空間向量教學講義教學內容新授課知識講解【】知識要點。1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。2.空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)abba運算律：⑴加法交換律：(ab)ca(bc)⑵加法結合律：⑶數乘分配律：ab()ab3.共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線a平行于b，記作ab。//向量或平行向量，a、b共線（或a//b）時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同當我們說向量一直線，也可能是平行直線。0aba、b（b≠），//存在實數λ，使＝λ。ab（2）共線向量定理：空間任意兩個向量4.共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實數（2）共面向量定理：如果兩個向量1/12x,y使pxayb。5.空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個x,y,z，使pxaybzc。唯一的有序實數組a,b,c不共面，我們把叫做空間的一個基底，叫做基向量，空{a,b,c}a,b,c若三向量間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。推論：設O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x,y,z，使OPxOAyOBzOC。6.空間向量的直角坐標系：（1）空間直角坐標系中的坐標：A(x,y,z)Oxyz中，對空間任一點，存在唯一的有序實數組，使在空間直角坐標系OAxiyizk(x,y,z)AOxyz，有序實數組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x,y,z)，x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。1（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用{,ij,k}表示。（3）空間向量的直角坐標運算律：a(a,a,a)，b(b,b,b)，則ab(ab,ab,ab)，①若123123112233ab(ab,ab,ab)，a(a,a,a)(R)，112233123abababab，1122333a//bab,ab,ab(R)，11223abababab0。1122332/12AB(xx,yy,zz)。A(x,y,z)，B(x,y,z)，則②若111222212121一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。a(a,a,a)，b(b,b,b)，（4）模長公式：若123123則|a|aaa2a2a，|b|bbb2b2b32212312abababab（5）夾角公式：cosab|a||b|。112233a2a22a32b2bb222311A(x,y,z)，B(x,y,z)，（6）兩點間的距離公式：若111222|AB|AB(xx)2(yy)2(zz)22，212121則d(xx)2(yy)2(zz)2或A,B2121217.空間向量的數量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a與b的夾角，記作a,b，在空間任取一點O，作a,b；且規定0a,b，OAa,OBb，則AOB叫做向量顯然有a,bb,a；若ab互相垂直，記作：ab。a,b，則稱與2（2）向量的模：設OAa，則有向線段的長度叫做向量OAa的長度或模，記作：。|a|a,b，則|a||b|cosa,b叫做a,b的數量積，記（3）向量的數量積：已知向量作ab，即ab|a||b|cosa,b。（4）空間向量數量積的性質：①ae|a|cosa,e。②abab0。③|a|aa。2（5）空間向量數量積運算律：。②(a)b(ab)a(b)abba（交換律）。①③a(bc)abac（分配律）。典型例題【】→→→1的正方體ABCD-ABCD中，設AB＝a，AD＝b，AA＝c，則a·(b＋c)的值111111.在棱長為為()3/12A．1B．0D．－2C．－1)設空間有四個互異的點A，B，C，D，已知(→→→→DB＋DC－2DA)·(AB2.(2012·太原高二期末→－AC)＝0，則△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形D．等邊三角形C．等腰直角三角形3.已知i、j、k是兩兩垂直的單位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b等于________．4.已知|a|＝2，|b|＝2，且a與2b－a互相垂直，則a與b的夾角大小為________．5.已知|a|＝32，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，則λ＝________．6.已知空間向量a，b，c兩兩夾角都是60°，其模都是1，則|a－b＋2c|＝________．【典型例題】1.已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，則b等于()A．(2，－4，2)B．(－2，4，－2)D．(2，1，－3)C．(－2，0，－2)→2.已知i，j，k是空間直角坐標系Oxyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且AB＝－i＋j－k，則B點的坐標為()A．(－1，1，－1)B．(－i，j，－k)D．不確定C．(1，－1，－1)3.已知空間三個向量a＝(1，－2，z)，b＝(x，2，－4)，c＝(－1，y，3)，若它們分別兩兩垂直，則x＝________，y＝________，z＝________．4.已知△ABC的三個則|→AM|＝________．5.已知向量a＝(4，－2，4)，b＝(6，－3，2)，則A．a＋b＝(10，－5，－6)頂點為A(3，3，2)、B(4，－3，7)、C(0，5，1)，M為BC的中點，下列結論正確的是()B．a－b＝(2，－1，－6)C．a·b＝10D．|a|＝66.(2012·武漢高二檢測)已知向量a＝(2，－3，5)與向量b＝(－4，x，y)平行，則x，y的值分別是()A．6和－10B．－6和10D．6和10C．－6和－104/127.向量a＝(2，－3，3)，b＝(1，0，0)，則cos〈a，b〉＝()1A．0B.223D.2C.28.(2012·臺州高二期末)已知a＝(2，－1，1)，b＝(－1，4，－2)，c＝(λ，5，1)，若向量a，b，c共面，則λ＝________．9.已知空間四點A、B、C、D的坐標分別是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，→→－1，－2)，若p＝AB，q＝CD.求(1)p＋2q；(2)3p－q；(3)(p－q)·(p＋q)．10.