第八章二元一次方程組

課題

二元一次方程組

1.使學生認識二元一次方程

教學目標

2.使學生能找出二元一次方程的解

重點二元一次方程的認識

難點探求二元一次方程的解

教學方法講練結合、探索交流課型新授課教具投影儀

教師活動學生活動

情景設置：

（1）小亮在“智力快車”競賽中回答10個問題，小亮能答對

幾題、答錯幾題？學生自己先思考5

（2）根據籃球比賽規則：贏一場得2分，輸一場得1分，在分鐘后，再討論。

一次中學生籃球聯賽中，一支球隊賽完若干場后得20再由4個人一小組

分。問該隊贏多少場？輸多少場？中的一位同學說出

（3）一球員在一場籃球比賽中共得35分（其中對方犯規被討論結果.

罰，他罰球得10分），問他分別投中了多少個兩分球和

學生回答

三分球？

新課講解：

學生回答

1.列出上面三小題的方程。

（1）設答對x題，答錯y題

x+y=10

學生回答

第1頁共37頁

（2）設該隊贏了x場,輸了y場

2x+y=20學生議一議

（3）設他投中了x個兩分球，y個三分球

2x+3y+10=35

就是2x+3y=25

學生自己設計再合

這三個方程有哪些共同的特點？

作交流。

得出結論：像這含有兩個未知數，并且所含有未知數的項的次

P102表格

數都是1的方程叫做二元一次方程。

P103問題

2.請你設計三個表格，寫出所有可能的情況。

學生板演

再請學生打開書做一做：

答一答：

得出結論：適合二元一次方程的一對未知數的值稱為這個二

學生回答。

元一次方程的一個解。P103.1,2

xa

記作：

yb

3.把下列方程寫成用含x的代數式表示y的形式

（1）x+y=10

（2）2x+y=20

（3）2x+3y=25

練一練：

小結：（1）請你寫一個二元一次方程

x3

（2）請你編寫一道以為解的二元一次方程。

y1

第2頁共37頁

教學素材：

A組題：把下列二元一次方程化為y=kx+m或x=qy+b的形式。

(1)x+y=-2(2)x-y=3(3)x-5y=0(4)2y+x=4(5)2x+3y=4.

