高考導數大題必刷熱點題型1．（2020?撫順模擬）已知函數．（1）若在處取得極值，求的單調區間；（2）若在，上沒有零點，求的取值范圍．2．（2020?鎮海區校級模擬）已知實數，設函數．（Ⅰ）當，，，時，證明：；（Ⅱ）若有兩個極值點，，證明：．3．（2020?宣城二模）已知函數，．（1）當時，求曲線在，處的切線方程；（2）若時，恒成立，求的取值范圍．4．（2020春?東海縣期中）已知函數．（1）求函數的極值；（2）求函數在區間，上的最大值．5．（2020?大興區一模）已知函數．（Ⅰ）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；（Ⅱ）求證：函數有且只有一個零點．6．（2020春?海淀區校級期中）已知函數，其中，．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）討論函數的極值點的個數，并分別指出極大值點的個數和極小值點的個數；（3）若函數有兩個極值點，，證明：．7．（2020春?沙坪壩區校級期中）已知函數，．（1）若的切線過，求該切線方程；（2）討論與圖象的交點個數．8．（2020春?浙江期中）已知函數的圖象經過坐標原點，且在處取得極大值．（1）求實數的取值范圍；（2）若方程恰好有兩個不同的根，求的解析式．9．（2020?徐州模擬）如圖，某生態農莊內有一直角梯形區域，，，百米，百米．該區域內原有道路，現新修一條直道（寬度忽略不計），點在道路上（異于，兩點），，．（1）用表示直道的長度；（2）計劃在區域內修建健身廣場，在區域內種植花草．已知修建健身廣場的成本為每平方百米4萬元，種植花草的成本為每平方百米2萬元，新建道路的成本為每百米4萬元，求以上三項費用總和的最小值（單位：萬元）．10．（2020?東湖區校級模擬）已知函數．（1）當時，若函數在上有兩個零點，求的取值范圍；（2）當時，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由．11．（2020?榆林三模）已知是函數的極值點．（1）求的最小值；（2）設函數，若對任意，存在，使得，求實數的取值范圍．12．（2020?榆林三模）已知函數．（1）當時，求的最小值；（2）若對存在，使得，求實數的取值范圍．13．（2020?撫順模擬）已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）討論在區間上的零點個數．14．（2020?深圳一模）已知函數．（1）當時，求曲線在點，處的切線方程；（2）當時，求證：對任意的，，．15．（2020?江西模擬）設函數．（1）試討論函數的單調性；（2）設，記，當時，若函數與函數有兩個不同交點，，，，設線段的中點為，試問是否為的根？說明理由．16．（2020?甘肅模擬）函數，且．（1）若，判斷函數的單調性；（2）當時，求證：的圖象恒在函數的圖象的下方．17．（2020?全國Ⅱ卷模擬）已知：僅有1個零點．（1）求實數的取值范圍；（2）證明：．18．（2020春?濱海新區期中）已知函數，．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若，，且，使得成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若函數有兩個不同的極值點，，求證：．19．（2020?廈門一模）已知函數．（1）當時，求函數的極值點；（2）若在區間，內有且僅有4個零點的充要條件為，求證：．20．（2020?山東模擬）已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，求函數在，上的零點個數．21．（2020?臺州模擬）已知函數，．（Ⅰ）求證：存在唯一的實數，使得直線與曲線相切；（Ⅱ）若，，，，求證：．（注為自然對數的底數．、22．（2020?宿遷模擬）某公司準備設計一個精美的心形巧克力盒子，它是由半圓、半圓和正方形組成的，且．設計人員想在心形盒子表面上設計一個矩形的標簽，標簽的其中兩個頂點，在上，另外兩個頂點，在上，分別是，的中點）設的中點為，，矩形的面積為．（1）寫出關于的函數關系式；（2）當為何值時，矩形的面積最大？23．