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第1章質點運動學和牛頓運動定律

參考習題答案

1-1已知質點的運動學方程為x=Rcosωt,y=Rsinωt,z=hωt/(2?),其中R、ω、h

為常量．求：

（1）質點的運動方程的矢量形式；（2）任一時刻質點的速度和加速度．

???Rsin?tj??h?t/(2?)k?解：r?Rcos?ti?dr??R?cos?tj??h?/(2?)?υ????Rsin?tikdt??dυ??R?2sin?tj????2R(cos?ti??sin?tj?)a????2Rcos?tidt?1-3半徑為R的輪子沿y=0的直線作無滑滾動時，輪邊緣質點的軌跡為

x?R(??sin?)y?R(1?cos?)

求質點的速度；當dθ/dt=ω為常量時，求速度為0的點．

解：?x?dxd?d?dyd??R(?cos?)，?y??Rsin?dtdtdtdtdt?d?s?i?jn?dt?+即??R?1?co?si???當

d???為常數時，dt

?x?dxdy?R?(1?cos?)，?y??R?sin?，速度為0dtdtdxdy?R?(1?co?s)?0，?y??R?sin??0dtdtk?0,1,2,?

即?x?故??2k?,11-5一質點沿半徑為R的圓周按規律S??0t?bt2運動，其中?0、b都是常量．

2（1）求t時刻質點的總加速度；

（2）t為何值時總加速度數值上等于b？

（3）當加速度達到b時，質點已沿圓周運行了多少圈？解：⑴速率??dSd???0?bt，切向加速度的大小a????b，dtdt(?0?bt)2????ane?n?法向加速度的大小an?，加速度a?a?eRR?2加速度的大小a?a??a?b?22n2??0?bt?4R2

（2）a=b時，即?0?bt??2b?R24?b，t??0b，

22?01??0?121?0(3)a=b時，S??0t?bt??0??b???

2b2?b?2b?02S?轉動圈數n?2?R4?bR1-7在圖1-16所示的裝置中，兩物體的質量為m1和m2，物體之間及物體與桌面間的摩擦系數都是μ，求在力F的作用下兩物體的加速度及繩內張力，不計滑輪和繩

m1m2

圖1-16習題1-7用圖

m1F的質量及軸承摩擦，繩不可伸長．

解：根據題意，由滑輪的關系可知繩內張力T=2F，設m1受到m2的摩擦力f1，m2受到地面的摩擦力為f2，m1受到的最大靜摩擦力為m1g?，受力如下圖。

（1），若T?m1g?時，此時m1不會滑動；m2受到摩擦力f1?m1g?，水平向右，還受到地面對它的靜摩擦力f2，若m2能滑動，則f1?(m1?m2)g?，而f1不可能大于