B組題：求下列二元一次方程的解。

（1）寫出5x+3y=8所有的正整數解。

（2）方程x2y0的解。

作業P1042

板書設計

情景設置二板演

(1)x+y=10y=10-x

(2)…2x+y=20y=20-2x

(3)…2x+3y=25y=(25-2x)/3

把上面的三個式子寫成用含x的代數式表示y的形式

教學后記

第3頁共37頁

第八章二元一次方程組

課題

二元一次方程組（列方程組）

1.使學生弄懂二元一次方程組

教學目標

2.學生通過實際問題，懂得二元一次方程組的必然性。

重點找相等關系

難點找相等關系列方程

教學方法講練結合、探索交流課型新授課教具投影儀

教師活動學生活動

情景設置：

（4）小亮在“智力快車”競賽中回答10個問題，答對一題

得4分，答錯一題扣1分，他共得25分，小亮答對

幾題、答錯幾題？

（5）根據籃球比賽規則：贏一場得2分，輸一場得1分，

在一次中學生籃球聯賽中，一支球隊賽完1、2場后

得20分。問該隊贏多少場？輸多少場？

（6）今有雞兔同籠，上有35個頭，下有94足，問雞兔各

學生讀題、議一議

有幾何？

新課講解：

列出上面三個小問題的方程組

（1）設小亮答對x題，答錯y題

學生回答

x+y=10

4x-y=25

第4頁共37頁

（2）設該隊贏了x場,輸了y場學生回答

x+y=12

2

x+y=20

（3）設雞有只，兔有只

xy學生回答

x+y=35

2x+4y=94

xy10xy12xy35

像

4xy252x4y202x4y94

這樣，含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的方程組叫做

二元一次方程組。

P106123

練一練：

學生、教師共同加以評論。

小結：列二元一次方程組關鍵找出兩個相等關系。學生還有什

么不確定或困惑，議一議

教學素材：

A組題：

（1）甲、乙兩工人師傅制作某種工件，每天共制作12件，甲

比乙每天多制作2件，設甲每天制作x件，乙每天制作y件，

列出關于x,y的二元一次方程組。

（2）已知長方形的周長是60cm，長比寬多20cm，設長方形

的長為xcm，寬ycm，列出關于x,y的二元一次方程組。

（3）把一些圖書分給某班的學生閱讀，如果每人分了3本，

則剩余20本，如果每人分4本，則還缺25本，設該班又x名

第5頁共37頁

學生，圖書有y本，列出關于x,y的二元一次方程組。

B組題：

用甲，乙兩種原料配制兩種建筑材料，已知建筑材料Ⅰ按甲：

乙=5：4的比例配料，每千克50元；建筑材料Ⅱ按甲：乙=3：

2的比例配料，每千克48.6元，設甲原料的價格每千克x元，

乙原料的價格為每千克y元,列出關于x,y的二元一次方程組。

作業P1081,2,4

板書設計

多媒體列方程組

（1）.