（2020?合肥模擬）已知函數．（1）當時，求證：；（2）若函數，求證：函數存在極小值．24．（2020?鹽城三模）設函數，，其中恒不為0．（1）設，求函數在處的切線方程；（2）若是函數與的公共極值點，求證：存在且唯一；（3）設，是否存在實數，，使得在上恒成立？若存在，請求出實數，滿足的條件；若不存在，請說明理由．25．（2020?湖北模擬）已知函數，．（1）若，求曲線在點，處的切線方程；（2）若，求的取值范圍．26．（2020?武漢模擬）已知函數，（1）求的單調區間，（2）若關于不等式對任意和正數恒成立，求的最小值．27．（2020?肇慶三模）設函數，為自然對數的底數．（1）求的單調區間：（2）若成立，求正實數的取值范圍．28．（2020?濟寧模擬）已知兩個函數．（Ⅰ）當時，求在區間，上的最大值；（Ⅱ）求證：對任意，不等式都成立．29．（2020?和平區校級二模）已知函數，，若曲線與曲線都過點．且在點處有相同的切線．（Ⅰ）求切線的方程；（Ⅱ）若關于的不等式對任意，恒成立，求實數的取值范圍．30．（2020?嘉興模擬）定義兩個函數的關系：函數，的定義域分別為，，若對任意的，總存在，使得，我們就稱函數為的“子函數”．已知函數，，，．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若為的一個“子函數”，求的最小值．

參考答案與試題解析1．（2020?撫順模擬）已知函數．（1）若在處取得極值，求的單調區間；（2）若在，上沒有零點，求的取值范圍．【分析】（1）求出原函數的導函數，由（1）求得，代入導函數的解析式，再由導函數小于0求解減區間，導函數大于0求解增區間；（2），得，把在，上沒有零點轉化為在，上滿足或．結合（1），只需證在，上滿足．對分類討論可得在，上的單調性，求出最小值，由最小值大于0可得的取值范圍．【解答】解：（1）函數的定義域為，且．在處取得極值，（1），得，經驗證符合題意；．當時，，當時，．的單調減區間為，單調增區間為；（2），則．要使在，上沒有零點，只需在，上滿足或．又（1），只需證在，上滿足．①當時，在，上單調遞減，則，解得，與矛盾；②當時，在，上單調遞減，在，上單調遞增，由，得，；③當時，，在，上單調遞增，，滿足題意．綜上，的取值范圍是．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數零點的判定，考查分類討論的數學思想方法，是中檔題．2．（2020?鎮海區校級模擬）已知實數，設函數．（Ⅰ）當，，，時，證明：；（Ⅱ）若有兩個極值點，，證明：．【分析】（Ⅰ）依題意，即證，換元令，則即證，令，又令二次函數的對稱軸，則利用導數可知在，上遞增，等價于證明（1），即證，再令，利用導數判斷函數的單調性，進而求得其大于等于0恒成立，由此得證；（Ⅱ）根據題意，可求得，，，，構造函數，可證，令，則，令，利用導數可知，即可得證．【解答】證明：（Ⅰ），即為，亦即，令，則，令，令對稱軸，則，時，，時，，，時，，在上遞增，在，上遞減，且，在，上遞增，故只需證（1），即證，即證，令，則，在上遞減，而（1），當時，，當時，，即時，，當時，，即成立，當，，時，成立；（Ⅱ），有兩個極值點，，，，令，則，易知，當時，，當時，，在上遞減，在上遞增，，故，即，由，可得，，則，，則，，由，得，下證，即證，即證，，等價于證，令，則，故，，即，令，則，令，則，在上遞減，，即．【點評】本題考查導數的綜合運用，涉及了變換主元法，分析法，消元法，換元法，構造法等常見數學方法的運用，培養了轉化思想，放縮思想等數學思想的建立，鍛煉了學生運算化簡，邏輯推理等數學能力，綜合性強，難度大．3．（2020?宣城二模）已知函數，．（1）當時，求曲線在，處的切線方程；（2）若時，恒成立，求的取值范圍．【分析】（1）把代入函數解析式，求導函數，再求出與的值，利用直線方程的點斜式得答案；（2）由，得，即．設，可得令，可得△，分，，三類分析求解滿足題意的的取值范圍．【解答】解：（1）當時，，．則，又，曲線在，處的切線方程為；（2）由，得，即．設，則．令，△．①若△，即，，當時，在上單調遞增，而，時，恒成立，滿足題意；②若，，當時，在上單調遞增，而，時，恒成立，滿足題意；③若，當時，由，解得，．在上單調遞減，則，不滿足題意．