平均指標和變異指標第1頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第五章平均指標和變異指標本章學習目標1.理解和掌握平均指標和變異指標的概念2.掌握平均指標和變異指標的種類3.掌握各類平均指標的計算和應用4.掌握各類變異指標的計算和應用5.掌握幾種平均指標之間的關系第2頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第一節平均指標

一、什么是平均指標

？平均指標——是同質總體各單位某一標志在一定時間、地點、條件下所達到的一般水平，是總體的代表值，它描述分布數列的集中趨勢。二、平均指標的特點1.同質性2.代表性

3.抽象性

第3頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第一節平均指標

三、平均指標的作用1.可以比較同類現象在不同單位、不同地區間的平均水平。2.可以比較同類現象在不同時期的平均水平。3.可用于研究事物之間的依存關系。4.利用平均數還可以進行推算和預測。第4頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第一節平均指標

四、平均指標的分類

（五）幾何平均數（二）眾數（三）算術平均數（四）調和平均數（一）中位數位置平均數數值平均數怎么計算呢？第5頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四數值平均數第6頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（一）算術平均數概念：

算術平均數是總體各單位某一數量標志的平均數?；居嬎愎剑核阈g平均數=標志總量÷總體總量算術平均數與強度相對數的比較①含義不同。強度相對數分子與分母是兩個性質但又有聯系的指標值；而平均數分子同一總體的某一標志總量，而分母為總體總量。

②有些強度相對數的分子和分母可以互換，而平均數則不可以。

③平均數的分子與分母的數值存在著一一對應關系。

第7頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（一）算術平均數計算方法：由于掌握的資料不同和計算上的復雜程度不同，可分為簡單算術平均數和加權算術平均數。（1）簡單算術平均數公式中：代表算術平均數

代表總體各單位標志值

代表標志值的項數

∑為求和符號

第8頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（一）算術平均數計算方法：（2）加權算術平均數公式中：代表算術平均數

代表總體各單位標志值

代表各組的次數第9頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－3】某銷售公司12月份各天的銷售額數據如下表所示：

銷售額（萬元）銷售的天數（天）銷售額×天數230240260280290300389712690192023401960290600合計307800（一）算術平均數第10頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四解：＝7800/30

＝260（萬元）當我們掌握的資料是組距數列時，用各組的組中值代替各組平均數，再用公式來計算加權算術平均數。（一）算術平均數第11頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（一）算術平均數算術平均數的性質：（1）算術平均數與總體單位數的乘積，等于各單位標志值的總和。

（2）各單位標志值與算術平均數離差之和等于零。

（3）各單位標志值與算術平均數離差平方之和為最小。（4）對各單位標志值加或減一個任意數則算術平均數也要增加或減少該數(5)對各單位標志值乘以或除以任意一個非零數,則算術平均數也要乘以或除以該數第12頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（二）調和平均數概念：調和平均數又稱倒數平均數，是變量倒數的算術平均數的倒數?；居嬎愎剑?/p>

（簡單公式）（加權公式）第13頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（二）調和平均數調和平均數與算術平均數的聯系：調和平均數是算術平均數的變形。調和平均數的權數是算術平均數中的標志值乘以總體單位數所得到的標志總量，即：第14頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（二）調和平均數運用調和平均數該注意的問題：（1）當變量數列有一變量X的值為零時，調和平均數公式的分母將等于無窮大，因而無法求出確定的平均值。（2）調和平均數和算術平均數一樣，易受兩極端值影響。

（3）要注意區分調和平均數和算術平均數的使用條件，因事制宜

。第15頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－4】某農貿市場蘋果5元每斤、香蕉2元每斤、西瓜3元每斤，如果蘋果買了5元、香蕉買了8元、西瓜買了6元，請問買回來的水果平均每斤多少錢？解：價格＝則平均價格H為：（二）調和平均數第16頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（三）幾何平均數概念：幾何平均數是個變量值連乘積的次方根，用Ｇ表示。