（2）

（3）

教學后記

第6頁共37頁

第八章二元一次方程組

課題

二元一次方程組（找方程組的解）

1.學生會找二元一次方程組的解。

教學目標

2.學生通過探索感受二元一次方程組的解。

重點二元一次方程組的解

難點找“解”的過程

教學方法講練結合、探索交流課型新授課教具投影儀

教師活動學生活動

情景設置：

（1）用多媒體展示一群雞

文字出現：某農戶供養了白雞、黑雞100只，白雞的數

量是黑雞的3倍，設白雞有x只，黑雞有y只，列出關于x,y的

二元一次方程組。

（2）用多媒體展示紅球、白球。

學生在自己的本子

文字出現：小明第一次摸到了1個紅球，3個白球，共

上寫出方程組。再

得11分。第二次摸到了3個紅球，2個白球共得12分，設摸到

議一議。

紅球得x分，摸到白球得y分，列出關于x,y的二元一次方程

組。

新課講解：

1.列出方程組：

xy100

（1）

x3y

第7頁共37頁

x3y11

（2）

3x2y12

學生板演

2.二元一次方程組的解。

xy1001

（1）x3y2

方程〈1〉的解是：P107想一想，學生

x99x98x97x75試一試

……

y1y2y3y25

P108“練一練”1.學

方程〈2〉的解是：

生回答：是方程的解

x3x6x9x75

……就能使方程左右相

y1y2y3y25

等。因此可以判斷方

x75

所以是這兩個方程的一個公共解。程組的解。

y25

x3y111

（2）

3x2y122

方程〈1〉的解是：

x2x5x8

……

y3y2y1

方程〈2〉的解是：

x0x2x4

……

y6y3y0

x2

所以是這兩個方程的一個公共解。

y3

第8頁共37頁

練一練

再練一練學生討論，做一做，有沒有簡單的方法？

小結：二元一次方程組的解與二元一次方程組的解的找法。

教學素材：

A組題：

1.已知下面三對數值：

x0x2x1

y2y3y5

(1)哪幾對是方程2x-y=7的解；

(2)哪幾對是方程x+2y=-4的解？

2．下面三對數值：

x1x2x4

y1y1y5

哪一對是二元一次方程組的解？

2xy3y2x3

（1）（2）

3x4y104x3y1

x65xy32

3.判斷是不是二元一次方程的解？

y2x2y19

xy3

4.求出二元一次方程組的解。

xy5

第9頁共37頁

B組題：

1.先解一元一次方程2x-1=-x+2。

y2x1

再找二元一次方程組的解。

yx2

2.寫出以x=1,y=1為解的二元一次方程組。

作業P1081,2,4找出這三題方程組的解。

板書設計

多媒體演示列方程組找出方程組的解

xy100x75

（1）

x3yy25

x3y11x2

（2）

3x2y12y3

教學后記

第10頁共37頁

第八章二元一次方程組

課題

解二元一次方程組（代入消元法）

1.學生會用代入法解二元一次方程組。

教學目標

2.學生通過解決問題，了解解二元一次方程組的必要性。

重點探尋用代入法解二元一次的方程組的進程。

難點消元轉化的過程

教學方法講練結合、探索交流課型新授課教具投影儀

教師活動學生活動

情景設置：

從學生熟悉的情景引入課題。

（1）根據籃球比賽規則：贏一場得2分，輸一場得1分，學生列方程

在一次中學生籃球聯賽中，某球隊賽了12場。設贏了

x場，輸了y場，積20分，列出方程。

（2）小亮在“智力快車”競賽中回答10個問題，答對一題

語言表達

得4分，答錯一題扣1分，他共得25分，設小亮答

對x題、答錯y題,列出二元一次方程。

為何不代入〈2〉

新課講解：

學生議一議。

xy121

（1）解方程組

2xy202

第11頁共37頁

分析：如何解出x,y？設想能把二元化為一元，由學生自己討

論。為何代入〈3〉？

學生議一議。

解：由〈1〉得：y=12-x〈3〉

把〈3〉代入〈2〉，得

學生討論

2x+12-x=20

學生口述

解這個一元一次方程得

x=8

把x=8代入〈3〉，得

y=4

P110試一試

x8“練一練”

所以原方程的解是P1101

y4

xy101

（2）解方程：

4xy202

老師板演：

解：由〈1〉得x=10-y〈3〉

把〈3〉代入〈2〉，得

4（10-y）-y=20

解這個一元一次方程，得

y=4

把y=4代入〈3〉，得

x=6

x6

所以原方程組的解是

y4

第12頁共37頁

練一練：

小結：

代入消元法的方法。

通過“議一議”、“說一說”讓學生切實體會到代入消元法

的思想“二元轉化為一元”。

教學素材：

A組題：

代入法解下列方程組：

x7

（1）

2x3y4

x10y

（2）

3x2y12

2xy32

（3）

2xy

2xy11

（4）

3xy9

xy2800

（5）

96%x64%y280092%

B組題

4x3y3z0

1.已知：，并且z0

x3yz0

求：x:y與y:z.

第13頁共37頁

2.編寫一道以（-3，1）為解的二元一次方程組。

P112練一練1（1）

作業

習題11.31（1）（2）（4）.2

板書設計

xy12

多媒體演示（1）解方程組解題步驟

2xy20

xy10

（1）（2）解方程組

4xy20

（2）

教學后記

第14頁共37頁

第八章二元一次方程組

課題

解二元一次方程組（加減消元法）

1.使學生會用加減法解二元一次方程組。

教學目標

2.學生通過解決問題，了解代入法與加減法的共性及個性。

重點探尋用加減法解二元一次的方程組的進程。

難點消元轉化的過程

教學方法講練結合、探索交流課型新授課教具投影儀

教師活動學生活動

情景設置：

小明買了兩份水果，一份是3kg蘋果、2kg香蕉，共用去13.2學生讀題，議一議

元；另一份是2kg蘋果、5kg香蕉，共用去19.8元。設蘋果x元

/kg，香蕉y元/kg.列出方程。

新課講解：

3x2y13.2

列出方程組學生想一想，如感

2x5y19.8

到困難則看道簡單

題。

x2y11

1.解方程組

3x2y52

由學生觀察，如何求

出x,y的值，學生再

第15頁共37頁

分析：關鍵的出方程〈1〉中的2y與方程〈2〉中的-2y互為討論。

相反數。想象出如果相加兩個方程，會是什么結果？試一試。學生口述。

板演：老師板演

解：〈1〉+〈2〉得：

4x=6

3

x=

2

得到一元一次方程

3

把x=代入〈1〉得

2

3

+2y=1

2

解出這個方程，得

1

y=

4

3

x

2

所以原方程組的解是

1

y

4

5x2y41

2.解方程組

2x3y52

通過議一議，讓學生都有感覺消去含x或y的項都可以，但

哪個更簡便？

學生再觀察，議一議

解：〈1〉3，得

15x-6y=12〈3〉

〈2〉2，得①消去哪個未知數

4x-6y=-10〈4〉②怎樣消去？

〈3〉-〈4〉，得

第16頁共37頁

11x=22

x=2

將x=2代入〈1〉，得

52-2y=4

y=3

x2

所以原方程組的解是

y3

加減消元法：把方程組的兩個防城（或先作適當變形）相加或

相減，消去其中一個未知數，把解二元一次方程組轉化為解一元

一次方程。

練一練：P1121(1)(2)(3)(4)