綜上所述，的取值范圍是，．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數求函數的最值，考查分類討論的數學思想方法，是中檔題．4．（2020春?東海縣期中）已知函數．（1）求函數的極值；（2）求函數在區間，上的最大值．【分析】（1）求出原函數的導函數，求出導函數的零點，分與可得導函數在不同區間內的符號，得到函數的單調性，從而求得函數的極值；（2）當時，由（1）知，在，上單調遞減，故的最大值；當時，，由（1）知，在，上單調遞減，的最大值；當時，由（1）知，在，上單調遞減，在，上單調遞增．結合（1），得的最大值為；當時，由（1）知，在，上單調遞減，在，上單調遞增．結合（1），知的最大值為（1）．【解答】解：（1），．由，解得．①當時，若，可得，若，可得，在上單調遞減，在上單調遞增，則當時，函數取得極小值；②當時，若，可得，若，可得，在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，函數求得極大值．綜上，若，當時，函數取得極小值；若，當時，函數取得極大值．（2）當時，由（1）知，在，上是單調減函數，而，，，在，上單調遞減，故的最大值；當時，，由（1）知，為，上的單調減函數，而，，，在，上單調遞減，故的最大值；當時，由（1）知，在，上單調遞減，在，上單調遞增．又滿足（1），故的最大值為；當時，由（1）知，在，上單調遞減，在，上單調遞增．又滿足（1），故的最大值為（1）．綜上，．【點評】本題考查利用導數求函數的極值與最值，考查分類討論的數學思想方法，考查邏輯思維能力與推理論證能力，是中檔題．5．（2020?大興區一模）已知函數．（Ⅰ）若，求曲線在點，（1）處的切線方程；（Ⅱ）求證：函數有且只有一個零點．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，然后分別求出時的函數值、導數值，利用點斜式即可求切線方程；（Ⅱ）函數有且只有一個零點，可轉化為在上只有一個零點，可通過研究的單調性、極值的符號結合零點存在性定理求解．【解答】解：（Ⅰ）當時，函數，，所以，，，所以函數在點，（1）處的切線方程是．（Ⅱ）函數的定義域為，要使函數有且只有一個零點，只需方程有且只有一個根，即只需關于的方程在上有且只有一個解．設函數，則，令，則，由，得．10單調遞減極小值單調遞增由于（1），所以，所以在上單調遞增，又（1），，①當時，（1），函數在有且只有一個零點，②當時，由于，所以存在唯一零點．綜上所述，對任意的函數有且只有一個零點．【點評】本題考查了函數的零點的判斷方法，導數在研究函數單調性、極值中的應用．同時考查學生利用函數與方程思想、轉化與化歸思想解決問題的能力，同時考查了學生的運算能力．屬于中檔題．6．（2020春?海淀區校級期中）已知函數，其中，．（1）當時，求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）討論函數的極值點的個數，并分別指出極大值點的個數和極小值點的個數；（3）若函數有兩個極值點，，證明：．【分析】（1）當時，，求出導數，求出切線的斜率，切點坐標，然后求解切線方程．（2）因為，通過①當時，②當時，③當時，判斷導函數的符號，判斷函數的單調性，求解函數的極值．（3）函數有兩個極值點，，，，是方程兩個根．利用韋達定理，轉化求解，令，利用函數的導數，通過函數的單調性，推出即可．【解答】解：（1）當時，，，（1），又因為（1），所以切線方程為：．（2）因為，①當時，令，解得，0極大值函數僅有1個極大值點，沒有極小值點；②當時，與同正負，又因為△，所以在上存在兩個不相等的根，，又，，所以，，不妨設，，，00極大值極小值函數恰有2個極值點，它們是1個極大值點和1個極小值點；③當時，恒成立，則函數在上單調遞增，所以函數沒有極值點．（3）函數有兩個極值點，，由（2）可知，并且，是方程兩個根．，．令，恒成立，在上單調遞增，（1）成立．即．【點評】本題考查函數的導數的應用，考查切線方程的求法，函數的極值以及函數的最值的求法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，是難題．7．（2020春?