數學文化數學思想與方法第1頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五一、數學思想與方法概述

數學思想：關于數學概念、理論、方法以及形態的產生與發展規律的認識，是對數學本質的認識，對數學自身規律性的認識。數學方法：數學思想指導下的數學問題解決過程中所運用的具體手段（或途徑）。數學思想方法：人們混用數學思想或數學方法，有時不一定要嚴格區分，合稱數學思想方法。數學思想方法是數學的靈魂，重大數學成果的取得，往往與數學思想方法的突破分不開。我們不只是為了了解、理解一些具體的數學思想方法，更著眼于在認識論、世界觀和方法論等方面有所提高。第2頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五數學思想方法比具體的數學知識更重要數學在其漫長的發展過程中，不僅建立了嚴密的知識體系，而且形成了一整套行之有效的思想和方法．日本數學家和數學教育家米山國藏在從事多年的數學教育研究之后，說過這樣一段話：“學生們在初中或高中所學到的數學知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應用，因而這種作為知識的數學，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了．然而不管他們從事什么職業，那種銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發揮著作用”。在提高人的素質中發揮重要作用的是在長期數學學習中逐步形成的數學精神和數學思想方法，而不是具體數學知識．第3頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五蘊含的思想與抽象出來的思想數學思想，包括蘊含在數學知識的發生發展過程中的思想以及從中抽象出來的成為規律性的思想[美]M．克萊因的《古今數學思想》（MathematicalThoughtfromAncienttoModernTime）（4冊）蘇聯亞歷山大洛夫等于1956年發表的著作《數學——它的內容、方法和意義》，當屬前一類思想國內，徐利治等一批數學家的工作屬后者。第4頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五數學教學的過度包裝今天，學生們的數學知識，主要是從數學課程中獲得的。通常的數學課程給出的是一個系統的邏輯敘述，這些課程經過編纂者的錘煉，成為“完美”的典范。這就使學生們淹沒在成串的定理中，并產生一種幻象：數學就是從定義到定理，數學家們都是無堅不克的英雄。第5頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五歷史卻恰恰相反“課本中的字斟句酌的敘述，未能表現出創造過程的斗爭、挫折，以及在建立一個可觀的結構之前，數學家所經歷的艱苦漫長的道路。學生一旦知道這一點，他將不僅獲得真知灼見，還將獲得頑強地追究他所攻問題的勇氣，并且不會因為他自己的工作并非完美無缺而感到頹喪。實在說，敘述數學家如何跌跤，如何在迷霧中摸索前進，并且如何零零碎碎得到他們的成果，應能使搞研究工作的任一新手鼓起勇氣。”第6頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五二、18世紀前的數學思想方法提出了許多具體的方法，以解決數學中的實際問題古希臘的亞里士多德與歐幾里得提出了公理方法，將大量的、零散的幾何知識系統化，并由歐幾里得等人完成了《幾何原本》。中國古代數學家劉徽提出了“割圓術”，以解決長期存在的、圓周率計算不精確的問題，其中包含著極限思想方法的萌芽。英國數學家納皮爾發明了對數方法，以解決天文觀測及貿易中存在的繁重的數字計算問題。第7頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五法國數學家帕斯卡確立了數學歸納法，以解決數學論證中存在的不嚴密的問題。法國數學家、哲學家笛卡爾提出了坐標法、用代數方法研究幾何問題，并從而開創了不同數學分支相結合的思想方法。英國的牛頓與德國的萊布尼茨創立了無窮小量方法。瑞士數學家歐拉和法國數學家拉格朗日共同建立了變分法，以解決“等周問題”、“最速降線問題”等長期解決不了的極大與極小問題等。第8頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五三、近現代數學思想與方法創立了一批具有突破性、系統性的思想方法，促使數學的某些分支發生了革命性的變革；