基本計算公式：

（簡單公式）（加權公式）銀行平均利率、各年平均發展速度、產品平均合格率等的計算就采用幾何平均法第17頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（三）幾何平均數運用幾何平均數該注意的問題：（1）變量數列中任何一個變量值不能為0，一個為0，則幾何平均數為0。（2）用環比指數計算的幾何平均易受最初水平和最末水平的影響。（3）幾何平均法主要用于動態平均數的計算。第18頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－5】一位投資者持有一種投資產品，在2005、2006、2007、2008、2009和2010年的收益率分別是4.5％、2.5％、5％、4％、4.2％、4.6％。試計算該投資者在這六年內的平均收益率。解：根據計算公式得：

（三）幾何平均數第19頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四幾何平均數的計算過程中往往要求開高次方，計算起來比較麻煩，因此可利用對數，將幾何平均數轉化為算術平均數：

(簡單)(加權)（三）幾何平均數第20頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－6】一位投資者持有一種投資產品，在2001-2010年10年收益情況如下表所示，試計算該投資者在這幾年平均投資收益。收益率（％）

4.04.55.05.41.0401.0451.0501.05424510.017030.019110.021190.022840.034060.076440.105950.02284合計／10／0.26029（三）幾何平均數第21頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四解：由公式可知：G＝0.06177＝6.177％（三）幾何平均數第22頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四幾種平均數的關系（一）算術平均數、調和平均數和幾何平均數的關系：（1）各自的適用場合不同。

（2）各種數值平均數在計算上的繁簡程度也不同

。第23頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四HG計算公式（簡單）計算公式（加權）單項式分組變量值為分組標志值，實際值組距式分組變量值為組中值，近似值計算原則平均數=標志總量÷總體總量適用范圍權數總和為總體總量（分母數據），如：總人數、總購買量、總天數權數總和為標志總量（分子數據），如：總產值、總支出、總費用、總產量、總成本變量各值相互聯系，如發展速度、年收益率、流水作業條件下各車間及格率數值比較（同變量值、同權數）第24頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四位置平均數第25頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四眾數一、眾數1、眾數是指變量數列中出現次數最多或頻率最大的變量值。2、適用條件：只有集中趨勢明顯時，才能用眾數作為總體的代表值。3、特點：一組數據中出現次數最多的變量值適合于數據量較多且有明顯的集中趨勢時使用不受極端值的影響(缺乏敏感性)一組數據可能沒有眾數或有幾個眾數第26頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四眾數(不惟一性)無眾數

原始數據:10591268

一個眾數

原始數據:659855多于一個眾數

原始數據:252828364242第27頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四眾數的計算方法（1）單項數列確定眾數，即出現次數最多（頻率最大）的標志值就是眾數。（2）組距數列確定眾數：在等距數列條件下，先確定眾數組，然后再通過公式進行具體計算，找出眾數點的標志值。第28頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第一步：確定眾數所在的組，即從變量數列中找出頻率最大的組“眾數組”；第二步：根據與眾數組相鄰的兩個組的頻數，通過公式近似計算眾數值。

下限公式：Mo=上限公式：Mo=其中：L代表眾數組的下限值；U代表眾數組的上限值；表示眾數組次數與前一組次數之差；表示眾數組次數與后一組次數之差；i表示眾數組的組距。（一）眾數第29頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四身高人數（CM）（人）

152115421552156415711582159216012161716281634身高人數（CM）（人）

1643165816651673168716911705171217231741總計

83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174【例】某年級女生的身高分布情況,求出眾數第30頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四例：某廠甲車間有200名工人，他們每月加工的零件數如下表所示：按日產量分組（件）x工人數f121316172313合計8則，日產量眾數為13或者17第31頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四現檢測某廠生產的一批電子產品的耐用時間，得到資料如下表所示：眾數位于第三組

L=800U=1000i=1000-800=200

＝244-161＝83

＝244-157＝87耐用時間產品個數（個）600以下84600-800161800-10002441000-12001571200-1400361400以上18合計700例題第32頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四代入公式得：第33頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四二、中位數1、中位數：將總體單位的某一數量標志的各個數值按照大小順序排列，居于中間位置的那個數值就是中位數。2、中位數的特點和作用代表整個總體各單位標志值的平均水平各單位標志值與中位數離差的絕對值之和最小不受極端值的影響(缺乏敏感性)第34頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四計算方法