3x2y13.2

解方程組

2x5y19.8

小結：

加減消元法關鍵是如何消元，化二元為一元。

先觀察后確定消元。

教學素材：

A組題：解下列方程組：

xy2200

（1）

200x1500y2000000

第17頁共37頁

5x6y500

（2）

3x4y310

8x6y3600

（3）

8x16y6400

6x2y21x2y150

（4）（5）

6x3y274x3y300

B組題：運用“轉化”的思想方法，你能解下面的三元一次方

程組嗎？

xyz6xy1

（1）2xz3y9（2）yz2

3xy2z10zx3

作業習題11.3P1121(3)(4)3,4

板書設計

3x2y13.2

方程組

2x5y19.8

解方程組

x2y15x2y4

(1)(2)

3x2y52x3y5

3x2y13.2

(3)

2x5y19.8

教學后記

第18頁共37頁

第八一章二元一次方程組

課題

用方程組解決問題

1.使學生讀完題后會說題。找出等量關系。

教學目標

2.鼓勵學生主動探索。有了答案后，引導學生合作交流，擇優。

重點理解題意，找出數量關系

難點找出等量關系。

教學方法講練結合、探索交流課型新授課教具投影儀

教師活動學生活動

情景設置：

操作多媒體出示圖像，提出問題。觀察圖形

國慶長假期間，某旅行社接待一日游和三日游的游客共2200回答問題

人，收旅行費200萬元，其中一日游每人收費200元，三日游

每人收費1500元。該旅行社接待的一日游和三日游旅客個多少

人？

提出問題

①學生自探

（1）有幾個未知數？幾個已知量？

（2）已知量和未知量之間的數量關系你能找到嗎？②再組織學生討論，鼓

第19頁共37頁

（3）相等的關系是否明顯？你找找。勵學生自述

新課講解：

探索解決問題的方法

你能告訴我等量關系或方程嗎？學生板演

①人數等量關系

②錢數相等關系

板書：

解：設接待一日游旅客x人，三日游旅客y人鼓勵學生用一元一

那么一日游共收費200x元，三日游共收費1500y元。次方程解出

xy2200

由題意得

200x1500y2000000

x1000

解這個方程組得鼓勵學生讀題，只

y1200

探，交流，找出等量

答：該旅行社接待一日游旅客1000人，三日游旅客

關系

1200人。

想一想：還有其他的方法嗎？

應用舉例

為了保護環境，某學校環保小組成員收集廢舊電池，第一天收

P1151.2

集5節1號電池，6節5號電池，總質量為500g；第二天收集

3節一號電池，4節5號電池，總質量為310g。一節一號電池和

一節五號電池的質量分別是多少？

解：設一節一號電池的質量為xg,一節五號電池的質量是yg。

5x6y500

由題意得

3x4y310

第20頁共37頁

x70

解這個方程得

y25

答：一節一號電池的質量為70g,一節五號電池的質量是

25g。

廢舊電池的危害請同學們“讀一讀”P114.