主要體現在代數學、分析學分支以及公理化體系、數學機械化等領域第9頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五1.代數學中群論的思想方法。19世紀以來，人們在探求五次和五次以上代數方程的代數解法問題上，打破了百余年來毫無進展的僵局。首先由挪威青年數學家阿貝爾證明了五次方程代數解法的不可能性。其次，又由法國青年數學家伽羅華提出了“群”的概念，后發展為一整套群論的思想方法，徹底地解決了五次及五次以上方程的求解問題。第10頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五數學是研究相互關系的學問不僅如此，群論的思想方法，在代數學的其他分支、拓撲學、函數論乃至數學以外的許多領域都得到了廣泛的應用。由于群論的誕生，使傳統代數學所研究的對象由具體的“數”擴充為更加抽象的“量”，由量之間的代數運算關系發展為更為一般的關系，從而使代數這門學科發生了轉折性的變化。第11頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五2.分析學中的極限與集合論的思想方法19世紀30年代至50年代，法國的柯西與德國的魏爾斯特拉斯等人，在給出函數、極限等概念以精確化描述的基礎上，又通過嚴格化了的極限思想方法與實數理論改造了微積分，并使其嚴密化和標準化。這是微積分學科發展史上的一個重要里程碑。1874年，德國數學家康托爾提出了集合論思想，建立起無限集的勢、序型等概念以及無限集合論和超限數理論，證明了代數集合可以和整數集合一一對應，所有實數集合不可數性，發展了無限集合勢的比較原理，引入了連續公理即康托爾公理等，并從而創立了集合論的理論。這一理論的創立，不僅為微積分的理論奠定了穩固的基礎，而且對整個數學基礎的研究，尤其對現代數學結構的探討，也具有巨大而深遠的促進作用。第12頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五3.公理化思想這一時期，還形成了影響廣泛的數學公理化方法。到了19世紀末20世紀初，由于非歐幾何、無理數理論、集合論的建立，有力地促進了數學公理化方法研究的開展。1872年，德國數學家克萊因發表了“愛爾蘭根綱領”，提出用變換群的觀點，給出各種幾何學的綜合分類，以統一整個幾何學。1899年，德國數學家希爾伯特發表了《幾何學基礎》一書，使公理化方法深入到數學的更多分支。1908年，集合論完成了公理化，本世紀20年代，又實現了代數學的公理化，從而使公理化方法應用于數學各個分支。這場公理化運動，對數學的影響是前所未有的。第13頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五4.模糊數學方法模糊數學是研究和處理模糊性現象的數學。所謂模糊性，主要是指客觀事物的差異在中介過渡時所呈現的“亦此亦彼”的特征。在社會、自然現象中，確實存在著不少“非此即彼”的現象，一是一、二是二，絕對不能混淆，這也是康托爾集合的特點。但也有一些對立概念之間沒有絕對分明的界限，如：高個子與矮個子，優秀與良好等。也就是說，這些概念都沒有絕對明確的外延。沒有明確外延的概念，叫做模糊概念。模糊概念不能用康托爾集合論來刻劃，于是產生了刻劃模糊概念的模糊集合論，產生了模糊數學。第14頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五模糊數學的實質模糊數學的實質是以數學的精確性，研究和處理現象的模糊性。它和概率論同屬不確定數學，但概率論的研究對象是事物的偶然現象，模糊數學的研究對象是事物的模糊現象，它們之間有深刻的聯系，又有本質的不同。人腦能很便捷地處理的模糊信息，如對事物的辨識、用力的平衡等。計算機的模糊識別與人工智能是計算機科學的發展方向之一第15頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五馬克思和恩格斯對數學思想的闡發在這一時期，馬克思和恩格斯在自己的著作，尤其是《數學手稿》和《自然辯證法》中，闡發了極其豐富的數學思想，從思想方法角度論述了數學發展史上若干重大成果和著名數學家。他們的論述是數學思想方法研究的珍貴財富。但遺憾的是，這些論述未能在當時發表和發揮其應有的作用。第16頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五概括：近代數學中的思想與方法數學思想：代數、函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化、特殊與一般、或然與必然等思想。數學方法：待定系數法、換元法、配方法、割補法、反證法、數學歸納法等。第17頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五概括：現代數學基本思想方法符號化思想：從記號到符號，“驚人的方式縮短思維”（萊布尼茨）算法化思想：對數學問題進行算法編程----機械化集合思想：數學思想的現代語言，在精確地認識無限的基礎上，重新認識和解釋數學的思想極限思想：是有限和無限的辯證統一，是從有限進入無限的鑰匙變量思想：解析幾何、微積分思想（線性化、統計思想：以掌握事物總體的數量特征和規律為目標，它所關心的乃是某些規定的總體或集合，而不是構成總體的各別元素或個體。

