測量誤差分析與誤差處理第1頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日第一單元介紹的是根據一組等精度觀測值的真誤差，求觀測值的中誤差問題。但是在實際測量工作中，有些未知量往往是由觀測值，通過一定的函數關系間接計算出來的。例如，水準測量時，高差h=a（后視讀數）-b（前視讀數），h是a、b的函數。又如坐標增量△x=S·cosα，△y=S·sinα，△x及△y是距離S和坐標方位角的函數。由于直接觀測值有誤差，故它的函數也必然會有誤差。研究觀測值函數的精度評定問題，實質上就是研究觀測值函數的中誤差與觀測值中誤差的關系問題。這種關系又稱誤差傳播定律。第2頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日（一）倍數函數的中誤差設有函數Z=KX用△X與△Z分別表示X和Z的真誤差，則Z+△Z=K（X+△X）即△Z=K△X

這就是函數真誤差與觀測值真誤差的關系式第3頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日設對X進行了n次觀測，則有△Z1=K△X1△Z2=K△X2……△ZN=K△XN得△2Z1=K2△2X1△2Z2=K2△2X2……△2ZN=K2△2XN[△2Z]=K2[△2X]按中誤差定義，上式可表示為m2Z=K2m2X或mZ=KmX

可見，倍數函數的中誤差等于倍數（常數）與觀測值中誤差的乘積。

第4頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日用比例尺在1：1000的圖上量得長度L=168mm，并已知其中誤差mi=±0.2mm，求相應地面上的水平距離S及中誤差mS。

解：相應地面上的水平距離S=1000L=168m中誤差mS=1000mi=±0.2m最后寫成S=168±0.2m第5頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日（二）和、差函數的中誤差

設有函數Z=X+Y和Z=Z-Y，即Z=X±YX、Y為獨立觀測值，所謂“獨立”，是指觀測值之間相互無影響，即任何一個觀測值產生的誤差，都不影響其他觀測值誤差的大小。一般來說，直接觀測的值就是獨立觀測值。令函數Z及X、Y的真誤差分別為△Z、△X、△Y。顯然Z+△Z=（X±△X）±（Y+△Y）第6頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日和差函數的中誤差△Z=△X±△Y

觀測n次，則有△Z1=△X1±△Y1△Z2=△X2±△Y2……△Zn=△Xn±△Yn將上列各式兩邊平方并求和，得[△2Z]=[△2X]+[△2Y]±2[△X△Y]第7頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日第8頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日例題第9頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日例題第10頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日習題1：如圖所示的測站點O，觀測了α、β、γ三個角度，已知它們的中誤差分別為±12、±24、±24秒，求由此而得圓周角不符值ε的中誤差。如果用方向觀測法觀測了這三個角且測角中誤差為12秒，請問計算角的中誤差是多少？第11頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日（三）線性函數中誤差設有函數

Z=K1x1±K2x2±…±Knxn式中K1、K2、…、Kn為常數；x1、x2…、xn均為獨立觀測值，它們的中誤差分別為m1、m2、…、mn函數Z與各觀測值x1、x2、…、xn的真誤差關系式為根據中誤差的定義公式可得：第12頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日例題：例4：對某一直線作等精度觀測。往測距離為L1，返測距離為L2，其中誤差均為m。求該直線的最后結果及其中誤差。

解；最后結果L為

設L的中誤差為mL，有

即第13頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日（四）一般函數的中誤差設有一般函數Z=f（X1，X2，…，Xn）；式中，X1，X2，…，Xn為具有中誤差，mX1，mX2，…，mXn的獨立觀測值。各觀測值的真誤差分別為△X1、△X2、…、△Xn，其函數Z也將產生真誤差Δz.。

)取全微分,得則有式中，，…，為函數對各個變量所取得的偏導數則函數的中誤差為：或者：，，…，

第14頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日例題設沿傾斜地面丈量A、B兩點，得傾斜距離L=29.992m，測得A、B兩點間高差h=2.05m，若測量L、h的中誤差分別為±0.003m和±0.05m，求水平距離S及其中誤差ms。解：水平距離為水平距離的中誤差為式中則有：第15頁，共17頁，2023年，2月20日，星期日（五）若干獨立誤差綜合影響的中誤差一個觀測值的中誤差，往往受許多獨立誤差的綜合影響。例如，經緯儀觀測一個方向時，就受目標偏心、儀器偏心（儀器未真正對中）、照準、讀數等誤差的綜合影響。這些獨立誤差都屬于偶然誤差。可以認為各獨立真誤差△1、△2、…、△n的代數和就是綜合影響的真誤差△F，△F=△1+△2+…+△n

第16頁，共17頁，2023年，2月20日