2021-2022學(xué)年天津市北辰區(qū)高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線(xiàn)的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】根據(jù)給定方程求出直線(xiàn)的斜率即可求得傾斜角作答.【詳解】直線(xiàn)的斜率，由斜率的定義得直線(xiàn)的傾斜角為，所以所求傾斜角為.故選：A2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則的模為（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】利用空間向量的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】解：，，則所以故選：B.3．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用一般方程表示圓得的不等式求解【詳解】由題，則解得故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程，是基礎(chǔ)題4．過(guò)點(diǎn)，的直線(xiàn)的斜率等于1，則m的值為（

）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【分析】解方程即得解.【詳解】由題得.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查斜率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.5．已知橢圓上的一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程得，由橢圓定義可求得結(jié)果.【詳解】由橢圓方程知：，則由橢圓定義知：點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：B.6．已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是，，則此圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓心為直徑兩端點(diǎn)的中點(diǎn)，得到圓心坐標(biāo)；再利用兩點(diǎn)間距離公式求得半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【詳解】直徑兩端點(diǎn)為

圓心坐標(biāo)為圓的半徑，圓的方程為：.故選：A.【點(diǎn)睛】求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是確定圓心和半徑，屬于基礎(chǔ)題．7．已知x，y滿(mǎn)足，求的最小值為（