模糊數學思想：以數學的精確性，研究和處理現象的模糊性第18頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五數學思想與方法研究數學家們一方面繼續創造各種數學思想方法，并用來推進數學的發展，另一方面，他們中的一部分，特別是一些著名數學家，集中精力從事數學思想方法理論的研究，并發表了一大批這方面的論著。形成一個研究方向：數學方法論。數學思想方法研究最早系統發表見解的要算德國著名數學家希爾伯特于1900年在巴黎國際數學家代表會上的演講《數學問題》。在這篇演講中，他精辟地闡述了重大數學問題的特點及其在數學發展中的作用，并列舉了“希爾伯特23個問題”。他的演講是一篇重要的數學方法論著作。第19頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五法國數學家Poincare于1903年至1908年之間發表了《科學與假設》，《科學之價值》、《科學與方法》等著作(均有中譯本)，其中，討論了數學方法論的問題。后來，德國數學家赫爾德發表了《數學方法論》一書，書中對數學中的演繹方法、歸納方法、公理方法與假設方法等進行了系統的論述。除前面提到過的克萊因的《古今數學思想》、亞歷山大洛夫等《數學——它的內容、方法和意義》外，還有1954年，美籍匈牙利著名數學家教育家、斯坦福大學教授G·波利亞發表了《數學與猜想》一書。波利亞在自己的教育實踐中認識到，數學中的發現常常是從估計、猜想開始的，而這些估計、猜想經過實踐檢驗，再經過嚴格論證推理，最后獲得定理、公式等結論。之前，他還發表《怎樣解題》、《數學的發現》等著作第20頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五第21頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五米山國藏：《數學的精神、思想與方法》1969年，日本著名數學家、教育家米山國藏發表了《數學的精神、思想與方法》。本書以數學中一些富有啟發性的實例為依據，系統地論述了貫穿于整個數學的數學精神，一些重要數學思想與若干有效的數學方法。它是把著眼點放在培養人們數學能力和創造精神的一本理論專著。第22頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五國內數學思想與方法研究近些年來，我國數學家徐利治十分注重數學方法論的研究。他陸續發表了《淺談數學方法論》、《數學方法論選講》和《數學抽象度概念與抽象度分析法》等論著。黃耀樞的《數學基礎研究的歷史與現狀》，鄭毓信的《數學直覺淺析》、《數學思維與數學方法論》等。解恩澤、趙樹智：《數學思想方法縱橫論》、徐本順、解恩澤：《數學猜想——它的思想與方法》，《關于數學猜想的幾個問題》朱梧槚、肖奚安的《數學方法論ABC》，張奠宙、過伯祥的《數學方法論稿》，《現代數學思想講話》等第23頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五四、公理化方法所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設）出發，按照邏輯規則推導出其他命題，建立起一個演繹系統的方法。恩格斯曾說過：數學上的所謂公理，是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定。公理化方法能系統的總結數學知識、清楚地揭示數學的理論基礎，有利于比較各個數學分支的本質異同，促進新數學理論的建立和發展。現代科學發展的基本特點之一，就是科學理論的數學化，而公理化是科學理論成熟和數學化的一個主要特征第24頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五幾何基礎公理化方法發展的第一階段是由亞里斯多德的完全三段論到歐幾里得《幾何原本》的問世。大約在公元前3世紀，希臘哲學家和邏輯學家亞里斯多德總結了幾何學與邏輯學的豐富資料，系統地研究了三段論，以數學及其它演繹的學科為例，把三段論作為公理，由此推導出其它所有三段論法，從而使整個三段論體系成為一個公理系統．因此，亞里斯多德在歷史上提出了第一個成文的公理系統．歐幾里得把邏輯學的公理演繹方法應用于幾何學，從而完成了數學史上的重要著作《幾何原本》．第25頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五邏輯學的三段論三段論是由兩個直言判斷作為前提和一個直言判斷作為結論而構成的推理，其中包含有（而且只有）三個不同的項。例如：凡科學都是有用的凡社會科學都是科學所以，凡社會科學都是有用的第26頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五公理化方法發展3階段與相應的理論體系典范公理化方法的發展大致經歷了這樣三個階段：實質（或實體）公理化階段：《幾何原本》形式公理化階段：《幾何基礎》純形式公理化階段，ZFC公理系統第27頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五《幾何原本》的不足《幾何原本》雖然開創了數學公理化方法的先河，然而它的公理系統還有許多不夠完善的地方，其主要表現在以下幾個方面：(1)有些定義使用了一些還未確定涵義的概念；(2)有些定義是多余的；(3)有些定理的證明過程依賴于圖形的直觀；(4)第五公設(即平行公設)內容復雜，陳述累贅，缺乏說服力，并不自明第28頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五公理化與非歐幾何非歐幾何的建立在數學史上具有劃時代的意義，標志著人們對空間形式的認識發生了飛躍，從直觀空間上升到抽象空間．在建立非歐幾何的過程中，公理化方法得到了進一步的發展和完善．第29頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五德國數學家帕斯(MoritzPasch，1843-1930)第一次從理論上提出了形式公理學的思想他通過對射影幾何公理化基礎的純邏輯的探討，第一次從理論上提出了形式公理學的思想．他認為，幾何學如果要成為一門真正的演繹科學，最根本的是推導的進行必須完全獨立于幾何概念的涵義，也必須不以圖形為依據．就是說，一個公理系統必然要有本系統里不定義的概念，通過這些概念就可以給其它概念下定義，而不定義概念的全部特征必須由公理表達出來．公理可以說是不定義概念的隱定義．有些公理雖然是由經驗提出來的，但當選出一組公理之后，必須不再涉及經驗及物理意義．公理決不是自明的真理，而是用以產生任一特殊幾何的假定．帕斯的這些思想已經表達了形式公理系統的特征．第30頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五形式公理系統的形成1899年希爾伯特《幾何學基礎》一書的發表，不僅給出了歐氏幾何的一個形式公理系統，而且解決了公理化方法的一系列邏輯理論問題．這本著作成為形式公理學的奠基著作．希爾伯特被認為是形式主義的奠基人。希爾伯特幾何公理系統，除了有幾何模型外，還可以有其它模型(如算術模型)，所以它是一個形式公理系統，可以把其初始概念和公理看成是沒有數學內容的，初始概念和公理完全可以用形式語言來陳述．第31頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五公理化方法的滲透公理化方法在幾何方面的成功，促使公理化方法滲透到數學的許多分支，也包括其它科學領域。數理邏輯、抽象代數、泛函分析、拓撲學等，以及理論力學（Banach,1940）相對論等。數理邏輯中的典型代表就是ZF公理系統，由策梅洛(Zermelo)和弗倫克爾(Fraenkel)等提出。ZF公理系統再加上選擇公理就構成了ZFC公理系統第32頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五公理化方法的意義與價值

