期望效用理論第1頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五一、個體行為決策準則（一）偏好關系效用是一種純主觀的心理感受，因人因地因時而異。偏好是建立在消費者可以觀察的選擇行為之上的。偏好關系（preferencerelation)是指消費者對不同商品或商品組合偏好的順序。它可以用一種兩維（或二元）關系（binaryrelation）表述出來。2023/4/112第2頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

1.偏好關系的表述令C為商品（或者消費）集合，C中有M種可供選擇的商品。它是M維實數空間中的一個非負子集，它總是被假定為閉集和凸集。x、y、z……是它的子集，或者稱之為商品束（commoditybundle）或者消費束（consumeboundle）。我們可以在消費束的集合上建立下面的偏好關系（preferencerelation）或者偏好順序（preferenceordering）：2023/4/113第3頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

（1）

弱偏好于x，x至少與y一樣好。（2）強偏好于x；但，不成立。（3）無差異于x、y；即：和2023/4/114第4頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

2.偏好應滿足的基本公理（Axiom）條件：（1）完備性（completeness）:

中有一種關系成立。完備性假定保證了消者具備選別判斷的能力。2023/4/115第5頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五（2）自返性（reflexivity）：，則有

自返性保證了消費者對同一商品的選好具有明顯的一貫性。2023/4/116第6頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五（3）傳遞性：

傳遞性保證了消費者在不同商品之間選好的首尾一貫性。同理：

2023/4/117第7頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

（4）連續性（continunity）對于任意的X、y，集合和是閉集，則和是開集。即如果x是一組至少與y一樣好的消費束，而且它趨近于另一消費束z，則z與y至少同樣好。這樣就可以得到一條連續的無差異曲線。

2023/4/118第8頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

（4）單調性（monotonicity），

單調性說明增加一點商品至少與原來的情況同樣好。只要商品是有益的，單調性就必然成立。強單調性說明同樣的物品，如果其中有些種類的數量嚴格多于原來的物品，消費者則必定嚴格偏好于他們。2023/4/119第9頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五且則（5）局部非飽和性（localnon-satiation）和〉0，總存在使得在技術上，局部非飽和性和單調性保證了無差異曲線具有一個負的斜率。2023/4/1110第10頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

（6）凸性（convexity）嚴格凸性（strictlyconvexity）：

凸性可理解為邊際替代率遞減。2023/4/1111第11頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五（二）確定性環境下的效用函數

1.基數效用與序數效用基數效用：19世紀的一些經濟學家如英國的杰文斯、奧地利的門格爾等認為，人的福利或滿意可以用他從享用或消費過程中所所獲得的效用來度量。對滿意程度的這種度量叫做基數效用.2023/4/1112第12頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五序數效用：20世紀意大利的經濟學家帕累托等發現，效用的基數性是多余的，消費理論完全可以建立在序數效用的基礎上。所謂序數效用是以效用值的大小次序來建立滿意程度的高低，而效用值的大小本身并沒有任何意義.2023/4/1113第13頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

2.效用函數定義如果對于有和成立，則函數關系是一個代表了偏好關系的效用函數。

2023/4/1114第14頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

定理1：

一個效用函數可以通過正單調變換而獲得另一個效用函數與原來的效用函數具有同樣的偏好關系：且

是單調遞增函數，則有：

2023/4/1115第15頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

定理2：如果消費者在消費集C上的偏好關系具有完備性、自返性，傳遞性和連續性，則存在一個能夠代表偏好順序的連續效用函數u:C→R。2023/4/1116第16頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五（三）消費者效用最大化問題

令則最大化問題為：

上述約束式為瓦爾拉斯（walrasianbudgetset）預算集。2023/4/1117第17頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

最優解：

2023/4/1118第18頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五（三）不確定性環境下的行為選擇

1.關于風險與不確定性奈特（Knight.F）《風險、不確定性和利潤〉中關于確定型、風險和不確定性的解釋：確定性：是指自然狀態如何出現已知，并替換行動所產生的結果已知。它排除了任何隨機事件發生的可能性。