已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，則a＋b與a－b的夾角是()A．90°C．30°B．60°D．0°11.已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值是()555B.5A.535C.511D.512.已知點A，B，C的坐標分別為(x，0，z)，若→→→→PA⊥AB，PA⊥AC，則點P的坐標13.已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，以及點A(－3，－1，4)，B(－2，－2，為(0，1，0)，(－1，0，－1)，(2，1，1)，點P的坐標為________．2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直線AB上是否存在一點E，使→OE⊥b(O為原點)．5/12題型介紹【】這章學習的內容是在平面向量的基礎上進一步去學習的，在高考也是重點內容，固定一道大題，外加不定的選擇和填空題，所以學好這章極為重要。課堂訓練【】1.設直線l的方向向量為a＝(2，1，－2)，直線l的方向向量為b＝(2，2，m)，若l121⊥l，則m＝()2A．1B．－2D．3C．－32.已知線段AB的兩端點的坐標為A(9，－3，－4)，B(9，2，1)，則線段AB與哪個坐標平面平行()A．xOyC．yOzB．xOzD．xOy與yOz3.設O為坐標原點，OA→＝(1，1，2)，OB→＝(3，2，8)，則線段AB的中點P的坐標為________．11→→→→4.已知點M在平面ABC內，并且對空間任一點O，OM＝xOA＋OB＋OC，則x的值為33________．5.設兩條直線所成角為θ(θ為銳角)，則直線方向向量的夾角與θ()A．相等C．互余B．互補D．相等或互補6.已知A、B、C三點的坐標分別為A(4，1，3)、B(2，－5，1)、C(3，7，λ)，若→AB⊥6/12→AC，則λ等于()A．28B．－28D．－14C．147.l的方向向量為v＝(1，2，3)，l的方向向量v＝(λ，4，6)，若l∥l，則λ等112212于()A．1C．3B．2D．41cos〈l和l的方向向量分別為v和v，若v，v〉＝－，則l與212121218.已知兩異面直線l所成角為________．29.若→→→AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，則直線AB與平面CDE的位置關系是10.已知A(2，1，0)，點B在平面xOz內，若直線AB的方向向量是(3，－1，2)，求點B的坐標．________．11.已知直線l的方向向量a＝(2，4，x)，直線l的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝126，且a⊥b，則x＋y的值是()A．－3或1C．－3B．3或－1D．112.正六棱柱ABCDEF-ABCDEF的底面邊長為1，側棱長為2，則這個棱柱的側面對角111111線ED與BC所成的角是()11A．90°B．60°D．30°C．45°13.已知直線l的方向向量v＝(2，－1，3)，且過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點，則y＝________，z＝________．14.已知正方體AC中，O為BD的中點，求證：BO1∥平面ACD.111117/12鞏固訓練【】1.若n＝，－，是平面的一個法向量，則下列向量中能作平面法向量的是(231)αα()A．(0，－3，1)C．(－2，－3，1)B．(2，0，1)D．(－2，3，－a＝，，－，1)(10b＝－，，，則平面與平面(102)2.αβ2)αβ若平面與的法向量分別是的關系是()A．平行C．相交但不垂直B．垂直D．無法判斷m＝，，－，3.平面，的法向量分別為αβ(12n＝－，－，αβ2)(24k)，若⊥，則k等于________．4.(100)B(0，，，10)C(0，，，則平面01)ABC的單位法向量坐標為________．已知A，，，鞏固訓練【】1.l的方向向量為a＝－，，－，平面的法向量為u＝，，，則(408)()(102)α若直線A．l∥αC．l?αB．l⊥αD．l與α斜交2.已知平面α上的兩個向量a＝，，，(231)b＝，，，則平面的一個法向量為(564)α()A．(1，－1，1)C．(－2，1，1)3.B．(2，－1，1)D．(－1，1，－1)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AACC的一個法向量可以是()118/12A.BC→→B.AB11→C.BB1→D.BD14.α(2m，，平面的法向量為m＝．1，，1)α2，則________已知l∥，且l的方向向量為，2→E，F分別是BB1，DC的中點，則AE與平面ADF的115.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，關系為________．6.1SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，2如圖，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，求平面SCD的一個法向量．7.α(112)n＝，－，，則下列點在α內的是()(212)已知平面過點A，－，，法向量為A．(2，3，3)C．(－1，1，0)B．(3，－3，4)D．(－2，0，1)8.(2012·杭州高二檢測)直角三角形ABC的直角邊AB在平面α內，其中∠點C在α外，且C在α內的射影為C(C1不在AB上)，則△ABC1是(A．直角B為直角，頂)1三角形B．銳角三角形D．以上都有可能C．鈍角三角形9.如圖所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一個點Q滿足PQ⊥QD，則a的值等于________．10.在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，∠PBA＝60°，底面ABCD是直角梯9/12形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝12AD.求證：平面PCD⊥平面PAC.【課堂回顧】1．了解空間向量的基本概念；掌握空間向量的加、減、數乘、及數量積的運算；了解空間向量共面的概念及條件；理解空間向量基本定理.2．理解空間直角坐標系的概念，會用坐標來表示向量；理解空間向量的坐標運算.【課后作業】1.平面的一條斜線段長是它在平面內射影長的2倍，則斜線與平面所成角的大小為()A．30°C．45°B．60°D．120°2.若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于()A．120°C．30°B．60°D．以上均錯3.若平面α的一個法向量為n＝，，，直線l的一個方向向量為b＝，，，則(330)(111)l與α所成角的余弦值為________．4.在正方體ABCD-ABCD中，BD與平面ABCD1所成角的正切值為________．11111111π5.直線l與平面α所成角為6，直線m在平面α內且與直線l異面，則直線l與m