第六講圖形變換圖形變換是計算機圖形學的基礎內容。有二維（三維）圖形的平移、旋轉、變比、對稱等變換，三維圖形的投影透視變換等。本講主要內容圖形變換的數學基礎二維圖形的基本變換、復合（組合）變換；三維圖形基本變換、復合（組合）變換；變換的數學基礎圖形變換是計算機圖形學的基本內容之一，是圖形顯示過程中必不可少的一個環節，通過圖形變換可以把簡單的圖形生成復雜的圖形，變換本身也是描述圖形的有力工具。圖形變換是指對圖形的幾何信息經過幾何變換后產生新的圖形。圖形變換可以看作是坐標系不動而圖形變動，變動后的圖形坐標系中的坐標值發生變化；也可以看作是圖形不動而坐標系發生變化。圖形變換的數學基礎矢量運算矩陣運算矩陣單位矩陣逆矩陣轉置矩陣行列式上機編程，實現兩個矩陣相乘特別注意：矩陣相乘不適合交換律變換的數學基礎(1/4)矢量矢量具有方向和大小兩個參數，可以表示為一個n元組，通過坐標系對應n維空間的一個點。例如，二維矢量(x,y)或三維矢量(x,y,z)可分別用來表示空間中的二維點或三維點。設有兩個矢量U(x,y,z)和V(x,y,x)：矢量和

變換的數學基礎(2/4)矢量的數乘

矢量的點積性質變換的數學基礎(3/4)矢量的長度單位矢量矢量的夾角矢量的叉積=(uyvz-vyuz,uzvx-vzux,uxvy-vxuy)叉積的性質：UxV=-VxUA(BxC)=AxB+AxC變換的數學基礎(4/4)矩陣(1)階矩陣mxn階的矩陣A定義為

(2)矩陣的加法

設為兩個階數相同的矩陣，其加法定義為：數乘矩陣用數k乘矩陣A的每一個元素而得到的矩陣叫做k與A之積，記做kA或者Ak均可矩陣的乘法矩陣A的列數與B的行數相同時，可對它們做乘法，如下：則C為一個m行p列的矩陣，且矩陣的乘法滿足結合律，即：矩陣的乘法和加法還滿足分配律：單位矩陣在一矩陣中，其主對角線各元素為1，其余各元素均為零的矩陣叫作單位矩陣：對于任一矩陣A，有轉置矩陣

把矩陣的行，列互換而得到的n行m列矩陣叫做A的轉置矩陣。轉置矩陣具有一下幾條基本性質：矩陣的逆

n階矩陣成為可逆的，若存在另一個n階矩陣B，使得AB＝BA=I,此時稱B為A的逆矩陣，記為A可逆則稱為為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣。

由于A與B處于對稱的地位,所以A為非奇異矩陣時,其逆B也非奇異,即是說A與B互逆.矩陣運算的基本性質:1.加法交換律和結合律：A+B=B+A(A+B)+C=A+(B+C)2.數乘矩陣的分配律和結合律：3.矩陣乘法結合律與分配律:4.一般地,距陣的乘法不適合交換律:原因：(1).當A，B可以相乘時，如果A，B不為方陣，那么B，A不能相乘。