（1）由未分組資料確定中位數排序：確定中位數位置奇數：中間位置的標志值為中位數。偶數：中間位置相鄰兩個變量值的簡單平均數是中位數。第35頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（2）由分組資料確定中位數第一步：確定中位數所處位置，按確定（f為次數）。第二步：采用公式計算上限法：用“以上累計”法確定中位數。下限法：用“以下累計”法確定中位數。其中：U是中位數所在組的上限，L是中位數所在組的下限，fm是中位數所在組的次數，Sm+1是中位數所在組后面各組累計數，Sm-1是中位數所在組前面各組累計數，i是中位數所在組的組距。第36頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四

1、設有9個工人生產某種產品，其日產量件數按大小順序排列為67778991014。則中位數位次即處于第5位的那個標志值為中位數。即Me=8件。例題第37頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四2、設有10個工人生產某種產品，其日產量件數按大小順序排列為6777899101418。則其中位數位次:

中位數處在第5個標志值與第6個標志值之間中點的位置。則Me=(8+9)/2=8.5第38頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四3、某學院1999到2000學年共有30名同學獲得獎學金

學生獲獎學金分布情況及計算表獎學金金額（元/人）人數（人）人數累計以下累計（人）以上累計（人）300500800100015003687639172430302721136合計30—

—

第39頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四從表中資料計算，中位數位置為：（人）中位數在第15人的位置上。無論是以下累計法還是以上累計法，所選擇的累計人數數值都應是含15人的最小數值。表中的17和21符合這一要求，它們對應的都是第三組，即800元就中位數。第40頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四4、現檢測某廠生產的一批電子產品的耐用時間，得到資料如下表所示：耐用時間產品個數累計次數以下累計以上累計600以下8484700600-800161245（Sm-1)616800-1000244(fm)4894551000-1200157646211（Sm+1)1200-140036682541400以上1870018合計700－－第41頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第42頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四幾種平均數的關系數值平均數與位置平均數的關系：（1）它們代表的意義不同。

（2）受個別或少數極端值的影響程度不同

。（3）數值平均數與位置平均數各自適用的數據類型不同

。第43頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四圖5-1三種集中趨勢的關系幾種平均數的關系（4）三者關系：第44頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第二節變異指標

一、什么是變異指標

？變異指標——是指綜合反映總體各單位標志值及其分布的差異程度的指標，也稱為標志變異度指標。二、變異指標的作用1.可以反映平均指標的代表性程度2.說明現象或過程的均衡程度與穩定程度

3.在抽樣調查中，變異度指標是計算抽樣誤差和確定樣本量的依據第45頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四第二節變異指標三、變異指標的分類？1.全距和四分位差2.平均差、標準差、方差和變異系數

3.偏度和峰度掌握它們的計算、特點和適用范圍。第46頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四全距和四分位差第47頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四全距概念：全距指總體各單位標志值中最大值與最小值之差，因為它是總體中兩個極端值之差，故又稱為極差。計算公式：

優點：計算簡單，涵義直觀，運用方便。缺點：①不夠全面。它僅僅取決于兩個極端值的水平，不能反映整個數列的分布情況；②不夠準確。它受個別極端值的影響過于顯著，不符合穩健性和耐抗性的要求。

第48頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四四分位差概念：四分位差是指四分位數中間兩個分位數之差。

計算公式：其中：為第三個四分位數，

的位置

為第一個四分位數，

的位置

全距和四分位差均只使用部分數據進行計算。第49頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四四分位差例：在某城市隨機抽取9個家庭，調查得到每個家庭的人均月收入數據如下（單位：元），計算人均月收入的四分位差

