節器可以改善系統的穩定性，起到校正的作用，但要選擇合適的參數。現在是96頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.4.3判斷圖示系統的閉環穩定性b圖所示系統為一Ⅰ型二階系統，該系統為非最小相位系統，P=1，在=0附近,曲線以為半徑,逆時針補畫=1·90°=90°的圓弧與負實軸相交。由0變到+

時，順時針包圍（-1，j0）點半次，有N’-=1/2。則Z=P+2N’-=2，閉環系統有兩個右極點，系統不穩定。Z=P+2（N’--

N’+

）現在是97頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.4.4系統的開環傳遞函數為畫出開環系統的奈氏圖，并用奈氏穩定判據判斷系統穩定性開環系統存在一階微分環節，奈氏圖穿越負實軸。開環系統穩定，但閉環系統不穩定，有2個極點在[s]平面的右半平面。現在是98頁\一共有135頁\編輯于星期四二、

奈奎斯特穩定判據在伯德圖上的應用

由于系統開環對數頻率特性曲線的繪制較奈奎斯特曲線更為簡單、方便，自然使用伯德圖來進行系統穩定性判別就更適用。該判據不但可以回答系統穩定與否的問題，還可以研究系統的穩定裕量（相對穩定性），以及研究系統結構和參數對系統穩定性的影響。現在是99頁\一共有135頁\編輯于星期四（1）在G(j)平面上,|G(j)|=1的單位圓,對應于對數幅頻特性的0dB線;

單位圓外部如(-,-1)區段，對應L()>0dB，單位圓內部對應L()<0dB。

（2）從對數相頻特性來看,G(j)平面上的負實軸,對應于對數相頻特性上的()=-180°。（3）(-1,j0)點的向量表達式為1∠-180°，對應于波德圖上穿過0dB線，并同時穿過()=-180°的點。二、

奈奎斯特穩定判據在伯德圖上的應用

1、奈氏圖與伯德圖的對應關系現在是100頁\一共有135頁\編輯于星期四2、穿越在波德圖上的含義（1）穿越：在L()>0dB的頻率范圍內，相頻特性曲線穿過-180°；在L()<0dB的頻率范圍內，相頻特性曲線穿過-180°不是穿越。（2）正穿越N+ˊ：產生正的相位移，這時，相頻特性應由下部向上穿越-180°線。（3）負穿越N-ˊ：產生負的相位移,這時,相頻特性應由上部向下穿越-180°線。正、負穿越的定義和前面的定義實際上是一致的。正穿越負穿越-270-90現在是101頁\一共有135頁\編輯于星期四3、對數幅頻特性曲線的奈氏判據根據上述對應關系，結合使用正、負穿越情況的穩定判據，在伯德圖上使用奈奎斯特穩定判據時，就是在L()>0dB的頻率范圍內，根據相頻曲線穿越-180o的相位線的次數對系統穩定性做出判定。可將對數頻率特性判斷閉環系統穩定性的奈氏穩定判據表述如下:

設開環傳遞函數在右半s平面上的極點數為P，則L()>0dB的頻率范圍內，當頻率增加時對數相頻特性曲線對-180o的相位線的正、負穿越次數為N’+與N’-

，閉環右極點個數為

Z=P+2（N’--N’+）

現在是102頁\一共有135頁\編輯于星期四[例6]設系統的開環傳遞函數如下，系統開環對數頻率特性曲線如圖所示，試判別閉環系統的穩定性。

解：由系統開環傳遞函數可知，開環系統是穩定的，即P=0，在L()>0dB的頻率范圍內，相頻特性曲線()不穿越-180o的相位線，即正、負穿越次數差為0，由Z=P+2N′可知，Z=0，故閉環系統穩定。

現在是103頁\一共有135頁\編輯于星期四

對于型別v≥1（v為系統開環傳遞函數在原點處的極點數）的系統，應將Bode圖對數相頻特性在ω→0處附加一段自上而下的、變化范圍為-v·90°的曲線與相頻特性曲線在ω→0處相連。相頻特性經過處理后，再使用上述穩定性判據。現在是104頁\一共有135頁\編輯于星期四作業：p.2385-14(不交）；p.2395-16；p.2405-17現在是105頁\一共有135頁\編輯于星期四5.5控制系統的相對穩定性

