正則分布熱力學(xué)第1頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五知識回顧：§9.1相空間劉維爾定理Chap.9系綜理論研究互作用粒子組成的系統(tǒng)．統(tǒng)計系綜:是指與原來的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。若系統(tǒng)包含多種粒子，第i種粒子的自由度為ri

，粒子數(shù)為Ni

，則系統(tǒng)的自由度為：以共2f個變量為坐標(biāo)構(gòu)成一個2f維空間,稱為相空間(Γ空間)系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)：可用相空間中的一點表示，稱為系統(tǒng)運動狀態(tài)的代表點。相空間第2頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五劉維爾定理(Liouville’stheorem)

設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運動.（9.1.1）這些系統(tǒng)的運動狀態(tài)的代表點將在相空間中形成一個分布．2、劉維爾定理如果一個代表點沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運動，其鄰域的代表點密度是不隨時間改變的常數(shù)。ρdΩ表示時刻t，運動狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點數(shù)知識回顧：§9.1相空間劉維爾定理第3頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五微正則分布處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，假設(shè)E到E+ΔE內(nèi)一切軌道的常數(shù)概率密度都相等，則在E到E+ΔE能量范圍的所有可能的微觀狀態(tài)上概率密度就都相等，是不隨時間改變的常數(shù)。這就是等概率原理，也稱為微正則分布。等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基本假設(shè)經(jīng)典表達式量子表達式基本假設(shè)！知識回顧：§9.2微正則分布第4頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式一、微觀態(tài)數(shù)與熱力學(xué)幾率1.微觀態(tài)數(shù)孤立系統(tǒng)A(0)＝A(1)＋A(2)A(1)和A(2)有微弱相互作用A(1)：Ω1(N1,E1,V1)；A(2)：Ω2(N2,E2,V2)系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)：Ω(0)=Ω1(E1)Ω2(E2)是A(1)和A(2)達到熱平衡時分別具有的內(nèi)能，由下式確定：2.確定內(nèi)能的條件第5頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五3玻耳茲曼關(guān)系適用于有相互作用的粒子組成的系統(tǒng)！定義：4平衡條件熱動平衡條件：k的確定：將理論用到經(jīng)典理想氣體可知，k等于玻耳茲曼常數(shù)!知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第6頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五二、利用微正則分布求解孤立系統(tǒng)基本問題的方法和步驟內(nèi)能、熵、物態(tài)方程都表為T、V、N的函數(shù)。知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第7頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五三、應(yīng)用：利用微正則分布處理單原子分子理想氣體以單原子經(jīng)典理想氣體為例：設(shè)氣體含有N個單原子分子首先計算能量不大于某一數(shù)值E的微觀狀態(tài)數(shù)知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第8頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五知識回顧：§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式第9頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.4正則分布

正則系綜的定義及研究對象；內(nèi)容提要正則系綜的配分函數(shù)和幾率分布；經(jīng)典近似下正則系綜的配分函數(shù)和幾率分布一、正則系綜的定義及研究對象在實際問題中往往需要研究具有確定粒子數(shù)N、體積V和溫度T的系統(tǒng)．本節(jié)討論具有確定的N,V,T值的系統(tǒng)的分布函數(shù)．這個分布稱為正則分布．正則系綜研究的對象是具有確定粒子數(shù)N、體積V和溫度T的系統(tǒng)。§9.4正則分布第10頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.4正則分布說明：

1）能量的交換：具有確定的N,V,T值的系統(tǒng)可設(shè)想為與大熱源接觸而達到平衡的系統(tǒng).由于系統(tǒng)與熱源間存在熱接觸,二者可以交換能量；系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)可具有不同的能量值；2)不變的溫度：由于熱源很大,交換能量不會改變熱源的溫度.在兩者建立平衡以后,系統(tǒng)將與熱源具有相同的溫度.第11頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.4正則分布二、正則系綜的分布函數(shù)和配分函數(shù)系統(tǒng)與熱源合起來構(gòu)成一個復(fù)合系統(tǒng)．這復(fù)合系統(tǒng)是一個孤立系統(tǒng)，具有確定的能量．假設(shè)系統(tǒng)和熱源的作用很弱，復(fù)合系統(tǒng)的總能量E+Er=E(0)熱源很大，必有E