(m1?m2)g?，故m2不能滑動．

a1?a2?0，T=2F

f1（2）若T?m1g?時，m1相對于m2發生滑動，則m1受力如圖：繩內張力還是T=2F

T?f1?m1a12F?m1g??m1a1a1?2F?m1g?m1f2f1

m2受力如下圖，由于f1

彈性力(均為保守力)做功，系統機械能守恒。以彈簧的原長為彈性勢能的零點，以盤到達最低位置為重力勢能的零點。則系統的機械能守恒表達式為

11123?2m?V2??2m?gl2?kl12?k?l1?l2?○

222依題意，又由kl1?mg○4

將式○1、○2、○3、○4聯立，代人數據，可得

l2?30cm或l2??10cm（舍去）

所以，盤向下運動的最大距離為l2?30cm

第4章剛體力學

習題參考答案

2-12求一質量為m、半徑為R的均勻半圓盤的質心．

解：建立如下圖坐標系，設薄板半徑為R，質量為m．面密度

??2m?R2．由質量分布的對稱性可得板的質心在x軸上而

m?0RxC??xdm?1mxσ2R2?x2dx?4R3π

2-17如圖2-24所示，質量為m、線長為l的單擺，可繞點O在豎直平面內面內搖擺，初始時刻擺線被拉至水平，然后自由落下，

求：

⑴擺線與水平線成?角時，擺球所受到的力矩及擺球對點O的角動量；

⑵擺球到達B時角速度的大小．

解：擺球受力如圖2-24所示。擺線的張力T通過點O，因此其力矩為零；重力G對點O產生力矩，其大小為

M?mglcosθ

可見M隨?角而變化，其方向垂直紙面向里。由角動量定理，得

M?dL?mglcosθdtdtA

2G又??d?，L?mlω代入上式，并積分，得

圖2-24習題2-17用圖

?L0LdL??m2gl3cosθdθ0θ

擺線與水平線成?角時，擺球對點O的角動量為

L?2m2gl3sinθ⑵當擺球擺到B時，???/2，因此擺球角動量

LB?2m2gl3?ml22gl

擺球到達B時角速度的大小

?B?LB?2ml2gl

4-2一半徑為10cm的滑輪,轉動慣量為1.0?10?3kg·m2，現有一變力

F?0.5t?0.30t2（SI

單位制）沿著切線方向作用于滑輪的邊緣.假使

滑輪最初處于靜止狀態,試求滑輪在4s初的角速度.

解：滑輪所受力矩大小為

M?Fr?0.05t?0.03t2

由轉動定律

即

積分得

??25t2?10t3

t?3s

d??Mdt?(50t?30t2)dtJM?J??Jd?dt時

??4.95?102rad/s

4-3如圖4-32所示，質量為m、長為l的均勻細棒AB，轉軸到中心O點的距離為h并與棒垂直，試求細棒對于該轉軸的轉動慣量.

解：如圖在棒上距軸為x處取一長度元dx，如棒的質量線密度為λ，則該長度元的質量dm=λdx=mdx,轉軸通過棒上距中心為h的

l點并和棒垂直時，有

IB??l?h2?l?h2?xdx??2l?h2?l?h2x2m1dx?ml2?mh2l124-5如圖3-34所示，質量為m、半徑為R的圓柱體中挖有四個半徑均為R的圓柱形空洞，空洞中心軸與圓柱體中心軸平行，且間

3距均為R。試求圓柱體對其中心軸的轉動慣量。

2解：假使用同樣的材料將空洞填滿，設四個小圓柱的質量為m'，則填滿后的總質量為m?4m'，則有

m?4m??R2L??92m??R????L?3?

即

1m??m5

填滿后大圓柱體對中心軸的轉動慣量為

J1?19(m?4m')R2?mR2210由平行軸定理,填滿后的四個小圓柱對大圓柱中心軸的轉動慣量

為

2?1'?1?2??11'?1J2?4?m?R??m?R???mR2

?2????2?3??45由組合定理得

J?J1?J2?91159mR2?mR2?mR21045904-12如圖4-40所示,一質量均勻分布的圓盤，質量為M，半徑為R，放在一粗糙的水平面上,圓盤可繞通過其中心的光滑轉軸O轉動，圓盤與水平面間的摩擦系數為?。開始時，圓盤保持靜止，一質量為m的子彈以水平速度?0垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌入其中。試求：

⑴子彈擊中圓盤后，圓盤所獲得的角速度；

⑵經過多長時間后，圓盤中止轉動（略去子彈重力造成的摩擦阻力矩）?

解：（1）子彈射入時，子彈與圓盤組成的系統滿足角動量守恒，則有

m?0R?J?

式中J?1MR2?mR2為子彈射入后系統對轉軸的轉動慣量。2粗糙水平面OR?0O

解得

??m?0?1??M?m?R?2?

（2）子彈射入后，對圓盤應用由角動量定理得

?Mft?0?J?