(2).即使A，B都是n階方陣，在一般情況下AB與BA仍然不相等。例如：齊次坐標

—用n+1維向量表示n維向量齊次坐標技術是從幾何學中發展起來的。齊次坐標的表示在投影幾何中常作為一種證明定理的工具。有時在n維空間中較難解決的問題，交換到n＋1空間中就比較容易得到問題的解答。通過將齊次坐標技術應用到計算機圖形學中，圖形的變換可以轉換為表示圖形的點集矩陣與某一變換兆進行矩陣相乘這單一問題，因而可以借助計算機的高速計算功能，很快得到變換后的圖形，從而為高動態的計算機圖形顯示提供了可能性。所謂點的齊次坐標系就是n維向量由n+1維向量來表示。n維空間中點的位置向量用非齊次坐標表示時，具有n個坐標分量（P1,P2,…，Pn），且是唯一的。若用齊次坐標表示時，此向量又n＋1個坐標分量表示，且表示不唯一，即是形成了一對n的關系：齊次坐標例如齊次坐標(8,4,4)、(4,2,2)、(2,1,1)都表示二維點（2,1）。齊次坐標規范化齊次坐標表示就是h＝1的齊次坐標表示。如何從齊次坐標轉換到規范化齊次坐標？n維向量的齊次坐標：轉換為：這就完成了到規范化齊次坐標表示的表示。此時，前面的幾項才表示點的實際物理坐標值。齊次坐標的優越性(1).提供了用矩陣運算把二維，三維甚至高維空間中的一個點集從一個坐標系變換到另一個坐標系的有效方法。在定義了規范化齊次坐標系后，圖形變換可以表示為圖形點集的規范化齊次坐標矩陣與某一變換矩陣進行矩陣相乘的形式。(2).可以表示無窮遠點。例如：n＋1維中，h＝0的齊次坐標實際上表示了一個n維的無窮遠點。圖形幾何變換基本原理：按某種規律，改變圖形的形狀、大小、位置等方法：坐標系不動，圖形變動后坐標值變化；坐標系變化后圖形在新坐標系中的新值。圖形變換的特點圖形變換就是改變圖形的幾何關系，即改變圖形頂點的坐標，但圖形的拓撲關系不變。最基本的圖形變換可以分別用矩陣形式表示為：平移變換P′＝P＋TmTm＝[MxMy]Mx、My分別為X方向和Y方向的平移量。比例變換P′＝P×TsSx00SySx、Sy分別表示比例因子。旋轉變換P＇＝P×Trcosθsinθ-sinθcosθθ＞0時為逆時針旋轉θ＜0時為順時針旋轉Ts＝Tr＝齊次坐標

從形式上來說，用一個有n+1個分量的向量去表示一個有n個分量的向量的方法稱為齊次坐標表示。例如二維平面上的點(x，y)的齊次坐標表示為(h×x，h×y，h)，h是任一不為0的比例系數。給定一個點的齊次坐標表示:(x，y，h)，該點的二維笛卡兒直角坐標：(x/h，y/h)。同樣，對于一個三維空間的向量(x，y，z)，它在四維空間中對應的向量即齊次坐標為(x×h，y×h，z×h，h)，其中h≠0。齊次坐標的概念可以推廣到n維空間的向量。齊次坐標的表示不是唯一的，通常當h=1時，稱為規格化齊次坐標。為什么需要齊次坐標？多個變換作用于多個目標變換合成變換合成的問題引入齊次坐標

變換的表示法統一齊次坐標表示的優點：

可方便地用變換矩陣實現對圖形的變換；齊次坐標表示法可以表達無窮遠點。二維基本幾何變換點的變換：恒等變換平移變換比例變換旋轉變換對稱變換錯切變換平移變換平移是一種不產生變形而移動的剛體變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀二維：將圖形對象從一個位置(x,y)移到另一個位置(x′，y′)的變換。對于一個點(X,Y)其齊次坐標為[X,Y,1],它進行平移即是指它處在坐標系中的位置發生變化，而大小和形狀不變。變換后坐標為(X',Y')，有X'=X+Tx,Y'=Y+Ty，因而其變換可以表示為:平移變換如左圖所示平移變換(x,y)(x’,y’)(dx,dy)xydyydxxyx+=+=''P'=PT1

0

0

0

1

0

dx

dy1T(dx,dy)=平移矩陣可見，由于采用了齊次坐標表示法，使得平移變換的處理有原本的加法變為矩陣乘法，從而與其余四種幾何變換的運算方式相統一。比例變換sx

0

00

sy0001T(sx,sy)=基本的比例變換是指圖形相對于坐標原點，按比例系數(Sx,Sy)放大或縮小的變換。假定點P相對于坐標原點沿X方向放縮Sx倍，沿Y方向放縮Sy倍，其中Sx,Sy稱為比例系數，則變換后的坐標值分別為：x’=x·Sx,y’=y·Sy。構造比例矩陣T：得到比例變換的矩陣運算表示為：則有P’=P·T比例變換比例變換有以下幾種情況：當Sx=Sy時，圖形為均勻縮放。若Sx=Sy=1，圖形不變，稱為恒等變換；若Sx=Sy>1(或(<))，圖形均勻放大（縮小），稱為等比例變換。當Sx≠Sy時，圖形眼坐標軸方向作非均勻縮放，會放生變形（如圓變成橢圓等）。當Sx<0或Sy<0時，圖形不僅回大小發生變化，而且將相對Y軸、X軸或原點做對稱變換。

比例變換示例(x,y)(x’,y’)xy比例變換比例因子

ifsx

,

sy>1,物體被拉伸if0<sx

,

sy<1,物體被壓縮ifsx

,

sy<0,物體被倒影均勻/非均勻比例變換ifsx

=

sy,均勻比例變換ifsx

sy,非均勻比例變換旋轉變換xyfq(x,y)(x’,y’)旋轉變換Remember旋轉方向旋轉角度旋轉中心旋轉是剛體變換xqP(x,y)P’