1500、750、780、1080、850、960、2000、1250、1630解：把題目所給數據排序，結果如下：

750、780、850、960、1080、1250、1500、1630、2000

Q1位置=（n+1）/4=10/4=2.5，Q1=780+（850-780）*0.5=815Q3位置=3（n+1）/4=3*10/4=7.5，

Q3=1500+（1630-1500）*0.5=1565

四分位差Qd=Q3—Q1=1565-815=750第50頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四平均差概念：平均差是指總體各單位標志值對其算術平均數的離差絕對值的算術平均數。一般用A.D表示。計算公式：或（簡單平均差）

(加權平均差)

第51頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四平均差優點：①含義明確，它是根據總體各單位標志值計算出來的，綜合了各單位標志值的變異情況,所以它能夠充分、客觀地反映出了指標值的平均變異程度；②計算也比較簡便。

缺點：平均差的計算需要對離差取絕對值，這就不便于進一步的代數運算了

第52頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四某車間50名工人日加工零件標準差計算表按零件數分組組中值(Xi)頻數(Fi)|Xi-X||Xi-X|Fi105~110110~115115~120120~125125~130130~135135~140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.535814106415.710.75.70.74.39.314.347.153.545.69.843.055.857.2合計—50—312根據表中的數據，計算工人日加工零件數的平均差例題第53頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四方差概念：標準差的平方就是方差，一般用計算公式：或（簡單公式）

(加權公式)

表示。第54頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四標準差概念：標準差，是總體所有單位標志值與其平均數的離差平方的算術平均數的正平方根。一般用來表示。

計算公式：或（簡單標準差）

(加權標準差)

第55頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四【例5－7】有三個生產小組，各有５個人，每人日產量如下：甲組：24，24，24，24，24乙組：20，22，25，26，27丙組：10，20，25，30，35分別計算各組的日產量差異程度（標準差和方差）。第56頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四解：由于甲組5個工人的日產量都是24件，各單位標志值與平均數之間均無差異，因此，該組日產量方差和標準差均為零，即：第57頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四乙組丙組日產量(件))日產量(件）2022252627-4-2+1+2+31641494004846256767291020253035-14-4+1+6+11196161361211002006259001225合計0342914合計03703050乙組和丙組的標準差和方差計算表

第58頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四（件）（件）第59頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四計算結果表明，甲組方差和標準差均為0，說明該組工人日產量無差異；乙組方差和標準差居中，說明乙組工人日產量有差異，其差異程度大于甲組但小于丙組；丙組的方差和標準差在三組中是最大的。所以，盡管三組的算術平均數相等，但三個組的平均數對本組的代表程度不同，甲組的代表性最強，乙組其次，丙組最差。第60頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四若c=0，則

對分布數列而言，則

3、方差的簡捷計算第61頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四若分布數列是等距數列，則有a為中間組的組中值或次數最多的組中值，b為（x-a）的最大公約數第62頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四4.方差及標準差的計算一般的計算過程：列表簡捷計算方法：不計算離差方差及標準差

第一步計算均值

第二步計算離差

第三步離差平方

第四步乘以權數

第五步計算方差

第一步計算均值

第二步變量平方

第三步乘以權數

第四步計算方差第63頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四變量替換法：等距數列

第二步計算x’均值

第三步計算x’平方

第四步求x’方差

第五步求x方差

第一步變量替換x’第64頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四例4：某班50名學生統計學考試成績如下表所示，計算其考試成績的標準差成績（分）學生數（人）60以下460-701270-802080-901090以上4合計50第65頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四1、一般解法成績學生數fi組中值xixifixi-x(xi-x)2(xi-x)2fi60以下455220-19.6384.161536.6460-701265780-9.692.161105.9270-80207515000.40.163.2080-90108585010.4108.161081.6090以上49538020.4416.161664.64合計50/3730//5392.00第66頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四2、簡捷公式成績學生數fi組中值xixifixi2xi2fi60以下45522030251210060-70126578042255070070-8020751500562511250080-90108585072257225090以上495380902536100合計50/3730/283650第67頁，共77頁，2023年，2月20日，星期四3、變量替換法（a=75，b=10）成績學生數fi組中值xixi’xi’

fixi’

2fi60以下455-2-81660-701265-1-121270-80207500080-9010851101090以上4952816合計50//-254