（計算系統穩定裕度：

相角裕量和幅值裕量hg）

現在是106頁\一共有135頁\編輯于星期四一、相位裕量γ,

幅值穿越頻率ωc相角裕量γ:使系統達到臨界穩定需要增加的相角:

γ=(c)-

(-180o)=(c)+180o穩定系統：γ>0,γ越大,系統相對穩定性越高。

相位裕度是設計控制系統時的一個重要依據，描述系統的阻尼程度。幅值穿越頻率(或截止頻率)ωc:G(j)曲線與單位圓(0dB線)交接處的頻率；現在是107頁\一共有135頁\編輯于星期四二、

幅值裕量hg，

相位穿越頻率ωg幅值裕量hg：Nyquist曲線與負實軸交點處幅值的倒數穩定系統：hg>1,Lh(dB)>0,hg越大，相對穩定性越高。相位穿越頻率(相位交接頻率)ωg：G(j)曲線曲線與負實軸(-180o線)交接處的頻率。現在是108頁\一共有135頁\編輯于星期四三、系統的穩定裕量僅用相位裕量或幅值裕量都不足以充分說明系統的穩定性。對于非最小相位系統，只有當γ、Lh均為正時，系統才是穩定的。對最小相位系統，有時僅需兩者之一即可，一般取γ。為了確保系統的相對穩定性，使系統具有滿意的性能，γ、Lh都應該有合適的取值。從控制工程實踐得出，系統應具有30~60的相位裕量，幅值裕量大于6dB（即hg>2）。要求相位裕量應在30~60之間,意味著開環對數幅頻特性在穿越頻率c上的斜率必須小于-40dB/十倍頻,通常取-20dB/dec，且具有一定的寬度。適當的相位裕量和幅值裕量,可以防止系統中元件的參數和特性在工作過程中的變化對系統穩定性產生不良的影響，并可以提高系統抗高頻干擾的能力。現在是109頁\一共有135頁\編輯于星期四例：系統開環傳函為分別畫出K=5、20系統的Bode圖，并求幅值裕度hg，相位裕度。K=5：=12o，L(h)=6dBK=20：

=-12o，L(h)=-6dB解：(1)作出bode圖；（2）由圖讀相應的數據(3)計算法：現在是110頁\一共有135頁\編輯于星期四例5.5.2典型二階系統如圖所示：試確定其相角裕度。R(s)C(s)_截止頻率c相角裕度截止頻率c是n的增函數和的減函數相角裕度只與阻尼比有關，且為的增函數現在是111頁\一共有135頁\編輯于星期四現在是112頁\一共有135頁\編輯于星期四現在是113頁\一共有135頁\編輯于星期四現在是114頁\一共有135頁\編輯于星期四作業：p.2405-21,5-22,5-23現在是115頁\一共有135頁\編輯于星期四5.6利用開環頻率特性

分析系統的性能現在是116頁\一共有135頁\編輯于星期四

幅值穿越頻率c與相位穿越頻率g，相位裕量與幅值裕量hg都是控制系統的開環頻域指標，頻域指標是表征系統動態性能的間接指標。由于時域指標（穩態誤差ess、最大超調量σ%、調節時間ts等）反映系統性能更為直接、正確。因此需要探討開環頻域指標與時域指標之間的關系，以便于由開環頻域指標分析閉環系統的性能。

對于最小相位系統來說，對數幅頻特性與對數相頻特性存在著一一對應的關系，反映系統的結構與參數，能夠據此推出系統的傳遞函數。因此，根據系統的開環對數幅頻特性L()，就能了解系統的靜態和動態性能。

本節介紹開環對數幅頻特性L()的形狀與系統性能的關系，并研究頻域指標與時域指標的關系，以及根據頻域指標估算系統的時域響應性能的方法。現在是117頁\一共有135頁\編輯于星期四一、開環對數幅頻特性L()中頻段

與系統動態性能的關系

由開環頻率特性來研究系統的動態性能,一般是用對數幅頻特性的幅值穿越頻率c和相位裕量這兩個特征量，這兩個特征量都與系統中頻段的形狀有關。開環對數幅頻特性L()的中頻段是指L()曲線在幅值穿越頻率c附近的區段，在波德圖一般是L()從大約+30dB過渡到約-15dB的范圍內。下面以一例題來說明系統開環波德圖中頻段形狀與系統穩定性之間的關系。現在是11