練一練：

小結：

題目中的數量關系有的明顯，有的不明顯，一定要加以分析。

文字語言，符號語言相互轉換是數學建模的過程，培養學生的能

力。

教學素材：

A組題：

1.七年一班共44人，現分成甲、乙兩組參加學?；顒印Ｓ捎?/p>

需要，現從乙組調了6人到甲組后，甲乙兩組人數相等。問原

來甲乙各多少人？

2．小亮買了5本練習本和2支圓珠筆共花了5.5元。已知圓

珠筆比練習本貴1元，問練習本和圓珠筆各多少元？

3.現有郵票一打，已知面值為一元和兩元的，總面值為50元，

2元的郵票比1元的郵票多10張，問面值為一元和兩元的郵票

各多少張？

第21頁共37頁

4.一長方形周長為24，現把長增加3，寬不變，周長變為30。

問原來的長、寬為多少？

5.若甲數比乙數的2倍小3，且甲、乙兩數的和是9，求甲、

乙兩數。

B組題：

1.一長方形周長為24，現把長、寬都增加3，周長變為36。

求原來長方形的面積。

2.一個兩位數，其個位與十位的數字之和為6?，F把十位數字

與個位數字對調，產生的新的兩位數比原來的兩位數大18。求

原來的兩位數。

作業P1201,6

板書設計

問題一問題二

解題過程：解題過程：

練習

教學后記

第22頁共37頁

第八一章二元一次方程組

課題

用方程組解決問題

1.借助“表格”分析復雜問題中的數量關系，從而建立方程解決實際問

題。

教學目標

2.提高學生分析能力，解決問題能力，使學生感受方程的作用。

重點找出數量關系。

難點找出等量關系

教學方法講練結合、探索交流課型新授課教具投影儀

教師活動學生活動

情景設置：

某廠生產甲、乙兩種型號的產品，生產一個甲種產品需要時間

8s、銅8g；生產一種乙種產品的型號需要時間6s、銅16g.如果

生產甲、乙兩種產品共用1h，用銅6.4kg,甲、乙兩種產品個生

①學生自探

產多少個？

第23頁共37頁

提出問題：②再組織學生議一議，

（1）已知數是什么？未知數是什么？在四人小組中發表自

（2）能找到幾個等量關系？己的意見。

（3）單位是否一致？

探索解決問題的方法由學生填

你能告訴我等量關系或方程嗎？

新課講解：能

分析：

甲種產品x個乙種產品y個總計

用時/s學生板演

用彤/g

問題：從表格中能找到等關系嗎？學生觀察

板書：回答

解：設生產甲種產品x個，乙種產品y個

由題意得

8x6y3600

充分發揮學生的作

8x16y6400

用

x240

解這個方程得

y280

答：生產甲種產品240個，乙種產品280個。P1171,2

應用舉例

為了加強公民的節水意識，合理利用水資源。某市采用價格調

第24頁共37頁

控手段達到節約水的目的。規定：每戶居民每月用水不超過6m3

時，按基本價格收費，該市某戶居民今年4、5月份的用水量和

水費如下表所示，試求用水收費的兩種價格。

月份用水量/m3水費/元

4821

5927

分析：由表格看到什么信息？

4月份用水超過6m3，所以水費有兩部分組成21元。

5月份用水超過6m3，所以水費有兩部分組成27元。

解：設基本價格為x元/m3；超過6m3部分的按y元/m3.

6x2y21

由題意知

6x3y27

x1.5

解這個方程得

y6

答:基本價格為1.5元/m3；超過6m3部分的按6元/m3

做一做：P1161,2

想一想：你還有什么想法？

練一練：

小結：

解決實際問題，關鍵是理解題意，找出相等關系，建立方程。

教學素材：

A組題：

1.小麗買蘋果和桔子，買4千克蘋果和2千克桔子，花費18

第25頁共37頁

元；如果買2千克蘋果和4千克桔子花費16.8元，求蘋果每千

克多少元，桔子每千克多少元？

2.甲、乙兩糧倉，甲運進14t糧食,乙運出10t糧食后，兩個糧

倉數量相等；甲運出8t，乙運進18t后，乙是甲的6倍。問甲、

乙糧倉原來各有多少？

3.21枚1角與5角的硬幣，共是5元3角，其中1角與5角

的硬幣各是多少？

4.班級買票看電影，票分為甲乙兩種，甲種票買了5張，乙

種票買了35張，花費125元?，F在班里每個人都去看電影，問

甲乙票價各是多少？

5.購買書有以下活動，買1-19本的，每本可以9折；超過20

本（包括20本），每本7折，每本5元?，F有人買兩次書，共

30本，共花費129元，求兩次個買多少本？

B組題：

1.班級買票看電影，票分為甲乙兩種，甲種票買了5張，乙

種票買了35張，花費125元?，F在班里有人不去看電影，于是

乙種票退了5張，這時實際花了110元，問甲乙票價各是多少？

2.有兩個矩形，第一個矩形的長、寬比第二個矩形的長、寬都長

1，第一個矩形的長比寬與第二個矩形的長比寬都長1，第一個

矩形的周長比第二個矩形的周長大4，求這兩個矩形的面積.

