#/6領航考研名師鐵軍2006年考研數學預測38題31-38［例31］每箱產品有10件，其次品數從0到2是等可能的。開箱檢驗時，從中任取一件，如果檢驗為次品，則認為該箱產品不合格而拒收。由于檢驗誤差，假設一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被漏查誤判為正品的概率為10%。求：(1)檢驗一箱產品能通過驗收的概率；(2)檢驗10箱產品通過率不低于90%的概率［詳解］(1)設白="一箱內有i件次品"，i=0,1,2。則A0,AjA2兩兩不相容，其和為Q,構成一個完備事件組。設事件B="一箱產品通過驗收”，B1="抽到一件正品”。依題意，有P(A)=1,P(BIA)="i=0,1,2；P(B?B)=0.98,P(B?B)=0.10TOC\o"1-5"\h\zi3 1i10 1 1應用全概公式,得P(B)=￡P(A)P(BIA)=1￡1°^=0.91 i1i3 10_i=0 i=0??.P(B)=1-P(B)=1—0.9=0.1.11又由于81與B1為對立事件，再次應用全概公式有P(B)=P(B1)P(BIB1)+P(B1)P(BIB1)=P(BB1)+P(BB1)=0.9x0.98+0.1x0,1=0,892(2)由于各箱產品是否通過驗收互不影響，則設10箱產品中通過驗收的箱數為X，X服從參數為n=10，P=P(B)=0.892的二項分布。X..?尸{正>90%}=P{X>9}=P{X=9}+P{X=10}=0.89210+010(0.892)9.0.108=0.705［例32］設隨機變量X的密度函數為f(%)=［1-M,-1<*<1求隨機變量r=X2+1的分布函數與密度函數。X 10,其他［詳解］令y=%2+1，-1<%<1,0<%<1,0<X2<1,1<*2+1<2.：3(y)取非零值的X圍為［1,2］。當1<y<2時，有

F(y)=P(Y<y)=P(X2+1<y)Y=P(-,；口<X<ZFi)=J上(1一|x|)dx=2Jy-1(1-x)dxy-1- 1 . tt- 7=2(x——x2)|y-1=1-(1-、y-1)2^2 。0，y<1???Y=X2+1的分布函數 F(y)=<1-(1-%：y-1)2,1<y<21,y>2Y的密度函數為fY的密度函數為f(y)=F'(y)={4:yrj1 -1,1<y<20,其他注意：本題中y=x2+1(-1<x<1)不是單調函數，不能直接用公式求解。此例表明，先考慮隨機變量的取非零值的X圍，然后在此X圍內求分布函數值可以簡化運算。至于取非零值X圍之外的分布函數值，可以由分布函數的性質決定其為0或1。［例33］袋中有n只黑球，每次從中隨意取出一球，并換入一個白球，如此交換共進行n次。已知袋中白球數的數學期望為a，則第n+1次從袋中任取一球為白球的概率是［詳解］依題意，袋中白球數是一個隨機變量，X可取0，1,2,……，n，且EX=EkP(x=k)=ak=0若記B="第n+1次從袋中任取一球為白球"，A="第n次交換后袋中有k個白球"=a=4。k則由全概率公式，得P(B)=?(A)P(BIA)kkk=0=￡p(X=k)-P(BIX=k)k=0=￡p(X=k)--=1工k-P(X=k)=ann nk=0 k=0［例34］設一臺機器上有3個部件，在某一時刻需要對部件進行調整，3個部件需要調整的概率分別為0.1,0.2,0.3,且相互獨立，任一部件需要調整即為機器需要調整。(1)求機器需要調整的概率；(2)記X為需要調整的部件數，求期望E(X)、方差D(X)。［詳解］設事件A為機器要調整，記A為第i個部件需要調整，i=1,2,3.i(1)顯然A=A+A+A，則P(A)=1-P(A)=1-P(A^A^A-)=1-P(A?A?A)(根據事件1 2 3 1 2 3 123的獨立性知)=1-P(A)P(A)P(A)=1-0.9X0.8X0.7=0.496.123(2)求期望E(X)、方差D(X)有兩種解法：解法一：先求X的分布律，根據分布律再求數學期望和方差。根據X的意義，顯然有X=0,1,2,3.事件的記法如(1),并注意到事件之間的獨立性，有P(X=0)=P(彳?T?T)=0.9X0.8X0.7=0.504;123TOC\o"1-5"\h\zP(X=1)=P(A?A?A)+P(A?A?A)+P(A?A?A)123 123 123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)