(x’,y’)y基本的旋轉變換是指將圖形圍繞圓心逆時針轉動一個θ角度的變換。假定P點離原點的距離為ρ，P點與X軸夾角為α,如圖，則P的坐標為：x=ρ·cosα,y=ρ·sinα。則P點旋轉θ度后得到點P’，其坐標為：x’=ρ·cos(α+θ)=ρ·cosαcoseθ-ρ·sinαsinθy’=ρ·sin(α+θ)=ρ·sinαcoseθ+ρ·cosαsinθx’=xcoseθ-ysinθy’=xcoseθ+ysinθ構造比例矩陣T：α將x,y代入有旋轉變換cosq

sinq

0-sinq

cosq

0001T(q)=旋轉矩陣得到旋轉變換的矩陣運算表示：簡寫為P’=P·T。注意：（1）當旋轉方向為逆時針時，q為正；當為順時針時，q為負；（2）上述討論是繞坐標原點的旋轉變換。對稱變換對稱變換可用來求一個圖形關于某一鏡面的反射圖形,在二維圖形中，這個鏡面即為一條直線，該直線稱為對稱軸。對稱變換表示為：(1).a=-1,d=1,b=c=0時，產生關于y軸對稱的圖形。(2).a=1,d=-1,b=c=0時，產生關于x軸對稱的圖形。(3).a=d=-1,b=c=0時，產生關于原點對稱的圖形。(4).a=d=0,b=c=1時，產生關于直線y＝x對稱的反射圖形。(5).a=d=0,b=c=-1時，產生關于直線y＝－x對稱的發射圖形。對稱變換對稱變換關于x軸的對稱變換關于y軸的對稱變換

對稱變換對稱變換關于原點的對稱變換關于y=x的對稱變換

關于y=-x的對稱變換錯切變換在圖形學的應用中，有時需要產生彈性物體的變形處理，這就要用到錯切變換，也稱為剪切、錯位變換。在前述變換中，變換矩陣中的非對角線元素大都為0，若變換矩陣中非對稱角元素不為0，則意味著x，y同時對圖形的變化起作用，也就是說，變換矩陣中非對角元素起著把圖形沿x方向或y方向錯切的作用。x值或y值越小，錯切量就越小；反之，x值或y值越大，錯切量就越大。其變換矩陣如下：錯切變換（1）沿X軸方向關于y的錯切，即變換前后y坐標不變，x坐標呈線性變化。變換后P’的坐標為：x’=x+cyy’=y若cy>0，則沿X軸正方向錯切；若cy<0，則沿X軸負方向錯切錯切變換（2）沿Y軸方向關于x的錯切，即變換前后x坐標不變，y坐標呈線性變化。變換后P’的坐標為：x’=xy’=y+bx若bx>0，則沿Y軸正方向錯切；若by<0，則沿Y軸負方向錯切。變換矩陣的功能區分一般形式：abcdefghi

P′=P?T2D二維變換矩陣中：abde[gh]是對圖形進行平移變換。i是整體比例變換。

[x′y′1]=[xy1]是對圖形進行比例、旋轉、對稱、錯切變換。二維復合變換（組合變換）

復合變換是指對圖形進行一次以上的變換，變換的結果是每次的變換矩陣相乘。任何一組變換都可以表示成一個復合變換矩陣，只需要計算每一個單獨變換矩陣，并求解出乘積；從另一個方面講，任何一個復雜的幾何變換都可以看作基本幾何變換的組合形式，也叫復合變換

一般情況下，當我們需要對一個圖形對象進行較復雜的變換時，我們并不直接去計算這個變換，而是首先將其分解成多個基本變換，再依次用它們作用于圖形。這種變換分解，再合成的辦法看起來有些麻煩，但是對用戶來說更直接，更容易想象。二維復合變換（組合變換）任何一復雜的幾何變換可以看成基本集合變換的組合,同樣具有P‘=P·T形式：