）A．2 B． C．8 D．【答案】C【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.【詳解】解：表示點(diǎn)與直線(xiàn)上的點(diǎn)的距離的平方所以的最小值為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的平方所以最小值為：故選：C.8．已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意得，設(shè)，由，則，所以，與橢圓方程聯(lián)立，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選A.【解析】橢圓簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).方法點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用、向量垂直與向量的數(shù)量積的關(guān)系，著重考查了學(xué)生的推理與計(jì)算能力，屬于中檔試題，本題的解答中，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由，轉(zhuǎn)化為，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算所以，再與橢圓的聯(lián)立方程組，即可求解點(diǎn)的坐標(biāo).9．在四面體中給出以下四個(gè)結(jié)論，則說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則可知B．若Q為的重心，則C．若，，則D．若四面體各棱長(zhǎng)都為2，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，則【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算結(jié)合重心的性質(zhì)以及向量模長(zhǎng)的計(jì)算逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：對(duì)A，，則，整理得，即，等價(jià)于，所以，故A正確；對(duì)B，Q為的重心，則，，整理得：，故B正確；對(duì)C，，，所以所以整理得：即所以即，故C正確；對(duì)D，四面體各棱長(zhǎng)都為2，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)，所以四面體的各個(gè)面均為正三角形則，，，兩兩之間的夾角均為所以又因?yàn)樗裕蔇錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間向量模長(zhǎng)的方法①坐標(biāo)法：，則；②直接法：通過(guò)對(duì)已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)直接得到向量的模長(zhǎng)；③利用進(jìn)行求解.二、填空題10．設(shè)，分別是兩個(gè)不同平面，的法向量，當(dāng)，時(shí)，與的位置關(guān)系為_(kāi)__________.【答案】平行【分析】根據(jù)法向量的位置關(guān)系即可判斷平面，的位置關(guān)系.【詳解】解：，分別是兩個(gè)不同平面，的法向量，且，則即兩個(gè)平面的法向量平行所以平面，平行故答案為：平行.11．已知橢圓的長(zhǎng)軸在軸上，若焦距為4，則__________.【答案】8【分析】根據(jù)橢圓方程列方程，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸在軸上，焦距為4，所以故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)橢圓方程求參數(shù)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12．已知圓的圓心到直線(xiàn)的距離為2，則a的值為_(kāi)__________.【答案】【分析】先將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可求解.【詳解】解：圓即所以圓心坐標(biāo)為由圓心到直線(xiàn)的距離為2可得解得：故答案為：.13．設(shè)為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線(xiàn)段的中點(diǎn)在y軸上，則的值為_(kāi)__________.【答案】【分析】由給定條件探求出PF2⊥x軸，由此求出的長(zhǎng)，再借助橢圓定義即可得解.【詳解】依題意，，右焦點(diǎn)，如圖，因線(xiàn)段的中點(diǎn)在y軸上，而O是線(xiàn)段，于是得PF2//y軸，即PF2⊥x軸，由得，則有，于是有，，所以的值為.故答案為：14．若直線(xiàn)始終平分圓的圓周，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)直線(xiàn)平方圓得出直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，再利用基本不等式“”的秒用即可求解.【詳解】解：圓化為所以圓心為因?yàn)橹本€(xiàn)始終平分圓的圓周所以點(diǎn)在直線(xiàn)上代入整理得所以當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)所以的最小值為.故答案為：.15．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側(cè)棱，D，E分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面上的射影是的重心G則與平面ABD所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】【分析】利用空間向量法先根據(jù)G是的重心求出，再利用向量法求線(xiàn)面角即可.【詳解】解：直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，所以、、兩兩垂直故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，，D，E分別是與的中點(diǎn)，則，，，所以因?yàn)镚是的重心所以所以，因?yàn)辄c(diǎn)E在平面上的射影是的重心G所以是平面的法向量所以，解得所以，設(shè)與平面所成角為所以所以故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求線(xiàn)面角的方法①幾何法，根據(jù)線(xiàn)面角的定義在空間圖形上直接作出線(xiàn)面角的平面角；②等體積法，利用等體積法先求出直線(xiàn)在平面外一點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而求出線(xiàn)面角的平面角；③空間向量法，建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.三、解答題16．（1）已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)，.當(dāng)為何值時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為銳角？（2）已知直線(xiàn).若直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直線(xiàn)的斜率大于零時(shí)傾斜角為銳角即可求解；（2）根據(jù)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限得到直線(xiàn)的斜率和縱截距均大于等于零即可求解.【詳解】解：（1），所以因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為銳角所以解得：所以當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為銳角（2）直線(xiàn)即因?yàn)橹本€(xiàn)不經(jīng)過(guò)第四象限所以，解得所以的取值范圍為.17．如圖，平面平面，四邊形為正方形，是直角三角形，且，E，F(xiàn)，G分別是線(xiàn)段，，的中點(diǎn)(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；(3)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)；(3).【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定可證明平面，進(jìn)而證得面面垂直；（2）先求出的三邊長(zhǎng)，再利用正余弦定理求出的面積，然后根據(jù)等面積法即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作于，可以證得點(diǎn)到平面的距離為，再利用等面積法即可求解.(1)證明：取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是線(xiàn)段，，的中點(diǎn)所以所以、、、四點(diǎn)共面因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，四邊形為正方形所以因?yàn)槭侵苯侨切嗡杂忠驗(yàn)槠矫嫫矫妫痪€(xiàn)為所以平面又平面所以又所以平面又因?yàn)槠矫嫠云矫嫫矫?2)解：在題中圖形里面連接，，，，如圖所示因?yàn)樗倪呅螢檎叫危杂桑?）知平面，平面所以所以因?yàn)镕，G分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)所以在正方形中，由（1）知，，且所以平面又因?yàn)镋，F(xiàn)分別是線(xiàn)段，的中點(diǎn)所以所以平面又平面所以又所以所以在中，，，由余弦定理得：所以所以設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為則，解得：所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.(3)解：在（1）圖中過(guò)點(diǎn)作于，如圖所示由（2）知，平面，且平面所以又因?yàn)樗裕智宜云矫婕袋c(diǎn)到平面的距離為因?yàn)椋瑒t又、分別為、的中點(diǎn)所以所以所以點(diǎn)到平面的距離為.18．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，左焦點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若面積為1，求直線(xiàn)的方程.【答案】（1）（2）【分析】(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，再由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入點(diǎn)坐標(biāo)求出的值，繼而求出橢圓方程(2)聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，求出的表達(dá)式，再運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求出高的表達(dá)式，結(jié)合題意中的面積計(jì)算出的值，繼而得到直線(xiàn)方程【詳解】（1）依題意可得解得，右焦點(diǎn)，，，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，，，由得，則△由△得，則，所以因?yàn)榈降木嚯x，所以得，直線(xiàn)的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系、橢圓中三角形面積問(wèn)題，在求解過(guò)程中需要聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程計(jì)算出結(jié)果，需要一定的計(jì)算量19．直三棱柱中，，E，F(xiàn)分別是，BC的中點(diǎn)，，D為棱上的點(diǎn).(1)證明：；(2)是否存在一點(diǎn)D，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，說(shuō)明點(diǎn)D的位置，若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)存在一點(diǎn)，且為中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用空間向量法證明即可；（2）利用空間向量法分別將平面與平面的法向量表示出來(lái)，再由夾角的余弦值即可求出的位置，進(jìn)而判斷是否符合題意.(1)證明：因?yàn)椋杂忠驗(yàn)橹比庵校宜云矫嬗制矫嫠运浴ⅰ蓛纱怪惫室詾樵c(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題知，所以，，，，，設(shè)，且且即則，所以，又所以所以(2)解：存在一點(diǎn)，且為中點(diǎn)，理由如下由（1）知，平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，所以因?yàn)槠矫媾c平面的夾角的余弦值為所以即解得：或（舍去）所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，符合題意.20．已知圓的圓心為A，點(diǎn)是圓A內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)C是圓A上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與半徑相交于點(diǎn)D.(1)求動(dòng)點(diǎn)D的軌跡E的方程；(2)給定點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與軌跡E相交于M，N兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)P.證明：直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)【答案】(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到點(diǎn)符合橢圓的定義；（2）設(shè)直線(xiàn)方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.(1)解：如圖所示，由題知，圓的圓心為，半徑，因?yàn)樵诰€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，則又所以又半徑所以故動(dòng)點(diǎn)D的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，，則所以動(dòng)點(diǎn)D的軌跡