123 123 123=0.1X0.8X0.7+0.9X0.2X0.7+0.9x0.8x0.3=0.398；P(X=2)=P(AAA)+P(AAA)+P(AAA)123 123 123=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)123 123 123=0.1x0.2x0.7+0.1x0.8x0.3+0.9x0.2x0.3=0.092；P(X=3)=P(AAA)=P(A)P(A)P(A)=0.1x0.2x0.3=0.006.123 1 2 3所以，X~(0 1 2 3所以，X~10.5040.3980.0920.006)E(X)=0x0.504+1x0.398+2x0.092+3x0.006=0.6，D(X)=E(X2)-(EX)2=12x0.398+22x0.092+32x0.006-(0.6)2=0.46解法二：可以不求X的分布律，引進新的隨機變量，利用期望、方差的性質求出期望E(X)、方差D(X)。V［1,第i個部件需要調整，即事件A發生現引進新的隨機變量X定義如下:iTOC\o"1-5"\h\zX=< ..一一一一 現引進新的隨機變量X定義如下:ii|0,第i個部件不需要調整因此我們有 XX, E(X)=2EX,iii=1 i=1而X服從(0-1)分布，E(X)=P(X=1)=P(A)，i ii i所以 E(X)=XEX=P(A)+P(A)+P(A)=0.1+0.2+0.3=0.6，i1 2 3i=1又因為D(X)=P(X=1)P(X=0)=P(A)P(A)，且X之間相互獨立，i i i ii i所以D(X)=ZD(X)=ZP(A)P(A)=P(A)P(A)+P(A)P(A)+P(A)P(A)i ii 11 22 33i=1 i=1=0.1x0.9+0.2x0.8+0.3x0.7=0.46.［評注］本題中解法二比解法一簡單得多,這就是引進新的隨機變量的好處,但如何引進新的隨機變量是一個難點。一般在考研試題中，總是引進X服從(0-1)分布，用獨立性和2X來簡化計算。ii

i［例35］假設一批共100件產品,其中一、二、三等品分別為80,10,10件。現在從中任抽取一件,記(k—1,2,3)(k—1,2,3)*X—1 ,kI0,若不然試求：(1)隨機變量X1和X2的聯合分布；(2)隨機變量X1和X2的相關系數。［詳解］引進事件A—{抽到k等品}(k—1,2,3)k由條件，知P(A1)—0.8,P(A2)—0.1,P(A3)—0.1.易見，(X］,X2)有四個可能值：(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)P{X—0,X—0}—P(A)—0.1,TOC\o"1-5"\h\z12 3P{X—0,X—1}—P(A)—0.1,12 2P{X—1,X—0}—P(A)—0.8,12 1P{X—1,X—1}—P(。)—0.12又「P(XX―0)—1EXX―012 12又,:EX—0.8,DX—0.8x0.2—0.16；EX—0.1,DX—0.1x0.9—0.091 1 2 ,1cov(X,X)—EXX-EXEX—-0.08；.p—cov(X1,X2)=二.°g—_21 2 12 1 2 \DXdDX <0,16<0.09 31 2［例36］—生產線上源源不斷地生產成箱的零件，假設每箱平均重50千克，標準差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保證不超載的概率大于0.977？(0(2)—0.977)。［詳解］以X(i—1,2,…n)表示裝運的第i箱產品的實際重量，n為所求箱數。由條件X,X，…X是獨立同

i 12n分布隨機變量(但具體分布未知)，因而總重量為丁=X+X+…+X。12 n由條件知EX=50千克,o—DXT=5千克.ET—50n千克,0T—DDXT=5、n千克。又???隨機變量X,X，…X獨立同分布且數學期望和方差都存在，故根據列維―林德伯格中心極限定理，12n只要n充分大，隨機變量T就近似服從正態分布N(50n,25n)。由題意知，所求n應滿足條件：PT<500。}—P1T-50n<1000-10n；>0.977［5t：n nn J當n充分大時變量U-T-50n)/nn近似服從N(0，1)，可見PU<2}=0.977，從而有1000-10n>2 n<98. 即最多只能裝98箱。nn［例37］設總體X為連續型隨機變量，概率密度函數為f(%)，從該總體抽取容量為n的簡單隨機樣本X,X，…,X。試求在曲線f(%)下方，統計量M—max{X}對應的統計值m-max{1}的右方的(曲邊形)12 n 1<i<ni 1<i<ni

面積S的數學期望。［詳解］設f(%)為總體X的分布函數，則S=kf(%)dx=1」mf(x)dx=1-F(m)m -8先求M=max{xj的分布函數G(m)的概率密度g(m)。1<i<n1???M的分布函數G(m)=P(M<m)=P(max{X}<m)1<i<n=P收<m,X<m，?一X<m)1 2 n=P收<m)P(X<m)?一P(X<m)12 n=Fn(m):.M的概率密度g(m)=G(m)=Fn((mJ=nFn-1(m)f(m)因此，計算S的數學期望：ES=E(1-F(M))=1-EF(M)=1-P8F(m)?g(m)dm-8=1一卜8nFn(x)?g(x)dx-8=1-卜8nFn(x)f(x)dx-8=1-卜8nFn(x)dF(x)令t=F（x）1一J1ntndt=1 n—=== 0 n+1n+1［例38］已知某種材料的抗壓強度X~N（四,02），現隨機地抽取10個樣品進行抗壓試驗，測得數據如下（單位：105Pa）:樣本均值x=457.50，樣本方差s2=35.222.（1）求平均抗壓強度日的矩估計值；（2）求平均抗壓強度日的95%的置信區間；（3）若已知o=30，求日的95%的置信區間.［詳解］（1）口=x=457.50.Sy—,X+nnSSy—,X+nnSnn（2）設總體X?N（目,o2）,02與從均未知，則從的置信水平為1-a的置信區間為X-\a其中X=t(n-1),P(t>t(n-1))=一.TOC\o"1-5"\h\za a 22 2性質：t (n-1),=t(n-1). S=:—￡(X-X)2.1-a a Vn—1i\o"CurrentDocument"2 2 i=1由題意知這里是02未知的情況，用S2代替02.而樣本標準差S=35.22,i-a=