P'=P·T=P·T1·T2·…·Tn復合平移復合比例復合旋轉其他常見復合變換相對于某個參考點的幾何變換（比例、旋轉等）相對于某直線的幾何變換（對稱等）1.二維復合平移變換復合平移，是指圖形經過兩次或以上次的平移。下面是p點經過兩次連續的平移變換后，其變換矩陣如下：由矩陣可以看出，連續平移具有可加性。2.二維復合旋轉變換

p點經過兩個或以上連續旋轉變換，下面是連續兩次旋轉變換的復合變換的計算矩陣：由上面的計算公式，我們可以看到圖形進行連續旋轉變換，則它們具有可加性。3.二維復合比例變換p點經過兩個連續比例變換后，產生如下的復合變換：由上面的復合比例變換計算矩陣可以看到：比例變換具有可乘性。在進行復合變換時，通常把復合變換分解成幾個簡單的幾何變換，表示成幾個矩陣相乘的形式，因此需要注意矩陣相乘的順序。由于矩陣乘法不滿足交換律，所以在復合幾何變換中，矩陣相乘的順序不可以交換。但是，在一些特殊情況下，可以滿足矩陣交換律，如兩次連續的平移變換，兩次連續的比例變換，兩次連續的旋轉變換等等；另外，旋轉和等比例變換也是可以交換的。4.關于任意參照點的幾何變換比例、旋轉變換都與參考點有關。前面所討論的各種變換都是以原點為參考點。若對XY平面內的任意參考點(xr,yr)作比例、旋轉等幾何變換，其變換過程為：(1)平移，即將該參考點(xr,yr)移到坐標原點處；(2)針對坐標原點（新）進行比例、旋轉等幾何變換(3)作(1)的逆變換，即將參考點(xr,yr)移回原來的位置例：求點P(x,y)相對任意點M(xr,yr)作比例變換的矩陣。其中比例系數為（sx,sy）。xqP(x,y)P’

(x’,y’)M=(xx,yy)y(1)平移坐標系XOY,使坐標系原點與任意點M重合。平移矩陣T1為：點P在新坐標系下相應的坐標點為P’,且P’=P·T1(2)基本的比例變換：在新坐標系下，使點P’相對于M點進行比例變換。比例矩陣T2為：點P’經比例變換后變為P’’,且P’’=P’·T2(3)反平移：使坐標系回到原來位置。平移矩陣T3為：點P’’經過反平移變換后變為P’’’，且P’’’=P’’·T3,此時P’’’就是點P(x,y)相對任意點M(x,y)做比例變換所得到的最終坐標點。由上可知，P’’’=P’’·T3=(P’·T2)·T3=((P·T1)

T2)·T3=P·(T1·

T2·T3)T=T1·

T2·T3==相對于某直線的幾何變換（對稱等）前面介紹的5中基本對稱變換只能相對于坐標軸、原點、±45。線進行對稱變換。如相對平面內任意一條直線進行對稱變換，其步驟如下：步驟平移該對稱直線到原點(經過)；旋轉角度到與坐標軸（X軸或Y軸）重合；對變換對象進行對稱變換；反向旋轉到原來方向；反平移到原來位置。關于任意軸的對稱變換二維圖形的顯示流程圖二維圖形的顯示流程圖首先，在用戶坐標系中生成圖形；接著，將用戶坐標系下的圖形描述變換到觀察坐標系下，即是進行坐標系間的變換；然后，在觀察坐標系下對窗口進行裁減；其次，裁減之后進行窗口到視區的變換，也就是觀察坐標系中描述的窗口內容變換到規格化設備坐標系的視區中；最后，將視區中的圖形內容變換到設備坐標系中進行顯示。

1.窗口與視區計算機圖形學中的窗口是用戶坐標系中需要進行觀察和處理的一個坐標區域。

視區是指將窗口映射到顯示設備上的坐標區域。

窗口是在用戶坐標系中定義的，它定義了要顯示的內容；而視區是在設備坐標系中定義的，也就是說是在屏幕坐標系中定義的，它定義了在什么地方顯示。通常的窗口和視區都取為邊與坐標軸平行的矩形。當然也可以取為其他形狀，但是處理會變得復雜點。

