#函數展開成泰勒級數：f(x)=f(x0)(x-x0)+^(x-x0)2+…+罟2(x一x0)n+…余項：R=f(皿)n(n+1)!(x-x)n+i,f(x)可以展開成泰勒級數的充要條件是：limR=0nnsx=0時即為麥克勞林公式：f(x)=f(0)+f'(0)x+x2+…+f(n)(0)xnHn!一些函數展開成冪級數：..、.m(m一1)m(m一1)???(m—n+1)(1+x)m=1+mx+x2HHxnH2!n!(一1<x<1)sinx=x-乂+乂-???+(-1)

3!5!x2n-1n-1H(一8<x<+8)(2n一1)!歐拉公式：eix=cosx+isinxeix+e-ixcosx=.eix—e-ixsinx=2三角級數：f(t)A+區1Asin(net+申)―0+區(acosnx+bsinnx)0nn2nnn=1n=1其中，a=aA,a=Asin申,b=Acos申,et=x。00nnnnnn正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x…sinnx,cosnx…任意兩個不同項的乘積在［-兀，兀］上的積分=0。傅立葉級數：f(x)=+區(acosnx+b2nnn=1=丄ff(x)cosnxdx兀—兀=丄ff(x)sinnxdx兀—兀1兀2sinnx),周期=2兀(n=0,1,2…)(n=1,2,3…)111壬(相加)6'1++++…'■./223242,111兀2/\223242=—ff(x)sinnxdx兀0=f(x)cosnxdx兀0周期為2l的周期函數的傅立葉級數：1+—++…=一

32528111兀2+++…=——22426224正弦級數：a=0,bn余弦級數：b=0,an=相減)n=1,2,3…n=0,1,2…f(x)=工bsinnx是奇函數nf(x)=+工acosnx是偶函數2nf(x)a=—o+cosnn=11n兀xcosaln1n兀xsinlndxdxsin)，周期=2ll(n=0,1,2…)(n=1,2,3…)微分方程的相關概念：一階微分方程：yy=f(x,y)或P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化為g(y)dy=f(x)dx的形式，解法:Jg(y)dy=Jf(x)dx得:G(y)=F(x)+C稱為隱式通解。齊次方程：一階微分方程可以寫成g=f(x,y)=申(x,y)，即寫成—的函數，解法：dxx設u=2,則=u+xdu，u+du=申(u)，?dx=「分離變量，積分后將蘭代替u,xdxdxdxx申(u)-ux即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程:字+P(x)y=Q(x)dx當Q(x)=0時,為齊次方程，y=Ce」P(x皿1當Q(x)豐0時，為非齊次方程，y=(JQ(x)eJP(x皿dx+C)e」P(x)dx2、貝努力方程：？+P(x)y=Q(x)y”,(n豐0,1)dx全微分方程：如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函數的全微分方程，即：_i_pt6u6udu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:==P(x,y)，=Q(x,y)dxoy???u(x,y)=C應該是該全微分方程的通解。+P(x+P(x)孚+Q(x)y=f(x),dxf(x)三0時為齊次f(x)豐0時為非齊次d2ydx2二階常系數齊次線性微分方程及其解法：(*)y"+py'+qy=0,其中p,q為常數；求解步驟：1、寫出特征方程：(A)r2+pr+q=0,其中r2，啲系數及常數項恰好是(*)式中y”,y:y的系數;2、求出(A)式的兩個根r,r123、根據r,r的不同情況，按下表寫出(*)式的通解：12r，r的形式12(*)式的通解

兩個不相等實根(p2-4q>0)y=ceqx+cer2x12兩個相等實根(P2-4q=0)y=(c+cx)e〔x12一對共軛復根(P2-4q<0)r=a+洞，r=a—iP12a=-p,卩=屁-P222y=eg(ccospx+csinpx)