數學能力與數學思想第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六計算能力理解能力空間想象能力抽象概括能力推證能力解決問題的能力數據處理能力創新能力邏輯思維能力選擇判斷能力第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六A．運用計算的基本法則和性質化簡的能力B．運用數學基本公式和計算方法的能力C．掌握用組合優化的正確次序解題的能力D.能根據要求對數據進行估計和近似計算的能力.運算求解能力是思維能力和運算技能的結合.運算包括對數字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計算求解等.運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六A．知道所給數學專業用語，記號，式子，圖像，表格的含義，并可以運用相應的性質B.掌握并會運用與所給問題相關的數學概念及性質C.掌握教科書中的例題并會解與此類題D.可以把文字敘述轉換為用數學用語，數學公式，記號，式子，圖像，表格表述的數學語言E.可以把用數學用語，數學公式，記號，式子，圖像，表格表述的數學語言轉化成文字敘述的方式。第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六A.能根據條件作出正確的圖形，根據圖形想像出直觀形象；B.能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系；C.能對圖形進行分解、組合；D.會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質.空間想像能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力.主要表現為識圖、畫圖和對圖形的想像能力.識圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關系；畫圖是指將文字語言和符號語言轉化為圖形語言，以及對圖形添加輔助圖形或對圖形進行各種變換；對圖形的想像主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想像能力高層次的標志.第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六抽象是指舍棄事物非本質的屬性，揭示其本質的屬性；概括是指把僅僅屬于某一類對象的共同屬性區分出來的思維過程.抽象和概括是相互聯系的，沒有抽象就不可能有概括，而概括必須在抽象的基礎上得出某一觀點或作出某項結論.抽象概括能力就是從具體的、生動的實例，在抽象概括的過程中，發現研究對象的本質；從給定的大量信息材料中，概括出一些結論，并能應用于解決問題或作出新的判斷.第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六會收集數據、整理數據、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.數據處理能力主要依據統計或統計案例中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定的實際問題.第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六A.發現式的推證能力a. 通過舉，算術，觀察等方法發現解決問題核心原理的能力。b. 通過類推發現解決問題核心原理的能力。B.演繹式的推證能力a.利用數學的概念，原理，法則推出相關的性質并會判別命題的真假。b.理解給出的定義，推出相關的性質的能力c.舉出反例判斷命題真假的能力d.證明能力第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六A.解決數學問題的能力a.掌握相關連的兩個以上的數學概念，原理，法則，會解綜合問題b.會解需思考兩步以上的問題B.解決非完全數學問題的能力a.能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中簡單的數學問題；b.能理解對問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數學問題，建立數學模型；c.應用相關的數學方法解決問題并加以驗證，并能用數學語言正確地表達和說明.應用的主要過程是依據現實的生活背景，提煉相關的數量關系，將現實問題轉化為數學問題，構造數學模型，并加以解決.第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六數學探索能力是在抽象概括能力、推理能力、選擇判斷能力基礎上發展起來的制造性思維能力，探索的過程實質上是一個不斷提出設想，驗證設想，修正和發展設想的過程，在數學中，它表現在提出數學問題，探求數學結論，探索解題途徑，尋找解題規律等一系列有意義的發現活動之中，而數學探索能力就集中地表現為提出設想和進行轉換的本領。

數學探索能力是數學思維能力中最富有創造性的要素，也是最難培養和發展的要素。探索能力強的學生，能迅速地輕易地從一種心理運算轉到另一種心理運算，表現出較強的靈活性，在對思維活動的定向、調節和控制上，有較強的監控能力，對思維過程有較強的自我意識，善于提出問題，敢于大膽猜想。

第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六是指正確、合理思考的能力。即對事物進行觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理的能力,采用科學的邏輯方法,準確而有條理地表達自己思維過程的能力。邏輯思維能力不僅是學好數學必須具備的能力，也是學好其他學科，處理日常生活問題所必須的能力。數學是用數量關系（包括空間形式）反映客觀世界的一門學科，邏輯性很強、很嚴密.第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六選擇、判斷能力是數學創造能力的重要組成部分。選擇、判斷不僅表現為對數學推理的基礎過程及結論正誤的判定，還表現為對數學命題、事實、數學解題思路、方法合理性的估計以及在這個估計的基礎上作出的選擇，判斷能力實際上是思維者對思維過程的自我反饋能力。

具有選擇判斷能力的學生，在判斷選擇中較少受表面非本質的因素的干擾，判斷的準確率較高，判斷迅速，對作出的判斷具有清晰的認識，能區分邏輯判斷和直覺猜測，他們具有明顯的追求最合理的解法，探究最清晰，最簡單同時也是最"優美"的解法的心理傾向。第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六