其中，?Mf為圓盤所受摩擦力矩。取圓盤中半徑為r、寬度為dr的圓環為質元,圓盤質量面密度為??摩擦力，則圓盤所受摩擦力矩為

dMf??(?2?rdr)gr

m?R2，忽略子彈在圓盤中受到的

則

R2Mf??dMf???(?2?rdr)gr??MgR03故有

t?3m?0J??Mf2?Mg4-13在半徑為R的具有光滑豎直中心軸的水平圓盤內,有一人靜止站立在距轉軸為1R處,人的質量為圓盤質量的

21，開始時盤載10人相對地面以角速度?0勻速轉動。假使此人垂直于圓盤半徑相對盤以速率v沿與圓盤轉動的相反方向做圓周運動，如圖4-41所示，已知圓盤對中心軸的轉動慣量為1MR2,

2求：⑴圓盤相對地面的角速度；

⑵欲使圓盤相對地面保持靜止，人相對圓盤的速度的大小及方向應怎樣？

解：（1）設圓盤質量為M，選人與圓盤組成的系統為研究對象，當人在盤上走動時，無外力矩，因此系統角動量守恒即

1MR22v?MR212?2()?MR??MR??()(??)0??10222102R??(J人?J盤）?0?J盤??J人(??v)1/2R圓盤對地角速度為

211MR2?0?MRv2v20??40??0?

2121RMR240（2）欲使圓盤對地角速度為零應有

???0?2v'?021R21R?02則

v'??即人應與圓盤轉動方向的一致方向作圓周運動。

第6章機械振動

習題參考答案：

6-2若交流電壓的表達式為:V?311sin100πt，式中:V以伏特(V)為單位,t以秒(s)為單位,求交流電的振幅、周期、頻率和

初相位.

解:交流電電壓的表達式也可化為余弦形式：

V?311sin100πt?311cos(100πt?π)2因此有:

振幅為:A?311V，周期為:T?2π??2πs?0.02s，100π100πHz?50Hz2π頻率為:???2π?初相位為：???π

26-3一質點沿x軸做簡諧振動，其圓頻率ω=10rad/s．試分別寫出以下兩種初始條件下的運動學方程．

（１）初始位移x0（２）初始位移x0?7.5cm，初始速度?0?75.0cm/s;?7.5cm，初始速度?0??75.0cm/s

解：（１）由題意可設質點做簡諧振動的運動學方程為：

x?Acos(10t??)

則其速度方程為：???10Asin(10t??)

將初始條件t?0時，x0?7.5cm，?0?75.0cm/s分別代入上面兩式得：

x0?7.5cm?Acos?

?0?75.0cm/s?-10Asin?

解以上兩方程得：A?10.6cm，???π．

4所以：

x?0.106cos(10t?π)（SI4制）

(2)t?0時，

x0?7.5cm?Acos?

?0??75.0cm/s?-10Asin?

解以上兩個方程得：A?10.6cm，??π．

4所以：

x?0.106cos(10t?π)（SI4制）

6-5有一簡諧振動振幅A=12cm，周期T=3s，若振子在位移x=６cm處并向負方向運動為計時起點，請做出其位移－時間曲線，并求出其運動到x=-６cm處所需的最短時間．

解：若設該簡諧振動的方程為：

x?Acos(?t??)

那么由題意可知，該簡諧振動的圓頻率??2π?2πrad/s，

T36?12cos?t?0時,，所以初相位為：??π．其其位移－時間曲線

?0??A?sin??03圖如上圖所示．

其運動到x=-６cm處時，有

2ππ?6?12cos(t?)33，解得：

2ππ2π4πt??或．3333因所求的是最短時間，上式取2π，因此t?0.5s．

36-10有一水平彈簧振子K=24N/m，重物的質量m=6kg，靜止在平衡位置上,如圖6-28所示．設以一水平恒力F=10N作用于物體（不計摩擦），使之從平衡位置向左運動了0.05m，此時撤去力F．當重物運動到左方最遠位置時開始計時，求運動方程．

解：由題意可知，物體在做