沙坪壩區校級期中）已知函數，．（1）若的切線過，求該切線方程；（2）討論與圖象的交點個數．【分析】（1）求得的導數，設切點為，，運用導數的幾何意義和兩點的斜率公式，求得切點，可得切線的斜率，進而得到所求切線的方程；（2）設，即討論的零點個數．求得的導數，分別討論，，，結合函數的零點定義和零點存在定理，以及函數的單調性、極值，可得所求零點個數．【解答】解：（1）的導數為，設切點為，，則，化簡得，所以，，切線方程為；（2）設，即討論的零點個數．，時，只有一個零點；時，在，，，，時，均，此時，有兩個零點；時，時，，時，，由得，，若時，在上遞增，只有一個零點；若時，，，極大值、極小值均小于0，從而也只有一個零點．綜上，時，與的圖象只有一個交點；時，有兩個交點．【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程和單調性、極值，考查函數的零點個數的判斷，主要考查分類討論思想和方程思想，化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題．8．（2020春?浙江期中）已知函數的圖象經過坐標原點，且在處取得極大值．（1）求實數的取值范圍；（2）若方程恰好有兩個不同的根，求的解析式．【分析】（1）先通過求出，再對函數求導，令（1），可得，將其代入中，令，則或，由于在取得最大值，所以，解之即可得解；（2）通過列表、隨的變化情況可知，函數的單調區間和極值，若方程恰好有兩個不同的根，則使其極小值等于，求出的值即可得解．【解答】解：（1）函數的圖象經過坐標原點，，，對函數求導，有，（1），，，令，則或，當時，取得極大值，，解得，故實數的取值范圍是．（2）、隨的變換情況如下表，100單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增極小值．方程恰好有兩個不同的根，，解得，．故的解析式為．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性和極值問題，考查學生的分析能力和運算能力，屬于中檔題．9．（2020?徐州模擬）如圖，某生態農莊內有一直角梯形區域，，，百米，百米．該區域內原有道路，現新修一條直道（寬度忽略不計），點在道路上（異于，兩點），，．（1）用表示直道的長度；（2）計劃在區域內修建健身廣場，在區域內種植花草．已知修建健身廣場的成本為每平方百米4萬元，種植花草的成本為每平方百米2萬元，新建道路的成本為每百米4萬元，求以上三項費用總和的最小值（單位：萬元）．【分析】（1）根據解三角形和正弦定理可得，，（2）分別求出，，可得，設三項費用之和為，可得，，利用導數求出最值．【解答】解：（1）過點作，垂足為，在中，，，，，在中，，，，，，，，在中，由正弦定理可得，，；（2）在中，由正弦定理可得，，，又，，設三項費用之和為，則，，，令，解得，當，時，，函數單調遞減，當，時，，函數單調遞增，，答：三項費用總和的最小值為萬元．【點評】本題考查了函數解析式的求解，解三角形，函數最值的計算，屬于中檔題．10．（2020?東湖區校級模擬）已知函數．（1）當時，若函數在上有兩個零點，求的取值范圍；（2）當時，是否存在，使得不等式恒成立？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將代入，求導，當時顯然不成立，當時，利用零點存在性定理可得出結論；（2）分析可知（1）是函數的最大值，也是函數的極大值，故（1），，而當時，利用導數可知恒成立，進而得出結論．【解答】解：（1）當時，，，當時，，在上單調遞增，不合題意，舍去；當時，令，解得，進而在上單調遞增，在上單調遞減，依題意有，，解得，又（1），且，在上單調遞增，進而由零點存在性定理可知，在上存在唯一零點，下先證恒成立，令，則，易得在上單減，在上單增，進而（e），，，，若，得，，，即當時，取，有，即存在，使得，進而由零點存在性定理可知在上存在唯一零點．綜上可得，；（2）當時，存在，使得不等式恒成立，證明如下：當時，設，依題意，恒成立，又（1），進而條件轉化為不等式（1）對任意恒成立，（1）是函數的最大值，也是函數的極大值，故（1），，又當時，，令可得，令可得，故在上遞增，在上遞減，（1），即恒成立，綜上，存在且的取值集合為．