當一門科學積累了相當豐富的經驗知識，需要按照邏輯順序加以綜合整理，使之條理化、系統化，上升到理性認識的時候，公理化方法便是一種有效的手段。公理化方法對建立科學理論體系，訓練人的邏輯推理能力，系統地傳授科學知識，以及推廣科學理論的應用等方面起到有益的作用。公理化方法對于進一步發展科學理論也有獨特的作用．例如在代數方面，由于公理化方法的應用，在群論、域論、理想論等代數分支形成了一系列新的概念，建立了一系列新的聯系并導致了一系列深遠的結果；在幾何方面，由于對平行公設的研究導致了非歐幾何的創立．因此，公理化方法也是在理論上探索事物發展規律，作出新的發現和預見的一種重要方法．第33頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五泛函分析簡介泛函分析（FunctionalAnalysis）是現代數學的一個分支，隸屬于分析學，其研究的主要對象是函數構成的空間。泛函分析是由對變換（如傅立葉變換等）的性質的研究和對微分方程以及積分方程的研究發展而來的。使用泛函作為表述源自變分法，代表作用于函數的函數。巴拿赫（StefanBanach）、Hilbert是泛函分析理論的主要奠基人.第34頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五泛函分析的公理化思想方法泛函分析主要研究定義在Banach空間上的線性映射與線性泛函的性質Banach空間：完備的賦范線性空間賦范線性空間距離空間完備Hilbert空間第35頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五曾遠榮，我國泛函分析第一代數學家關肇直，中國泛函分析領路人田方增，中國科學院數學研究所的籌建者第36頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五五、數學機械化思想吳文俊和吳方法