2023/4/1119第19頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

風險：是指那些涉及已知概率或可能性形式出現的隨機問題，但排除了未數量化的不確定性問題。即對于未來可能發生的所有事件，以及每一事件發生的概率有準確的認識。但對于哪一種事件會發生卻事先一無所知。不確定性：是指發生結果尚未不知的所有情形，也即那些決策的結果明顯地依賴于不能由決策者控制的事件，并且僅在做出決策后，決策者才知道其決策結果的一類問題。即知道未來世界的可能狀態（結果），但對于每一種狀態發生的概率不清楚。2023/4/1120第20頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五由于對有些事件的客觀概率難以得到，人們在實際中常常根據主觀概率或者設定一個概率分布來推測未來的結果發生的可能性，因此學術界常常把具有主觀概率或設定概率分布的不同結果的事件和具有客觀概率的不同結果的事件同時視為風險。即風險與不確定性有區別，但在操作上，我們引入主觀概率或設定概率分布的概念，其二者的界線就模糊了，幾乎成為一個等同概念。2023/4/1121第21頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五2.不確定性下的偏好選擇（1）不確定性下選擇的表述方法自然狀態：特定的會影響個體行為的所有外部環境因素。通常我們用S表示自然狀態的集合：S={1，…，S}。自然狀態的特征：自然狀態集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一種狀態發生）2023/4/1122第22頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

自然狀態的信念（belief）：個體會對每一種狀態的出現賦予一個主觀的判斷，即某一特定狀態s出現的概率P（s）滿足：

0≤p（s）≤1，這里的概率p（s）就是一個主觀概率，也成為個體對自然的信念。不同個體可能會對自然狀態持有不同的信念，但我們通常假定所有的個體的信念相同，這樣特定狀態出現的概率就是唯一的。2023/4/1123第23頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五①狀態依存結果的優序選擇（狀態偏好）

用彼此排斥和詳盡無遺的自然狀態組成的集合，而不是用概率來反映個人所面臨的隨機性。假定：X:不確定環境下可選擇行為的集合;S:可能的狀態集合

C:可選擇行為的結果的集合行為xX和sS結合產生的結果cC

函數把行為、狀態和結果對應起來：2023/4/1124第24頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

當經濟主體在可行的行為之間進行選擇時，他們以被選行為產生的結果為基礎進行選擇。但是行為對于決定特別的結果來說，常常是不充足的。其他因素會與選擇的行為相互作用產生一個特別的結果。這些其他因素，超越了經濟行為人的控制，被稱為自然狀態。

大量的自然實狀態的存在使得目前所采取的任何行為的將來結果是不確定的。2023/4/1125第25頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

在決定行為的過程中，主體對自然狀態是不確定的，這些狀態將共同確定被選行為的結果。選擇行為a就為每一自然狀態決定了一個結果c=，對X中行為的選取從而被視為對依賴狀態（或偶然狀態）結果的選取。2023/4/1126第26頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

通過觀察函數f可以容易區分確定條件下和不確定條件下的決策。若c關于自然狀態是不變的，即自然狀態不會影響產生的結果，則可以認為是確定條件下的決策。若不同的狀態導致不同的結果，則可以認為是不確定條件下的決策2023/4/1127第27頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五②行為結果的概率分布選擇既然在行為、現實的狀態和結果之間的關系通過函數來描述，

在S上定一個概率測度：對任意xX，存在一個C上的概率分布：

這個概率表述表明，在一個行為既定的情況下，特定結果出現的概率等于導致這個特定結果出現的可能性狀況的概率。由于某個特定行為結果發生的概率取決于經濟主體選擇的行為，因此，我們可以等價地認為，對于行為2023/4/1128第28頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五結果的選擇等同于對某個特定結果的概率分布的選擇。因此，不確定性條件下的行為選擇可以理解為行為主體在不同的概率分布中進行選擇。這意味著，行為主體表現自己偏好關系的可行行為集合X必須具備如下性質：

在這種情況下，我們可以用定義在C上的一個函數P（.）來表示行為x，其中，p（c）是使選擇x的結果等于c的概率。2023/4/1129第29頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

因此，對于所有的c∈C，

p（c）≥0且2023/4/1130第30頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五（2）不確定性下的理性決策原則

A.數學期望最大化原則

數學期望收益最大化準則是指使用不確定性下各種可能行為結果的預期值比較各種行動方案優劣。這一準則有其合理性，它可以對各種行為方案進行準確的優劣比較，同時這一準則還是收益最大準則在不確定情形下的推廣。問題：是否數學期望最大化準則是一最優的不確定性下的行為決策準則？2023/4/1131第31頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

典型案例：圣彼德堡悖論（SaintPetersburyParadox）考慮一個投幣游戲，如果第一次出現正面的結果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得2元，前兩次反面，第三次正面得4元，……如果前n-1次都是反面，第n次出現正面得元。問：游戲的參加應先付多少錢，才能使這場賭博是“公平”的？2023/4/1132第32頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

