概率統(tǒng)計點估計的評價標(biāo)準(zhǔn)第1頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五若則稱是的無偏估計量.

無偏性無偏定義我們不可能要求每一次由樣本得到的估計值與真值都相等，但可以要求這些估計值的期望與真值相等.定義的合理性第2頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五是總體X的樣本,證明:不論X服從什么分布(但期望存在),是的無偏估計量.證例1設(shè)總體X的k階矩存在因而由于例1則第3頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五特別地樣本二階原點矩是總體是總體期望E(X)的樣本均值無偏估計量的無偏二階原點矩估計量第4頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例2設(shè)總體X的期望與方差存在,X的樣本為(n>1).(1)不是D(X)的無偏估量;(2)是D(X)的無偏估計量.證前已證證明例2第5頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五因而故證畢.第6頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例3設(shè)是總體X的一個樣本,X~B(n

,p)n>1,求p2

的無偏估計量.解由于樣本矩是總體矩的無偏估計量以及數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì),只要將未知參數(shù)表示成總體矩的線性函數(shù),然后用樣本矩作為總體矩的估計量,這樣得到的未知參數(shù)的估計量即為無偏估計量.令例3第7頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五因此,p2的無偏估計量為故第8頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例4設(shè)總體X的密度函數(shù)為為常數(shù)為X的一個樣本證明與都是的無偏估計量證

故是的無偏估計量.例4第9頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五令即故nZ是的無偏估計量.第10頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五都是總體參數(shù)的無偏估計量,且則稱比更有效.定義設(shè)有效性有效第11頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五所以,比更有效.是的無偏估計量,問哪個估計量更有效？由例4可知,與都為常數(shù)例5設(shè)總體X的密度函數(shù)為解

，例5第12頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例6設(shè)總體X，且E(X)=,

D(X)=

2

為總體X的一個樣本證明是的無偏估計量(2)證明比更有效證

(1)

例6(1)設(shè)常數(shù)第13頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五(2)

而結(jié)論算術(shù)均值比加權(quán)均值更有效.第14頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例如

X~N(,2

),(X1

,X2)是一樣本.都是的無偏估計量由例6(2)知最有效.第15頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五羅—克拉美（Rao–Cramer）不等式若是參數(shù)

的無偏估計量,則其中p(x,)是總體X的概率分布或密度函數(shù)，稱為方差的下界.當(dāng)時,稱為達到方差下界的無偏估計量,此時稱為最有效的估計量,簡稱有效估計量.第16頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例7設(shè)總體X的密度函數(shù)為為X的一個樣本值.求的極大似然估計量,并判斷它是否達到方差下界的無偏估計量.為常數(shù)解由似然函數(shù)例7第17頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五的極大似然估計量為它是的無偏估計量.第18頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五而故是達到方差下界的無偏估計量.第19頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五定義

設(shè)是總體參數(shù)則稱是總體參數(shù)的一致(或相合)估計量.的估計量.若對于任意的,

當(dāng)n時,一致性依概率收斂于,即一致性估計量僅在樣本容量

n足夠大時,才顯示其優(yōu)越性.一致第20頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五關(guān)于一致性的兩個常用結(jié)論1.樣本k階矩是總體k

階矩的一致性估計量.是的一致估計量.由大數(shù)定律證明用切貝雪夫不等式證明矩法得到的估計量一般為一致估計量在一定條件下,極大似然估計具有一致性2.設(shè)是

的無偏估計量,且,則第21頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五例8為常數(shù)則是的無偏、有效、一致估計量.證

由例7知是的無偏、有效估計量.所以是

的一致估計量,證畢.例8第22頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五作業(yè)P.231習(xí)題七161820習(xí)題補充題設(shè)總體X~N(,2),為X的一個樣本,常數(shù)k取何值可使為的無偏估計量第23頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五

第十四周

問題母親嗜酒是否影響下一代的健康

美國的Jones醫(yī)生于1974年觀察了母親在妊娠時曾患慢性酒精中毒的6名七歲兒童（稱為甲組）.以母親的年齡，文化程度及婚姻狀況與前6名兒童的母親相同或相近，但不飲酒的46名七歲兒童為對照租(稱為乙組).測定兩組兒童的智商，結(jié)果如下：每周一題14第24頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五甲組67819乙組469916人數(shù)智商平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差智商組別由此結(jié)果推斷母親嗜酒是否影響下一代的智力？若有影響，推斷其影響程度有多大?提示前一問題屬假設(shè)檢驗問題后一問題屬區(qū)間估計問題第25頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五智商一般受諸多因素的影響.從而可以本問題實際是檢驗甲組總體的均值是否比乙組總體的均值偏小?若是，這個差異范圍有多大?前一問題屬假設(shè)檢驗，后一問題屬區(qū)間估計.解假定兩組兒童的智商服從正態(tài)分布.第26頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五由于兩個總體的方差未知，而甲組的樣本容量較小，因此采用大樣本下兩總體均值比較的U—檢驗法似乎不妥.故當(dāng)為真時，統(tǒng)計量采用方差相等(但未知)時，兩正態(tài)總體均值比較的t—檢驗法對第一個問題作出回答.為此,利用樣本先檢驗兩總體方差是否相等，即檢驗假設(shè)第27頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五拒絕域為

第28頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五未落在拒絕域內(nèi)，故接受.即可認(rèn)為兩總體方差相等.下面用t—檢驗法檢驗是否比顯著偏小？即檢驗假設(shè)當(dāng)為真時，檢驗統(tǒng)計量

第29頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五其中

嗜酒會對兒童智力發(fā)育產(chǎn)生不良影響.落在拒絕域內(nèi)，故拒絕.即認(rèn)為母親第30頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五下面繼續(xù)考察這種不良影響的程度.為此要對兩總體均值差進行區(qū)間估計.取

于是置信度為99%的置信區(qū)間為

第31頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五由此可斷言：在99%的置信度下，嗜酒母親所生孩子在七歲時的智商比不飲酒的母親所生孩子在七歲時的智商平均要低2.09到39.91.第32頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五故限制顯著性水平的原則體現(xiàn)了“保護零假設(shè)”的原則.[注]大家是否注意到，在解決問題時，兩次假設(shè)檢驗所取的顯著性水平不同.前者遠在檢驗方差相等時，取;在檢驗均值是否相等時取.比后者大.為何這樣取呢?因為檢驗的結(jié)果與檢驗的顯著性水平有關(guān).小，則拒絕域也會小，產(chǎn)生的后果使零假設(shè)難以被拒絕.第33頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五在較大時,若能接受,說明為真的依據(jù)很充足;同樣，在很小時，我們?nèi)匀痪芙^.說明不真的理由就更充足.說明在所給數(shù)據(jù)下，得出相應(yīng)的本例中,對,仍得出可被接受,及對,可被拒絕的結(jié)論.結(jié)論有很充足的理由.第34頁，共39頁，2023年，2月20日，星期五另外在區(qū)間估計中，取較小的置信若反之,取較大的置信水平，則可水平(即較大的置信度),從而使得區(qū)間估計的范圍較大.減少估計區(qū)間的長度，使區(qū)間估計精確提高，但相應(yīng)地區(qū)間估計的可靠度降低了，即要冒更大的風(fēng)險.第35頁，共39頁，2023年，2月2