作業P1202,4

板書設計

第26頁共37頁

問題3問題4

分析：分析：

解題過程解題過程

教學后記

第八一章二元一次方程組

課題

11.4用方程組解決問題

1.借助“線段圖”分析復雜問題中的數量關系，從而建立方程解決實際

問題。

教學目標

2.提高學生分析能力，解決問題能力，使學生感受方程的作用。

重點找出數量關系。

難點找出等量關系。

教學方法講練結合、探索交流課型新授課教具投影儀

教師活動學生活動

情景設置：

問題：用正方形和長方形的兩種硬紙片制作甲、乙兩種無蓋的1張

長方體紙盒（如圖）。如果長方形的寬與正方形的邊長相等，1502張

張正方形硬紙片和300張長方形硬紙片可以制作甲、乙兩種紙4張

第27頁共37頁

盒各多少個？3張

學生自探

組織討論，充分發表

意見

硬紙片甲種紙盒乙種紙盒

提出問題中的問題：

每個甲種紙盒要正方形硬紙片幾張？

每個乙種紙盒要正方形硬紙片幾張？

每個甲種紙盒要長方形硬紙片幾張？

每個乙種紙盒要正方形硬紙片幾張？

新課講解：

探究：

解：設可制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個

x2y150組織學生討論

由題意得，

4x3y300

火車頭實際走了多

長？答：橋長加火車

x30

解這個方程得長。用了1分鐘時

y60

間。

答：可制作甲種紙盒30個，乙種紙盒60個.

橋長減去火車長用

應用舉例

了40秒時間。

P118,問題6。某鐵路橋長1000m，現有一列火車從橋上通過，

測得該火車從開始上橋到完全過橋共用了1min，整列火車完全

在橋上的時間共40s.求火車的速度和長度。

P1191.2

分析：

如果設火車的速度為xmin/s，設火車的長為ym

第28頁共37頁

數量關系：路程=時間速度。

等量關系：路程的等量關系。

60x1000y

解：由題意得

40x1000y

x20

解這個方程得

y200

答：火車的速度為20min/s，設火車的長為200m.

練一練：

小結：解決實際問題時，一定要把握數量關系，抓住等量關

系，解決問題。

教學素材：

A組題：

1.小紅和爺爺在400米環形跑道上跑步。他們從某處同時出

發，如果相向而行，那么經過200s小紅追上爺爺；如果背向而

行，那么經過40s兩人相遇，求他們的跑步速度。

2.現有100元和20元的人民幣共33張，總面額1620元。這

兩種人民幣各多少元？

3.某人爬山，沿著相同路徑，上山下山。先以5km/h走平路，

再以3km/h爬坡，用了6h；返回，以4km/h下山，再以2km/h

走平路，用了8小時。問平路和山路多長？

1

4.已知梯形的高是4m,面積是18m2,梯形的上底比下底的多

3

1cm,求梯形上、下底的長度。

5.甲乙兩人一起檢修一條1000m的煤氣管道。如果甲乙合作，

需要4h?，F在已突然有事，甲一人工作，共花費10h完成。問

第29頁共37頁

甲乙的檢修速度各為多少？

B組題：

1.先有一批煤從徐州運往鎮江，由鐵路運送。如果每節車皮裝

60噸，還缺3車皮才能全部運走；如果每節車皮多裝225噸其

他物資，問原有煤多少噸？車皮有多少？

2.一個兩位數的十位數字與個位數字的和是7，如果這個兩

位數加上45，則恰好成為個位數字與十位數字對調后組成的兩

位數，求這個兩位數。

作業P1203,5P1257

板書設計

問題5問題6

分析:分析:

解題過程:解題過程:

教學后記

第30頁共37頁

第八一章二元一次方程組

課題

練習課

1.這一章的學習,使學生掌握二元一次方程組的解法.

教學目標

2.學會解決實際問題,分析問題能力有所提高.

重點這一章的知識點,數學方法思想.

難點實際應用問題中的等量關系.

教學方法講練結合、探索交流課型新授課教具投影儀

教師活動學生活動

全章小結

四人一小組,互相交流學習這一章的感覺,主要學習了哪些知學生充分發表意見

識.還有不懂的方面?感到困難的部分是什么?再根據學生的意見

采用方法.

第31頁共37頁

方案<一>基本練習題

1.下列各組x,y的值是不是二元一次方程組

3x4y2

的解？

2xy5

x2x2x3

（1）（2）（3）

y1y2y1

2.根據下表中所給的x值以及x與y的關系式，求出相應的

y值，然后填入表內：

x12345678910

Y=4x

Y=10-x學生板演

y4x

根據上表找出二元一次方程組的的解。

y10x

2xyax3

3.已知二元一次方程組的解

x2y