【點評】本題考查函數與導數的綜合運用，考查利用導數研究函數的零點，不等式的恒成立問題，考查運算求解能力，屬于較難題目．11．（2020?榆林三模）已知是函數的極值點．（1）求的最小值；（2）設函數，若對任意，存在，使得，求實數的取值范圍．【分析】（1），．．根據是函數的極值點．可得，解得．進而得出的最小值．（2）對任意，存在，使得對，，．由（1）可得：．對分類討論利用單調性即可得出．【解答】解：（1），．．是函數的極值點．，解得．可得時函數取得進極小值即最小值．，．的最小值為：．（2）對任意，存在，使得對，，．由（1）可得：．①時，，，不適合題意，舍去．②若，，滿足，適合題意．③若，，可得時，，函數單調遞減；時，，函數單調遞增．時，函數取得極小值即最小值，（1）．，解得．綜上可得實數的取值范圍是，，．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、方程與不等式的解法、等價轉化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12．（2020?榆林三模）已知函數．（1）當時，求的最小值；（2）若對存在，使得，求實數的取值范圍．【分析】（1），由，可得時，；時，．即可得出單調性．（2）對分類討論：若，則，容易判斷出結論．若，可得．若，由（1）可知：函數的最小值為（1），只要，解得范圍即可得出．【解答】解：（1），，時，；時，．函數在上單調遞增，在上單調遞減．時，函數取得極小值即最小值（1）．（2）對分類討論：若，則，不存在，使得成立．若，則，滿足題意．若，由（1）可知：函數的最小值為（1），，解得．綜上可得：實數的取值范圍是，，．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13．（2020?撫順模擬）已知函數．（1）當時，求曲線在處的切線方程；（2）討論在區間上的零點個數．【分析】（1）對函數求導，然后分別求出處的函數值、導數值，利用點斜式求直線方程；（2）分離參數，然后將問題轉化為：與函數的圖象交點個數的問題，利用導數研究的單調性、極值、端點處函數值的情況即可．【解答】解：（1）因為，所以，所以，所以，，故所求切線方程為．（2）令，得，設，則，令，得；令，得或，則在和上單調遞減，在上單調遞增．因為，，，．當或時，無解，即在區間上沒有零點；當或或時，有且僅有一個實解，即在區間上有且僅有一個零點；當或時，有兩解，即在區間上有兩個零點．綜上，當或時，在區間上沒有零點；當或或時，在區間上有且僅有一個零點；當或時，在區間上有兩個零點．【點評】本題考查導數的概念與應用，函數的零點問題等，要注意轉化思想、分類討論、函數與方程思想的應用，同時考查學生的邏輯推理、數學運算等核心素養．屬于中檔題．14．（2020?深圳一模）已知函數．（1）當時，求曲線在點，處的切線方程；（2）當時，求證：對任意的，，．【分析】（1）根據導數和的幾何意義，即可求出切線方程；（2）根據導數和函數單調性及最值，即可求出．【解答】解：（1）當時，，則，切線的斜率，，曲線在點，處的切線方程為，即．證明：（2）當時，，當，時，，則，，，在，上恒成立，在，上單調遞增，（2），故對任意的，，．【點評】本題考查了導數和幾何意義和導數和函數的最值的關系，考查了運算求解能力，轉化與化歸能力，屬于中檔題．15．（2020?江西模擬）設函數．（1）試討論函數的單調性；（2）設，記，當時，若函數與函數有兩個不同交點，，，，設線段的中點為，試問是否為的根？說明理由．【分析】（1）求導可得，然后分，及分類討論即可得出單調性；（2）假設，則只需證明，而，則進一步轉化為證明，構造函數，利用導數可知，，由此假設不成立，即不是的根．【解答】解：（1）由可知，，因為函數的定義域為，所以①若時，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增；②若時，則在恒成立，函數單調遞增；③若，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增；（2）證明：由題可知，，，當時，，當時，，且，欲證，只需證明，設，是方程的兩個不相等的實根，不妨設，則，兩式相減并整理得，從而，故只需證明，即，式可轉化為，即，因為，所以，不妨令，即證成立，記，則，當且僅當時等號成立，在上單調遞增，又（1），，，故，即不成立，故不是的根．