中國科學院院士第三世界科學院院士首屆國家最高科技獎國家第一屆自然科學獎最高獎一等獎自動推理的最高獎Herbrand獎

2006邵逸夫數學獎第37頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五1997年．吳文俊獲得“赫布蘭自動推理杰出成就獎”，2006年，獲得“邵逸夫數學科學獎”前者是國際自動推理領域的最高獎，而后者被譽為數學的“東方諾貝爾獎”。我國唯一兩次獲得國家科學最高獎的數學家谷超豪院士，另一位獲得國家最高科技獎的數學家第38頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五國家最高科技獎2009年谷超豪（1926-，數學家）孫家棟（1929年-，運載火箭與衛星技術專家，中國科學院院士，國際宇航科學院院士。）2008年王忠誠（1925--，神經外科專家）徐光憲（1920--，化學家）2007年閔恩澤（1924—，石油化工催化劑專家）

吳征鎰（1919—，著名植物學家）2006年

李振聲（1931—，遺傳學家，小麥遠緣雜交的奠基人）2005年葉篤正（1916—，世界著名氣象學家）

吳孟超（1922—，世界著名肝臟外科學家）2003年劉東生（1917—2008，著名地球環境科學家）王永志（1932—，著名航天技術專家）2002年金怡濂（1929—，高性能計算機領域的著名專家）2001年王選（1937—2006，漢字激光照排系統創始人）黃昆（1919—2005，著名物理學家）2000年吳文俊（1919—，世界著名數學家）袁隆平（1930—，雜交水稻之父）

第39頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五中央電視臺《大家》欄目：

《吳文俊·我的不等式》片斷

第40頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五什么是數學機械化

所謂機械化，無非是刻板化和規格化。數學問題的機械化，就要求在運算或證明過程中，每前進一步之后，都有一個確定的、必須選擇的下一步，這樣沿著一條有規律的、刻板的道路，一直達到結論。使用一種機械化方法證明一類定理，才真正體現了機械化定理證明。1977年，吳文俊給出了初等幾何一類主要定理的機械化證明方法－“吳方法”。第41頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五數學機械化：從設想到實現

笛卡爾萊布尼茨希爾伯特

第42頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五數學機械化：從設想到實現

哥德爾塔斯基王浩吳文俊第43頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五笛卡爾的設想

17世紀法國的數學家Descartes曾有過一個偉大的設想：“一切問題化為數學問題，一切數學問題化為代數問題，一切代數問題化為代數方程求解問題。”

Descartes把問題想得太簡單了，如果他的設想真能實現，那就不僅是數學的機械化，而是全部科學的機械化。因為代數方程求解是可以機械化的。但Descartes

沒有停留在空想，他所創立的解析幾何，在空間形式和數量關系之間架起了一座橋梁，實現了初等幾何問題的代數化。第44頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五萊布尼茲之夢

德國數學家Leibniz

曾有過“推理機器”的設想。他研究過邏輯，設計并制造出能做乘法的計算機，進而萌發了設計萬能語言和造一臺通用機器的構想。

他的努力促進了Boole代數、數理邏輯以及計算機科學的研究，正是沿著這一方向，經后人的努力，形成了機器定理證明的邏輯方法。

第45頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五希爾伯特的構想

Hilbert在《幾何基礎》中提出了從公理化走向機械化的數學構想。Hilbert計劃將數學知識納入嚴格的公理體系中，并著力在公理化基礎上尋找機械化的方法判定命題是否成立。Hilbert同時指出，定理的判定問題應當是分類解決的，解決方法要同時強調簡單性和嚴格性。在Hilbert

的名著《幾何基礎》一書中就提供了一條可以對一類幾何命題進行判定的定理—當然，在那個時代，不僅Hilbert

本人，整個數學界都沒有意識到這一點。

第46頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五哥德爾的著名結果

G?del著名的不完全性定理指出一個不弱于初等數論的形式系統如果是無矛盾的，則是不完全的，即存在形式系統的一個命題，它和它的否定都不能由形式系統證明。因此，Hilbert的要求太高了。上述的G?del不完全性定理斷言：即使在初等數論的范圍內，對所有命題進行判定的機械化方法也是不存在的！第47頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五塔斯基的判定法

波蘭數學家Tarski

在1950年推廣了關于代數方程實根數目的Sturm法則，由此證明了一個引人注目的定理：“一切初等幾何和初等代數范圍的命題，都可以用機械方法判定。”