窗口和視區分別處于不同的坐標系內，它們所用的長度單位、大小、位置等都不相同。因此，要將窗口內的圖形在視區內顯示出來，必須經過將窗口到視區的變換處理（Window-ViewportTransformation）,這種變換稱為觀察變換（ViewingTransformation）2.用戶坐標系和觀察坐標系計算機本身只能處理數字，圖形在計算機內部也是以數字的形式進行存儲和處理的。而坐標系建立了圖形與數之間的聯系。為了使被顯示的圖形對象數字化，用戶需要在圖形對象所在的空間定義一個坐標系。這個坐標系的長度單位和坐標軸方向要便于對象的描述，這個坐標系稱為世界坐標系(WC)，也叫做用戶坐標系。觀察坐標系(VC)是依據窗口的方向和形狀在用戶坐標平面中定義的直角坐標系；計算機對圖形對象進行了必要的處理之后，要將它在圖形顯示器或者繪圖紙上繪制出來，這就要在顯示屏幕上或繪圖紙上定義一個坐標系，這個坐標系叫做屏幕坐標系或者設備坐標系(DC)。窗口區到視圖區的變換實際的窗口區與視圖區的大小不一樣，要在視圖區正確地顯示形體的，必須將其從窗口區變換到視圖區。變換的求法：分解與合成1）窗口區的邊與坐標軸平行2）窗口區的邊與坐標軸不平行

變換公式(P28)

三維圖形變換坐標系右手法則拇指指向坐標軸Z的方向，其余四指指向旋轉方向YZX0逆時針為正三維圖形變換三維空間點的齊次坐標矩陣（xyz1）[x′y′z′1]=[xyz1]·T三維圖形變換三維變換矩陣可表示為：abcpdefqghirlmns其中：abcdef產生比例、錯切、鏡象和旋轉等基本變換。ghi[lmn]產生沿x、y、z三軸方向上的平移變換。pq產生透視變換。r[s]產生等比例縮放變換。T=三維圖形變換中要注意的幾個問題：

1.(三維)采用s來實現整體的比例變換。當|s|<1時，三維圖形整體等比例放大；當|s|>1時，三維圖形整體等比例縮小。2.(三維)對稱變換是相對于各個坐標平面進行的。3.(三維)旋轉變換是指繞坐標軸的旋轉。右手坐標系下，繞坐標軸逆時針為正順時針旋轉為負。4.三維圖形的級聯(組合)變換對于復雜的三維圖形變換，也需要通過若干個變換矩陣的級聯才能實現。特別注意:

變換的方法和矩陣級聯的順序。三維幾何變換平移變換

（相對于原點）比例變換úúúú?ùêêêê?é=1000000000000zyxsss(),,zyxsssS三維幾何變換對稱變換

只考慮關于坐標平面的對稱變換關于xy平面對稱關于yz平面對稱關于xz平面對稱úúúú?ùêêêê?é=1000000000000-111úúúú?ùêêêê?é=100000000000011-1úúúú?ùêêêê?é=10000000000001-11錯切變換變換矩陣為：三維錯切變換矩陣：1bc0d1f0gh100001其中：b=c=f=h=0，沿X方向產生錯切T=三維幾何變換旋轉變換需要指定旋轉角度和旋轉軸.yxzrotationaxis(x’,y’,z’)(x,y,z)三維幾何變換旋轉變換繞x軸(x,y,z)(x’,y’,z’)xyz三維幾何變換旋轉變換繞y軸(x,y,z)(x’,y’,z’)xyz三維幾何變換繞z軸xz(x’,y’,z’)(x,y,z)幾點說明1）平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀；2）旋轉變換保持圖形各部分間的線性關系和角度關系，變換后直線的長度不變；3）比例變換可改變圖形的大小和形狀；4）錯切變換引起圖形角度關系的改變，甚至導致圖形發生崎變；5)拓撲不變的幾何變換不改變圖形的連續關系和平行關系；三維復合變換——實際的圖形對象的變換往往是由多個簡單變換復合而來。將相關的簡單變換的變換矩陣乘起來就可得到復合變換的變換矩陣。例：求基于參考點（xf,yf,zf）的比例變換，變換方法步驟：1）通過平移變換將參考點移到原點，使原點與參考點重合；2）相對于原點進行比例變換；3）通過平移變換將參考點移原來位置；繞空間任意軸的三維旋轉變換。例：有空間任意軸AB（用點A：[xA,yA,zA]，方向數a,b,c表示），現有空間點P（x,y,z）繞AB軸旋轉θ角后為P′（x′,y′,z′），求該變換矩陣。方法步驟：1)平移AB軸與原點重合；2)AB繞X軸旋轉α角，使之落到ZX平面上；3)將AB繞Y軸旋轉β角，使之與Z軸重合；4)此時AB與Z軸重合，繞Z軸旋轉θ角；5)繞X軸反旋轉-β角；6)繞X軸反旋轉-α角；7)反平移。預備知識：方向數與各坐標軸、坐標平面的關系（夾角、投影等）B點的方向數為（2，3，4）αβYXZ繞X軸旋轉α角；繞Y軸旋轉β角。D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-