這是我們現在數學能力的框架，可能隨著工作的進展還需要一些補充，實施方法如下先把這些能力和韓國高考題對號入座對號分成兩種形式第一種，是各個數學題用到了哪幾種數學能力第二種是，在這個能力中尋找具有代表性的題，連接起來如果還有的韓國高考題不能用現有的文件表示出來，就需要對剛才的文件補充，即，補充后可以描述韓國各個高考題最終使我們的“數學能力”的文件與韓國高考真題與韓國高考模擬題，建立對應的關系之后在加入我們自己制作的題這樣，以后涉及程序，按照相應的分類，從分好的部分在選題提供的用戶以上是框架比如計算能力我們在計算能力下，歸類了許多題然后再把計算能力下的題，按難度分組然后根據用戶的要求，從各個分組里面選題提供給顧客第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六

1．學生答題正確率

2．完成每道題目時間

3．每道題自身的難易度第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六【時間：30分鐘】【題數：6道題】【總分：100分】第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六答案【分值：20分；時間：6分鐘】第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六答案【分值：20分；時間：6分鐘】第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六答案【分值：20分；時間：6分鐘】第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六答案【分值：20分；時間：6分鐘】第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六返回第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六返回第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六返回第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六返回第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六能力ABC總分

1

2

3總分測試結果第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六例1、如圖，圖形（一）可以折疊出下面的哪些圖形。（）A、甲B、乙C、甲、乙D、乙、丙E、甲、乙、丙第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六解析：根據圖（一）可以看出與相對，與相對，與相對，所以顯然甲不適合。乙可以展開成滿足圖形（1），丙可以展開成也滿足圖形（1），所以選D第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六例2、如圖有甲、乙兩只螞蟻分別位于一個圓柱形井底部的B、C兩點，在井的上底面點A處有食物。已知井的底面半徑長4m，高8m，點A、B、C所在平面正好平分圓柱，螞蟻甲的速度為40m/h，螞蟻乙的速度為30m/h。螞蟻甲能否比螞蟻乙更快拿到食物？第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六解析：易知螞蟻乙從點C到點A所需時間為

螞蟻甲想要盡快拿到食物就必須找出從點B到點A的最短路線。圓柱的側面展開圖為長方形，如圖∴從點B到點A的最短路線長就是圖中矩形的線段AB的長度

易知AC=8m，BC就是圓柱底面周長的一半2π≈6m

∴AB=10m

∴螞蟻甲從點B到點A所需最短時間為：

，所以螞蟻甲能比螞蟻乙更快拿到食物。

第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六1.對一批編號為1~100，全部開關朝上（開）的燈依次進行以下操作：凡是1的倍數的燈反方向撥一次開關。凡是2的倍數的燈反方向撥一次開關。凡是3的倍數的燈反方向撥一次開關。……以此類推。則最后開關朝下（關）的燈有多少只？①8②9③10④11⑤12解析：對編號為1的燈，共進行過1次操作，該燈開關朝下；對編號為2的燈，共進行過2次操作，該燈開關朝上；第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六對編號為3的燈，共進行過2次操作，該燈開關朝上；對編號為4的燈，共進行過3次操作，該燈開關朝下；……以此類推，可知，編號為的燈，其開關是朝下的，其余的燈開關是朝上的。又當時，，∴最后開關朝下（關）的燈有10個。選③。第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六2.某天一艘海盜船被天上砸下來的一塊石頭給擊中了，4個倒霉的家伙只好逃難到一個孤島，發現島上孤零零的，幸好有棵椰子樹，還有一只猴子。大家把椰子全部采摘下來放在一起，但是天已經很晚了，所以大家就決定先去睡覺。晚上有個家伙悄悄地起床，悄悄地將椰子分成4份，結果發現多一個椰子，順手就給了幸運的猴子，然后又悄悄地藏了一份，然后把剩下的椰子混在一起放回原處，最后還是悄悄地回去睡覺了。過了一會，另一個家伙也悄悄地起床，悄悄地將剩下的椰子分成4份，結果發現多了一個，順手又給了幸運的猴子，然后又悄悄地藏了一份，把剩下的椰子混在一起放回原處，最后還是悄悄地回去睡覺了。又過了一會……

