湖北黃崗中學高考數學二輪復習考點解析6：導數與單調性的綜合考查PAGEPAGE2湖北黃崗中學高考數學二輪復習考點解析6：導數與單調性的綜合考查一、小題〔共10題〕1、函數是減函數的區間為()〔Ａ〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕2.在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數〔〕 A．3B．2 C．1D．03．對于R上可導的任意函數f〔x〕，假設滿足〔x－1〕0，那么必有〔〕A.f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕B.f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕C.f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕D.f〔0〕＋f〔2〕2f〔1〕4.設，曲線在點處切處的傾斜角的取值范圍為，那么P到曲線對稱軸距離的取值范圍〔〕A．B．C．D．5．與直線的平行的拋物線的切線方程是 〔〕 A． B． C． D．6．設分別是定義在R上的奇函數和偶函數，，當時，且那么不等式的解集是〔〕 A．B． C．D．7．函數f(x)=x(x－1)(x－2)·…·(x－100)在處的導數值為〔〕A.0B.C.200.100！8．過點〔－1，0〕作拋物線的切線，那么其中一條切線為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕小題答案：題號12345678答案DDBBDDDD9．設函數，〔、、是兩兩不等的常數〕，那么．010.解析：曲線和在它們的交點坐標是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是.二．解答題1.拋物線C1：y=x2+2x和C：y=－x2+a，如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段.〔Ⅰ〕a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；〔Ⅱ〕假設C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分.解：本小題主要考查導數、切線等知識及綜合運用數學知識解決問題的能力，總分值12分〔Ⅰ〕解：函數y=x2+2x的導數y′=2x+2,曲線C1在點P〔x1,x+2x1〕的切線方程是：y－(x+2x1)=(2x1+2)(x－x1),即y=(2x1+2)x－x①函數y=－x2+a的導數y′=－2x,曲線C2在點Q〔x2,－x+a〕的切線方程是即y－(－x+a)=－2x2(x－x2).y=－2x2x+x+a.②如果直線l是過P和Q的公切線，那么①式和②式都是l的方程，消去x2得方程2x+2x2+1+a=0.假設判別式△=4－4×2〔1+a〕=0時，即a=－時解得x1=－，此時點P與Q重合.即當a=－時C1和C2有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為y=x－.〔Ⅱ〕證明：由〔Ⅰ〕可知.當a<－時C1和C2有兩條公切線設一條公切線上切點為：P〔x1,y1〕, Q〔x2,y2〕.其中P在C1上，Q在C2上，那么有x1+x2=－1,y1+y2=x+2x1+(－x+a)=x+2x1－(x1+1)2+a=－1+a.線段PQ的中點為同理，另一條公切線段P′Q′的中點也是所以公切線段PQ和P′Q′互相平分.2．f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且，f(5)=30,那么求g(4)。解：∵f(2x+1)=4g(x)∴∴又f(5)=30=25+10+b∴b=-5d=∴g(x)=x2+2x∴g(4)=3．向量=〔1，0〕，=〔0，1〕，函數的圖象在軸上的截距為1，在=2處切線的方向向量為，并且函數當時取得極值。〔1〕求的解析式；〔2〕求的單調遞增區間；〔3〕求的極值。4.(全國卷Ⅱ)設a為實數,函數(Ⅰ)求的極值.(Ⅱ)當a在什么范圍內取值時,曲線軸僅有一個交點.解：(I)=3－2－1假設=0，那么==－，=1當變化時，，變化情況如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+極大值極小值∴的極大值是，極小值是(II)函數，由此可知，取足夠大的正數時，有>0，取足夠小的負數時有<0，所以曲線=與軸至少有一個交點結合的單調性可知：當的極大值<0，即時，它的極小值也小于0，因此曲線=與軸僅有一個交點，它在(1，+∞)上。當的極小值－1>0即(1，+∞)時，它的極大值也大于0，因此曲線=與軸僅有一個交點，它在(－∞，－)上。∴當∪(1，+∞)時，曲線=與軸僅有一個交點。6．〔湖南卷〕設，點P〔，0〕是函數的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線.；〔Ⅰ〕用表示a，b，c；〔Ⅱ〕假設函數在〔－1，3〕上單調遞減，求的取值范圍.解：〔I〕因為函數，的圖象都過點〔，0〕，所以， 即.因為所以. 又因為，在點〔，0〕處有相同的切線，所以 而 將代入上式得因此故，，〔II〕解法一.當時，函數單調遞減.