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，最值以及函數的零點問題，考查分類討論思想以及推理論證能力，運算求解能力，屬于中檔偏上題目．16．（2020?甘肅模擬）函數，且．（1）若，判斷函數的單調性；（2）當時，求證：的圖象恒在函數的圖象的下方．【分析】（1）直接對函數求導，然后判斷導數在定義域內的符號；（2）只需要證明恒成立即可，然后求的單調性、極值以及最大值即可．【解答】解：（1）當時，，．，當或時，；當，時，，所以的減區間為，增區間為，．（2）令，．，由得，由得，所以在上遞增，在上遞減．故（1），又因為，所以恒成立，即當時，的圖象恒在函數的圖象的下方．【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性、最值以及不等式恒成立問題，同時考查學生運用方程思想、轉化思想的解題意識以及運算能力和邏輯推理能力．屬于中檔題．17．（2020?全國Ⅱ卷模擬）已知：僅有1個零點．（1）求實數的取值范圍；（2）證明：．【分析】（1）求出的導數，對進行分類討論，判斷導函數的符號，判斷函數單調性，利用零點存在性定理，判斷是否為符合題意的的范圍即可；（2）將不等式的左邊可變形為，構造函數，利用導數證明，由（1）可得不等式右邊有，利用放縮法證明原不等式成立即可，在放縮過程中需要注意等號成立的條件．【解答】解：（1），定義域為，，，當時，，為增函數，而，僅有一個零點，滿足題意；當時，令，解得，令，解得，在上，單調遞減，在上，單調遞增，，①當，即時，，當，，時，，此時僅有一個零點，滿足題意；②當，即時，，在上，單調遞增，，有一個零點，，在上，單調遞減，而，由零點存在性定理可得在上也有一個零點，不滿足題意；③當，即時，在上，單調遞減，，有一個零點，，在上，單調遞增，由①值，，，即，，，由零點存在性定理可得在也有一個零點，不滿足題意；綜上所述，實數的取值范圍為，；（2）證明：，令，則，令，則，即在上單調遞增，又，在有且僅有一個零點，設為，，則，即，，的最小值為，即，當且僅當時取等號，又由（1）知，，當且僅當時取等號，可得，而以上兩式不同時取等，故．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性以及零點存在性定理，考查了利用導數證明不等式以及放縮法在不等式證明中的應用，考查了分類討論的思想，屬于較難題．18．（2020春?濱海新區期中）已知函數，．（Ⅰ）求函數的單調區間；（Ⅱ）若，，且，使得成立，求的取值范圍；（Ⅲ）若函數有兩個不同的極值點，，求證：．【分析】（Ⅰ）研究函數導數的符號，然后確定原函數的單調性；（Ⅱ）要滿足題意，只需函數在內有增有減，即存在極值點，則問題轉化為函數的導數在內存在變號根即可；（Ⅲ）先求出的兩個極值點，然后對兩個極值點的函數值結合單調性作比較來證明結論．【解答】解：（Ⅰ），，當，，時，，的增區間是，；當時，，所以的減區間是．（Ⅱ）依題意，函數在上不是單調函數，因為是連續函數，所以在上需有極值，由于，即在內有變號根，令，顯然該函數在上遞增，故需，即，解得．所以的范圍是．（Ⅲ），設方程的兩個不等實根是，，則首先滿足△，即：．又由解得，，此時，．隨著的變化，，的變化如下：，，00遞增極大值遞減極小值遞增所以是函數的極大值點，是的極小值點．所以是極大值，是極小值．，又因為，所以．所以．【點評】本題考查導數的綜合運用，即利用導數研究函數的單調性、極值以及不等式問題．同時考查學生的邏輯推理能力、數學運算能力等，屬于較難的題目．19．（2020?廈門一模）已知函數．（1）當時，求函數的極值點；（2）若在區間，內有且僅有4個零點的充要條件為，求證：．【分析】（1）將代入，可得，，則在上單調遞增，又，則易得函數的單調性情況，進而求得極值點；（2）依題意，等價于，，令，求導可知在單調遞減，在單調遞增，而為偶函數，故只需函數與在上有兩個交點，由，接下來估計的范圍，可得，由此即可得證．