又過了一會……

總之，4個家伙都起床過，都做了一樣的事情。早上大家都起床，各自心懷鬼胎地分椰子了，這個猴子還不是一般的幸運，因為這次把椰子分成4份后居然還是多一個椰子，只好又給它了。當這堆椰子的數量最少的時候，4個人中分得的椰子最少的那個人得到了多少個椰子？①186②187③188④189⑤190第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六解析：設椰子的總數為n-3個，天亮后每人分到的個數為a，則1/4×3/4×3/4×3/4×3/4×n=a，81/1024×n=a，因為a為整數，所以n的最小值為1024，即這堆椰子最少有1024-3=1021個。所以整個分椰子的過程如下：1021=255×4+1，255×3=765=191×4+1，191×3=573=143×4+1，143×3=429=107×4+1，107×3=321=80×4+1，所以，分得的椰子最少的那個人得到了椰子總數為107+80=187個。選②。第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六3.有6個不同國籍的人，他們的名字分別為A、B、C、D、E、F，他們的國籍分別是美國、德國、英國、法國、俄羅斯、意大利（名字順序和國籍順序不一定一致）?，F已知：（1）A和美國人是醫生；（2）E和俄羅斯人是教師；（3）C和德國人是工程師；（4）B和F曾經當過兵，但德國人從來沒有當過兵；（5）法國人比A年齡大，意大利人比C年齡大；（6）B和美國人下周要到英國去旅行，C和法國人下周要到瑞士去度假。D的國籍是哪一個？①美國②德國③法國④俄羅斯⑤意大利第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六解析：由（3）知道C不是德國人，由（5）知道C不是意大利人，由（6）知道C不是美國人也不是法國人。又因為C是工程師，而根據（2）知道C不是俄國人，所以C是英國人。根據（1）知道A不是美國人，根據（2）和（3）知道A不是俄羅斯人也不是德國人。根據（5）知道A不是法國人，所以就A應該是意大利人。根據（6）知道B不是美國人也不是法國人，根據（4）知道B不是德國人，所以B應該是俄羅斯人。根據（2）、（1）、（3）知道E不是美國人也不是德國人，那么E就應該是法國人。根據（4）知道F不是德國人，所以F應該是美國人。最后，D就是德國人。選②。第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六4.甲、乙、丙是某教授的3個學生，三人都足夠聰明。教授發給他們3個數字（自然數，沒有0），每人1個數字，并告訴他們這3個數字之和是14。甲馬上說：“我知道乙和丙的數字是不相等的！”乙接著說：“我早就知道我們3個人的數字都不相等了！”丙聽到這里馬上說：“哈哈，我知道我們每個人呢的數字都是幾了！”那么這3個數字中最大的數是多少？①4②5③6④7⑤8第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六解析：甲說：“我知道乙和丙的數字是不相等的！”所以，甲的數字是單數。只有這樣才能確定乙和丙的數字和是個單數，所以肯定不相等。乙說：“我早就知道我們3個人的數字都不相等了！”說明乙是大于6的單數。因為只有他的數字式大于6的單數，才能確定甲的單數和他的不相等。而且一定比自己的小，否則和會超過14。這樣，丙的數字就只能是雙數了。又丙說他知道每個人手中的數字了，那他根據自己手上的數字知道甲乙的數字和，又知道其中一個大于6的單數，且另一個也是單數，可知這個和是唯一的，那就是7+1=8。如果甲乙的數字之和大于8，比如是10，那么甲乙的數字就有兩種情況，9+1或7+3。這樣的話，丙就不可能知道甲乙手中的數字了。所以甲乙丙手上的數字分為是1，7，6，即這3個數字中最大的數字為7。選④。第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六函數思想方程思想數形結合思想分類討論思想整體思想轉化思想隱含條件思想類比思想建模思想化歸思想歸納推理思想參數思想符號思想演繹思想第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題的思想。第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六

“數無形，少直觀，形無數，難入微”，利用“數形結合”可使所要研究的問題化難為易，化繁為簡。把代數和幾何相結合，例如對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答，這種方法在解析幾何里最常用。例如求

的最小值，就可以把它放在坐標系中，把它轉化成求一個點到(0,1)、(1,0)、(0,0)、(1,1)四點的距離和的最小值，就可以求出它的最小值。第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六當一個問題因為某種量的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量的各種情況進行分類討論。比如解不等式

的時候，就要討論

的取值情況。第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。整體思想方法在代數式的化簡與求值、解方程（組）、幾何解證等方面都有廣泛的應用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題。三角函數，幾何變換，因式分解，解析幾何，微積分，乃至古代數學的尺規作圖等數學理論無不滲透著轉化的思想。常見的轉化方式有：一般特殊轉化，等價轉化，復雜簡單轉化，數形轉化，構造轉化，聯想轉化，類比轉化等。第45頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六沒有明文表述出來，但是根據已有的明文表述可以推斷出來的條件，或者是沒有明文表述，但是該條件是一個常規或者真理。第46頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。第47頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六為了使一個實際現象描述得更具科學性，邏輯性，客觀性和可重復性，采用一種普遍認為比較嚴格的語言來描述各種現象，這種語言就是數學。使用數學語言描述的事物就稱為數學模型。第48頁，共57頁，2023年，2月20日，星期六化歸思想就是化未知為已知，化繁為簡，化難為易。如將分式方程化為整式方程，將代數問題化為幾何問題，將四邊形問題轉化為三角形問題等。實現這種轉化的方法有：待定系數法、配方法、整體代入法以及化動為靜、由抽