Tarski得出的結論給定理證明機械化的研究帶來了曙光。可惜他的方法太復雜，即使用高速計算機也證明不了稍難的幾何定理。

第48頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五王浩：邁向數學機械化1959年，王浩設計了一個程序，用計算機證明了Russell、Whitehead的巨著《數學原理》中的幾百條有關命題邏輯的定理，僅用了9分鐘。王浩工作的意義在于宣告了用計算機進行定理證明的可能性。在1960年的《IBM研究與發展年報》（IBMJournal），王浩發表了《邁向數學機械化》（TowardMechanicalMathematics），“數學機械化”一詞即出自此處。第49頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五吳文俊：機器證明領域的新的一頁

1977年，吳文俊在《中國科學》上發表論文《初等幾何判定問題與機械化問題》。1984年，吳文俊的學術專著《幾何定理機器證明的基本原理》由科學出版社出版，這部專著著重闡明幾何定理機械化證明的基本原理。1985年，吳文俊的論文《關于代數方程組的零點》發表，具體討論了多項式方程組所確定的零點集。與國際上流行的代數理想論不同，明確提出了具有中國自己特色的、以多項式零點集為基本點的機械化方法。自此，“吳方法”宣告誕生，數學機械化研究揭開了新的一幕。

第50頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五對吳方法的評價吳方法遵循中國傳統數學中幾何代數化的思想，與通常基于數理邏輯的方法根本不同，首次實現了高效的幾何定理自動證明，顯現了無比的優越性。他的工作被稱為自動推理領域的先驅性工作，并于1997年獲得“Herbrand自動推理杰出成就獎”。在授獎辭中對他的工作給了這樣的介紹與評價:“幾何定理自動證明首先由赫伯特·格蘭特(HerbertGerlenter)于50年代開始研究。雖然得到一些有意義的結果，但在吳方法出現之前的20年里，這一領域進展甚微。在不多的自動推理領域中，這種被動局面是由一個人完全扭轉的。吳文俊很明顯是這樣一個人。他將幾何定理證明從一個不太成功的領域變為最成功的領域之一。”第51頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五

2006年，著名數學家吳文俊榮獲邵逸夫數學科學獎。邵逸夫數學科學獎是一項國際性大獎，它的評委是來自國際數學界的知名權威。吳文俊說：這次邵逸夫獎的評委都是國際上有影響的大家，他們宣布我獲得邵逸夫獎，是因為我的數學機械化問題的研究，這實際上是國際數學界對數學機械化研究的承認與肯定，它比獎金重要得多。

數學機械化得到國際數學界承認

第52頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五《吳文俊·我的不等式》片斷

/v_show/id_XMTMxNzk5MDQ=.html第53頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五三角形三條高線交于一點的代數證明

D是BC和CA上高線交點第54頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五

定理的假設部分是,由吳方法，可得非退化條件是.定理的結論是CO經過D點.顯然在非退化條件下定理成立。第55頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五Morley定理

任意三角形中，一個角的三等分線，與和它相鄰的角的三等分線相交，交點組成正三角形。第56頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五機器方法容易證明Morley定理

任意三角形中，一個角的三等分線，與和它相鄰的角的三等分線相交，按一定的規則選取交點，共可組成27個三角形，在這27個三角形中，一定有18個是正三角形。用機器方法容易證明這個更一般的Morley定理。在證明過程中，多次出現關于12個變量的含有一千多項的多項式。第57頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五吳方法概要定理的假設相當于一組多項式方程定理的結論相當于一個多項式方程上面的諸Fi稱為假設多項式，G稱為終結多項式。第58頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五吳方法概要（續）

吳方法是給出了一個機械化方法，在有限步內給出一組非退化條件多項式D1,…,Dr

又根據這一機械化方法足以在有限步內，判定在非退化條件

D1≠0,…,Dr≠0

下，G=0是否可從F1=0,…,Fs=0推出。

第59頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五平行四邊形對角線互相平分第60頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五題設和結論表成代數形式第61頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五吳方法的處理題設部分三角化，得到三個多項式：再把結論左邊的多項式除以f3，所得的余式除以f2，所得的余式除以f1，看最后所得的余式是不是恒等于零。第62頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五中國古代數學的貢獻70年代初，吳文俊開始研讀中國數學史。1975年，他撰寫了《中國古代數學對世界文化的偉大貢獻》，文中詳細列舉在代數、幾何、三角、解析幾何和微積分等學科的發現和創立過程中，中國傳統數學所起的重大作用。吳文俊指出，中國傳統數學注意解方程，在代數學、幾何學、極限概念等方面既有豐碩的成果，又有系統的理論。第63頁，共70頁，2023年，2月20日，星期五中國古代數學的特色