【解答】解：（1），，，，在上單調遞增，又，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，是函數的極小值點，無極大值點；（2）證明：當時，，故等價于，，令，則，①當時，，單調遞減，當時，，，②當時，令，則，單調遞減，又，故存在，使得，且當時，，，單調遞減，當，時，，，單調遞增；③當時，，單調遞增；綜上在單調遞減，在單調遞增，由于為偶函數，只需函數與在上有兩個交點，，，，，以下估計的范圍：，，，又，，，，，結論得證．【點評】本題考查函數的單調性，導數及其應用，不等式等基礎知識，考查推理論證能力，運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想等，屬于較難題目．20．（2020?山東模擬）已知函數．（1）討論函數的單調性；（2）當時，求函數在，上的零點個數．【分析】（1）先求出導函數，再對分情況討論，利用導函數的正負即可得到函數的單調性；（2）由已知得，，，對的范圍分情況討論，分別討論函數的零點個數，從而得到在，上的零點個數為2個．【解答】解：（1）由已知得函數的定義域為，，①當時，因為，所以在上單調遞增，②當時，令，得；令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，綜上所述，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（2）由已知得，，，則，①當時，因為，所以在，上單調遞減，所以，所以在，上無零點，②當時，因為單調遞增，且，，所以存在，使得，當時，；當時，，所以在，上單調遞減，且，所以，又因為，所以，所以在，上存在一個零點，所以在，上有兩個零點，③當，時，，所以在，上單調遞增，因為，所以在，上無零點，綜上所述，在，上的零點個數為2個．【點評】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，以及利用導數研究函數的零點，是中檔題．21．（2020?臺州模擬）已知函數，．（Ⅰ）求證：存在唯一的實數，使得直線與曲線相切；（Ⅱ）若，，，，求證：．（注為自然對數的底數．、【分析】（Ⅰ）由導數的幾何意義可知，函數在點，處的切線為，依題意，，則，則，設，對函數求導后，可知在單調遞增，結合零點存在性定理可知，有唯一零點，即有唯一解，故也只有唯一解，即得證；（Ⅱ）要證，即證，變換主元令（a），則（a）是一次函數，故只需證明，同時注意到對于同一，，（1）（2），所以只要證明，接下來只需分別證明①②成立即可．【解答】證明：（Ⅰ）由知，在，處的切線為，當該直線為時，可得，，故，令，則當時，，在單調遞增，而（1），（2），由零點存在性定理可知，存在唯一的實數，使得，相應的也是唯一的，即存在唯一的實數，使得直線與曲線相切；（Ⅱ）要證，即證，令（a），對于確定的，（a）是一次函數，只需證明，注意到對于同一，，（1）（2），所以只要證明，先證明①：記（1），則，令，由得，由此可知在區間，遞減，在，遞增，又因為，，（2），在區間，上存在唯一實數，使得，故在區間，，遞減，在區間，，遞增，于是，①得證；再證明②：記（2），當，時，利用不等式得；當，時，利用不等式得，于是，其中二次函數開口向上，對稱軸為，當，時，有最小值為，（2），；綜上，不等式①②均成立，，當，時，對任意，，總有，即得證．【點評】本題考查導數的綜合運用，考查了轉化思想，變換主元思想，函數與方程思想等，考查邏輯推理能力及運算求解能力，掌握常見不等式，能提高解題效率，平時應多總結歸納，此題屬于難題．22．（2020?宿遷模擬）某公司準備設計一個精美的心形巧克力盒子，它是由半圓、半圓和正方形組成的，且．設計人員想在心形盒子表面上設計一個矩形的標簽，標簽的其中兩個頂點，在上，另外兩個頂點，在上，分別是，的中點）設的中點為，，矩形的面積為．（1）寫出關于的函數關系式；（2）當為何值時，矩形的面積最大？【分析】（1）依題意，可得，，則，；（2）由于恒成立，故當時，．【解答】解：（1）由題意知，（2分），，（4分）則，即，．（6分）（2）（8分）因為，所以，所以，（10分）故當時，恒成立，所以在上單調遞增，（12分）故當時，．答：當為時，矩形的面積最大，最大值為64．