<<E(0)第12頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.4正則分布當(dāng)系統(tǒng)處在能量為Es的(一個)狀態(tài)s時，熱源可處在能量為E(0)-Es的任何一個微觀狀態(tài)．Ωr(E(0)-Es)表示能量為E(0)-Es的熱源的微觀狀態(tài)數(shù)復(fù)合系統(tǒng)的可能的微觀狀態(tài)數(shù)為Ωr(E(0)-Es)復(fù)合系統(tǒng)是一個孤立系統(tǒng)，在平衡狀態(tài)下，它的每一個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的．ρs∝Ωr(E(0)-Es)第13頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.4正則分布Es/E(0)<<1ρs∝Ωr(E(0)-Es)歸一化具有確定的粒子數(shù)N、體積V和溫度T

的系統(tǒng)處在微觀狀態(tài)s上的概率歸一化因子第14頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.4正則分布配分函數(shù):表示對粒子數(shù)為N和體積為V的系統(tǒng)的所有微觀狀態(tài)求和.l能級三、正則分布的經(jīng)典表達式第15頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.5正則分布的熱力學(xué)公式§9.5正則分布的熱力學(xué)公式本節(jié)討論正則分布中熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達式和能量的漲落一、正則分布的熱力學(xué)公式1、系統(tǒng)的內(nèi)能系統(tǒng)的能量在一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值第16頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五2、廣義力：的統(tǒng)計平均值特例§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第17頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五3、熵§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第18頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五二、正則系統(tǒng)的能量漲落當(dāng)系統(tǒng)處在狀態(tài)s

時，其能量為與

的偏差為稱為能量漲落§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第19頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五對于正則分布§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第20頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第21頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五對于具有確定的N,V,T值的系統(tǒng)的分布函數(shù)--正則分布§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第22頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五能量的相對漲落和

都是廣延量，~N討論：這個事實說明，與熱源接觸達到平衡的系統(tǒng)，雖然由于它與熱源交換能量而可具有不同的能量值，但對于宏觀的系統(tǒng)，其能量E與

有顯著偏差的概率極小．§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第23頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五說明e-βE隨著E的增加而迅速減少；Ω(E)隨著E的增加而迅速增加；§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第24頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五

正則系綜與微正系綜是等價的用微正則分布和正則分布求得的熱力學(xué)量實際上相同用這兩個分布求熱力學(xué)量實質(zhì)上相當(dāng)于選取不同的特性函數(shù)：自變量為N,V,S的內(nèi)能U自變量為N,V,T的自由能F§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第25頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五例1：9.2，利用正則分布求單原子分子理想氣體的物態(tài)方程、內(nèi)能和熵。單原子分子－－只考慮平動－－平動能連續(xù)，經(jīng)典統(tǒng)計。設(shè)氣體含有N個單原子分子§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第26頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五比較P207（7.5.5）比較P195（7.2.5）比較P213（7.6.2）§9.5正則分布的熱力學(xué)公式第27頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五例2：9.3，利用正則系綜理論的漲落公式求單原子分子和雙原子分子理想氣體的能量相對漲落。對于單原子分子理想氣體，有對于雙原子分子理想氣體，有§9.5正則分布的熱力學(xué)公式解：能量相對漲落公式：第28頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.4正則分布的熱力學(xué)公式小結(jié)特例一、正則分布的熱力學(xué)公式第29頁，共30頁，2023年，2月20日，星期五§9.4正則分布的熱力學(xué)公式小結(jié)二、系統(tǒng)的能量漲落當(dāng)系統(tǒng)處在狀態(tài)s

時，其