#1.1.2空間向量的數量積運算導學案【學習目標】.掌握空間向量夾角的概念及表示方法.掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律及計算方法.掌握投影向量的概念.能用向量的數量積解決立體幾何問題【自主學習】知識點一空間向量的夾角(1)夾角的定義B已知兩個非零向量a,b，在空間任取一點。，作OA=a,OB=b，則NAOB叫做向量a,b的夾角，記作.(2)夾角的范圍空間任意兩個向量的夾角9的取值范圍是[0,n].特別地，當9=0時，兩向量同向共線；當9=n時，兩向量反向共線，所以若a〃b，則〈a,b〉=0或n；當〈a,力=冷時，兩向量 ，記作.知識點二空間向量的數量積(1)定義：已知兩個非零向量a,b，則.叫做a,b的數量積，記作a?b.即a力=規定：零向量與任何向量的數量積為0.(2)常用結論(a，b為非零向量)①a±b臺..②a?a=.=.③cos〈a,b〉=.(3)數量積的運算律數乘向量與數量積的結合律(Xa)?b=A =a? .交換律a?b=ba分配律a?(b+c)= .知識點三投影向量(1)投影向量在空間，向量a向向量b投影，可以先將它們平移到同一個平面內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c,c=.，則向量c稱為向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是..(2)向量a在平面B上的投影向量向量a向平面B投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面B的垂線，垂足分別為4,.一?..一f. .?一?一 .?一 B'，得到向量A'B，，則.稱為向量a在平面B上的投影向量.這時，.的夾角就是向量a所在直線與平面萬所成的角.【合作探究】探究一空間向量數量積的運算——【例1】(1)如圖，三棱錐A-BCD中，AB=AC=AD=2,ZBAD=90°,ZBAC=60°,則AB?CD等于( )A.—2B.2C.-2'.,,'3D.2'.,'3(2)在四面體OABC中，棱OA,OB,OC兩兩垂直，且OA=1,OB=2,OC=3,G為乙ABC的重心，求OG?((OA+OB+O)C)的值.歸納總結：【練習1】在長方體ABCD-A1B1clD1中，AB=AA1=2,AD=4,E為側面AA1B1B的中心,F為A1D1的中點，求下列向量的數量積：)) ))(1)BC?ED1；(2)BF?AB1.探究二利用數量積證明空間垂直關系【例2】已知空間四邊形OABC中，/AOB=/BOC=/AOC,且OA=OB=OC,M,N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG±BC.歸納總結:【練習2】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，ZDAB=60°,AB=2AD,PD，底面ABCD.證明：PA±BD.探究三夾角問題【例3】（1）已知a+b+c=0，|a|=2,|b|=3,|c|=4,則向量a與b之間的夾角〈a，b〉為（ ）A.30° B.45°C.60° D.以上都不對(2)如圖，在空間四邊形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45°,NOAB=60°,求異面直線OA與BC的夾角的余弦值.歸納總結：一—一 【練習3】如圖，在正萬體ABCD-A1B1C1D1中，求BC1與AC夾角的大小.探究四距離問題【例4】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1,ZACD=90°,沿著它的對角線AC將^ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時B,D間的距離.

歸納總結：【練習4】如圖所示，在平面角為120°的二面角a-AB-B中，ACua,BDu口，且AC±AB,BD±AB，垂足分別為A,5.已知AC=AB=BD=6,求線段CD的長.課后作業A課后作業A組基礎題一、選擇題已知a±b,|a|=2,|b|=3且（3已知a±b,|a|=2,|b|=3且（3a+2b）±（Xa—b），則為等于（ ）A．3C±2D．1已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E,F分別是BC,AD的中.一—— —則AE?AF的值為（）A．1 1 -..13a2 B.2a2 C.4a2 D.丁a2已知長方體ABCD-A1B1clD1，則下列向量的數量積一定不為0的是（ ）——AD丁B1c——BD1-AC—— ——AB?AD1 D.BD1-BC——.在棱長為a的正萬體ABCD-A1B1C1D1中，向量BA1與向量AC所成的角為（ ）A.60°B.150°C.90°D.120°.如圖所示，在平行六面體ABCD-A'B’C‘D，中，AB=1,AD=2,AA'=3,ZBAD=90。，ZBAA'=ZDAA，=60。，則AC的長為（ ）a.-.'T3'.①<33a.-.'T3'.①<33D.\,43二、填空題.已知a,b是空間兩個向量，若|a|=2,|b|=2,|a—b|=后，貝Ucos〈a,b〉=..已知a,b是異面直線，A,B￡a,C,D￡b,AC±b,BD±b，且AB=2,CD=1,則a,b所成的角是..已知|〃|=2,|b|=1,〈a,b〉=60°,則使向量a+入b與入a—2b的夾角為鈍角的實數為的取值范圍是 .三、解答題.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2,且PA與AB、AD的夾角都等于60°,M是PC的中點，設AB=a,AD=b,AP=c.(1)試用a,b,c表示出向量BM；(2)求BM的長..如圖，已知直三棱柱ABC-A'BC中，AC=BC=AA,/ACB=90°,D,E分別為AB,BB'的中點．(1)求證：CE±A'D；(2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值.BB組能力提升、選擇題1.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列命題正確的有( )— — — —(AA1+AD+AB)2=3AB2———A1C?(A1B1-A1A)=0C.——AD1與A1B的夾角為60°D.———正萬體的體積為C.——AD1與A1B的夾角為60°D.———正萬體的體積為|AB?AA1-AD|2.—已知正萬體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,若E是底面正萬形A1B1C1D1的中心，則AC1與—CE( )A.重合B.平行但不重合C.垂直D.無法確定、填空題——3.如圖，在長萬體ABCD-A1B1C1D1中，設AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中點，則