（14分）【點評】本題考查利用導數研究函數的最值，考查三角函數恒等變換及余弦函數的性質，考查運算求解能力，屬于中檔題．23．（2020?合肥模擬）已知函數．（1）當時，求證：；（2）若函數，求證：函數存在極小值．【分析】（1）求導可知，由此函數在上單調遞減，進而得證；（2），求導，再令，可知導函數在上單調遞增，且，使得，進而得到函數在，上單調遞減，在上單調遞增，由此求得函數的極小值．【解答】證明：（1）依題意，，因為，且，故，故函數在上單調遞減，故．（2）依題意，，，令，則；而，可知當時，，故函數在上單調遞增，故當時，；當時，函數單調遞增，而，又，故，使得，故，，使得，即函數單調遞增，即單調遞增；故當，時，，故函數在，上單調遞減，在上單調遞增，故當時，函數有極小值．【點評】本題考查利用導數研究函數的性質，考查推理論證能力以及函數與方程思想，屬于中檔題．24．（2020?鹽城三模）設函數，，其中恒不為0．（1）設，求函數在處的切線方程；（2）若是函數與的公共極值點，求證：存在且唯一；（3）設，是否存在實數，，使得在上恒成立？若存在，請求出實數，滿足的條件；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用導數的幾何意義，即可求出函數在處的切線方程；（2）先求出導函數和，依題意，構造函數，，則是的零點，利用導數得到函數的零點存在且唯一；（3）先求出導函數和，記，，對，的值分情況討論，分別分析導函數和的符號即可．【解答】解：（1）因為，所以，，（1），又（1），函數在處的切線方程為，即；（2）因為，所以，又，所以，是函數與的公共極值點，，，即，，，，令，，則是的零點，，函數在上單調遞增，所以函數至多有一個零點，又（1），（e），且函數在上連續不間斷，由零點存在性定理可知，函數的零點存在且唯一；（3）因為，由（2）得，，記，，①當時，，，若，則，此時，不符合題意（舍去）；若，與符號相反，此時，滿足題意，②當時，若，則，若，當時，則，由，得，所以，所以，1，時，，，此時函數與，，不符合題意（舍去），若，則，由，得，所以，所以，時，，，此時函數與，，不符合題意（舍去），③當時，若，則，若，則，由，得，所以，所以，時，，，此時函數與，，不符合題意（舍去），若，當時，則，由，得，所以，1，時，，，此時函數與，，不符合題意（舍去），綜上所述，當且時，函數與滿足在上恒成立．【點評】本題主要考查了利用導數研究曲線上某點處的切線方程，以及利用導數研究函數的極值，是中檔題．25．（2020?湖北模擬）已知函數，．（1）若，求曲線在點，處的切線方程；（2）若，求的取值范圍．【分析】（1）先求導，根據導數的幾何意義即可求出切線方程；（2）先判斷函數的奇偶性，再根據導數和函數最值的關系即可求出的范圍，需要分類討論．【解答】解：（1）若時，，則，斜率，，曲線在點，處的切線方程為，即．（2），為偶函數，，當時，，，，令，，①當時，，在，上單調遞增，，即，在，上單調遞增，，滿足條件，②當時，，顯然不滿足條件，③當時，若，令，解得，存在，使得當，，在上單調遞減，即，即，在上單調遞減，即，所以不滿足條件，綜上所述的取值范圍為，．【點評】本題考查了曲線的切線，函數的單調性與極值，函數導數的綜合應用，考查學生的推理論證能力，抽象概括能力，考查了化歸與轉化思想和分類討論的思想．26．（2020?武漢模擬）已知函數，（1）求的單調區間，（2）若關于不等式對任意和正數恒成立，求的最小值．【分析】（1）先求導，再分類討論，根據導數和函數單調性的關系即可求出；（2）先根據（1）利用導數和函數最值的關系求出，可得，設（a），利用導數求出函數的最小值即可．【解答】解：（1），當時，，在上單調遞減，若時，令，，在時，，為增函數，在時，，為減函數．（2），由題意，由（1）可知，當時，在上單調遞減，無最小值，不符合題意，當時，，，設（a），則（a），，，（a）；，，（a），（a）（1）．【點評】本題考查了導數和函數單調性的關系以及和最值的關系，考查了函數恒成立的問題，考查了運算能力和轉化能力，屬于中檔題．27．（2020?肇慶三模）設函數，為自然對數的底數．（1）求的單調區間：（2）若成立，求正實數的取值范圍．【分析】（1）函數，為自然對數的底數．，對分類討論即可得出單調性．（