由，假設；假設由題意，函數在〔－1，3〕上單調遞減，那么所以又當時，函數在〔－1，3〕上單調遞減.所以的取值范圍為解法二： 因為函數在〔－1，3〕上單調遞減，且是〔－1，3〕上的拋物線， 所以即解得 所以的取值范圍為7.〔安徽卷〕設函數，是奇函數。〔Ⅰ〕求、的值。〔Ⅱ〕求的單調區間與極值。解析：〔Ⅰ〕∵，∴。從而＝是一個奇函數，所以得，由奇函數定義得；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，從而，由此可知，和是函數是單調遞增區間；是函數是單調遞減區間；在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。8．〔北京卷〕函數在點處取得極大值，其導函數的圖象經過點，，如以以下圖.求：〔Ⅰ〕的值；〔Ⅱ〕的值.解析：解法一：〔Ⅰ〕由圖象可知，在〔－∞，1〕上,在(1,2)上,在上,故在,上遞增,在(1,2)上遞減,因此在處取得極大值,所以.(Ⅱ)由得解得解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)設又所以由,即得,所以.

9．〔湖南卷〕函數. 〔Ｉ〕討論函數的單調性； 〔Ⅱ〕假設曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數a的取值范圍.解〔Ⅰ〕由題設知.令.當〔i〕a>0時，假設，那么，所以在區間上是增函數；假設，那么，所以在區間上是減函數；假設，那么，所以在區間上是增函數；〔ii〕當a＜0時，假設，那么，所以在區間上是減函數；假設，那么，所以在區間上是減函數；假設，那么，所以在區間上是增函數；假設，那么，所以在區間上是減函數.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕的討論及題設知，曲線上的兩點A、B的縱坐標為函數的極值，且函數在處分別是取得極值，.因為線段AB與x軸有公共點，所以.即.所以.故.解得－1≤a＜0或3≤a≤4.即所求實數a的取值范圍是[-1，0)∪[3，4].10．〔全國卷I〕設為實數，函數在和都是增函數，求的取值范圍。解:f'(x)=3x2－2ax+(a2－1),其判別式△=4a2－12a2+12=12－8a2.(ⅰ)假設△=0,即a=±eq\f(\r(6),2),當x∈(－∞,eq\f(a,3)),或x∈(eq\f(a,3),+∞)時,f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)為增函數.所以a=±eq\f(\r(6),2).(ⅱ)假設△=12－8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(－∞,+∞)為增函數,所以a2>eq\f(3,2),即a∈(－∞,－eq\f(\r(6),2))∪(eq\f(\r(6),2),+∞)(ⅲ)假設△12－8a2>0,即－eq\f(\r(6),2)<a<eq\f(\r(6),2),令f'(x)=0,解得x1=eq\f(a－\r(3－2a2),3),x2=eq\f(a+\r(3－2a2),3).當x∈(－∞,x1),或x∈(x2,+∞)時,f'(x)>0,f(x)為增函數;當x∈(x1,x2)時,f'(x)<0,f(x)為減函數.依題意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得a≥eq\r(3－2a2),解得1≤a<eq\f(\r(6),2)由x2≤1得eq\r(3－2a2)≤3－a,解得－eq\f(\r(6),2)<a<eq\f(\r(6),2),從而a∈[1,eq\f(\r(6),2))綜上,a的取值范圍為(－∞,－eq\f(\r(6),2)]∪[eq\f(\r(6),2),+∞)∪[1,eq\f(\r(6),2)),即a∈(－∞,－eq\f(\r(6),2)]∪[1,∞).11．〔全國II〕設函數f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，假設對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍．解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，對函數g(x)求導數：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1，……5分(i)當a≤1時，對所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數，又g(0)＝0，所以對x≥0，都有g(x)≥g(0)，即當a≤1時，對于所有x≥0，都有f(x)≥ax．……9分(ii)當a＞1時，對于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是減函數，又g(0)＝0，所以對0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，即當a＞1時，對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．綜上，a的取值范圍是〔－∞，1]．……12分解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式