該游戲的數學期望值：但實驗的結果表明一般理性的投資者參加該游戲愿意支付的成本（門票）僅為2-3元。

圣彼德堡悖論：面對無窮的數學期望收益的賭博，為何人們只愿意支付有限的價格？

2023/4/1133第33頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

B.期望效用原則

DanielBernoulli（1700-1782）是出生于瑞士名門著名數學家，1725-1733年期間一直在圣彼德堡科學院研究投幣游戲。其在1738年發表《對機遇性賭博的分析》提出解決“圣彼德堡悖論”的“風險度量新理論”。指出人們在投資決策時不是用“錢的數學期望”來作為決策準則，而是用“道德期望”來行動的。而道德期望并不與得利多少成正比，而與初始財富有關。窮人與富人對于財富增加的邊際效用是不一樣的。2023/4/1134第34頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五即人們關心的是最終財富的效用，而不是財富的價值量，而且，財富增加所帶來的邊際效用（貨幣的邊際效用）是遞減的。

伯努利選擇的道德期望函數為對數函數，即對投幣游戲的期望值的計算應為對其對數函數期望值的計算：

2023/4/1135第35頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

其中，為一個確定值。另外，Crammer（1728）采用冪函數的形式的效用函數對這一問題進行了分析。假定：

則

2023/4/1136第36頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

因此，期望收益最大化準則在不確定情形下可能導致不可接受的結果。而貝努力提出的用期望效用取代期望收益的方案，可能為我們的不確定情形下的投資選擇問題提供最終的解決方案。根據期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一樣好；20%的損失也不一定與2倍的10%損失一樣糟。2023/4/1137第37頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

C.后期望效用理論：由阿萊斯悖論等各種試驗引發的新的期望效用理論，如前景理論、遺憾理論、加權的期望效用理論、非線性的期望效用理論等等行為金融學和非線性經濟學對期望效用的新的解釋。

2023/4/1138第38頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五二、VNM期望效用函數

期望效用理論是不確定性選擇理論中最為重要的價值判斷標準。期望效用函數作為對不確定性條件下經濟主體決策者偏好結構的刻畫，具有廣泛的用途。（一）效用函數的表述和定義不確定性下的選擇問題是其效用最大化的決定不僅對自己行動的選擇，也取決于自然狀態本身的選擇或隨機變化。因此不確定下的選擇對象被人們稱為彩票（Lottery）或未定商品（contingentcommodity）

2023/4/1139第39頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

設想消費者參加一次抽獎（lottery），所有可能產生的結果為C，假定C的結果是有限的，我們用N=1，…，N來標示這些結果，每一結果發生的概率為，這樣，我們可將該簡單抽獎（simplelottery）記為：比簡單抽獎更為復雜的是復合抽獎（compoundlottery），其抽獎結果是眾多的簡單抽獎。復合抽獎記為：2023/4/1140第40頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

其中，是一個簡單抽獎。對于每一個復合抽獎，我們可以計算出一個引至抽獎（reducedlottery）。它將復合抽獎簡化為簡單抽獎。任何復合抽獎

的引至抽獎，可以通過下面的向量加法獲得：2023/4/1141第41頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五期望效用表述（expectedutilityrepresenting）：對一件抽獎商品的期望效用表示為對抽獎結果的效用函數的數學期望:

其中，是VNM效用函數。

更一般地，我們可以表述為：2023/4/1142第42頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

其中，是一個隨機變量。其含義為：一種未定商品的效用等于該未定商品所涉及的確定商品的效用的均值。2023/4/1143第43頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五（二）期望效用函數的公理化陳述

1.不確定性下的偏好關系表述個體所有可選擇抽獎的集合稱為抽獎空間，記為：同樣地，假設個體在抽獎空間上存在一個偏好關系，即可以根據自己的標準為所有抽獎排出一個優劣順序。2023/4/1144第44頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

2.基本公理公理1：2023/4/1145第45頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

第一式說明，抽獎的概念同樣適合于確定性財富。某一確定的擁有x，相當于抽獎的中簽率為100%，其價值為x.因此，確定商品空間是未定商品空間的一個子集。第二式則表明，同樣一張抽獎有兩種表示形式；第三式是復合抽獎原理的體現，它說明經濟主體只關心抽獎結果最終的概率分布，而不在乎抽獎（彩票）的構成形式。2023/4/1146第46頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

公理2：連續性（continuity）：對于任意的下面的集合為閉集：和

2023/4/1147第47頁，共53頁，2023年，2月20日，星期五

連續性假設將保證概率的微小變化不會改變原有的兩個抽獎商品之間的偏好順序。如：如果消費者對“快樂和安全的開車旅行”的偏好強于“待在家中”，那么，他對于一個“快樂與安全的開車旅行”與一個具有充分小、但不為0的正概率的“發生車禍導致死亡”的混合結果的偏好，仍然要強于“待在家中”。連續性假設保證了效用函數的連續性。該公理也稱之為阿基米德公理（Archimede