-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高中三角函數習題解析精選(含詳細解答)三角函數題解1.（2003上海春，15）把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移個單位，再沿y軸向下平移1個單位，得到的曲線方程是（）A.（1－y）sinx+2y－3=0 B.（y－1）sinx+2y－3=0C.（y+1）sinx+2y+1=0 D.－(y+1)sinx+2y+1=02.（2002春北京、安徽，5）若角α滿足條件sin2α＜0，cosα－sinα＜0，則α在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（2002上海春，14）在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形4.（2002京皖春文，9）函數y=2sinx的單調增區間是（）A.［2kπ－，2kπ＋］（k∈Z）B.［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）C.［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D.［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）5.（2002全國文5，理4）在（0，2π）內，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為（）A.（，）∪（π，） B.（，π）C.（，） D.（，π）∪（，）6.（2002北京，11）已知f（x）是定義在（0，3）上的函數，f（x）的圖象如圖4—1所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（）圖4—1A.（0，1）圖4—1B.（1，）∪（，3）C.（0，1）∪（，3） D.（0，1）∪（1，3）7.（2002北京理，3）下列四個函數中，以π為最小正周期，且在區間（，π）上為減函數的是（）A.y=cos2x B.y＝2|sinx|C.y＝()cosx D.y=－cotx8.（2002上海，15）函數y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是（）9.（2001春季北京、安徽，8）若A、B是銳角△ABC的兩個內角，則點P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.（2001全國文，1）tan300°+cot405°的值是（）A.1＋ B.1－ C.－1－ D.－1＋11.（2000全國，4）已知sinα＞sinβ，那么下列命題成立的是（）A.若α、β是第一象限角，則cosα＞cosβB.若α、β是第二象限角，則tanα＞tanβC.若α、β是第三象限角，則cosα＞cosβD.若α、β是第四象限角，則tanα＞tanβ12.（2000全國，5）函數y＝－xcosx的部分圖象是（）13.（1999全國，4）函數f（x）=Msin（ωx＋）（ω＞0），在區間［a，b］上是增函數，且f（a）=－M，f（b）=M，則函數g（x）=Mcos（ωx＋）在［a，b］上（）A.是增函數 B.是減函數C.可以取得最大值－ D.可以取得最小值－m14.（1999全國，11）若sinα＞tanα＞cotα（－＜α＜，則α∈（）A.（－，－） B.（－，0）C.（0，） D.（，）15.（1999全國文、理，5）若f（x）sinx是周期為π的奇函數，則f（x）可以是（）A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x16.（1998全國，6）已知點P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，則在［0，2π］內α的取值范圍是（）A.（，）∪（π，） B.（，）∪（π，）C.（，）∪（，） D.（，）∪（，π）17.（1997全國，3）函數y=tan（π）在一個周期內的圖象是（）18.（1996全國）若sin2x>cos2x，則x的取值范圍是（）A.{x|2kπ－π<x<2kπ+，k∈Z}B.{x|2kπ+<x<2kπ+π，k∈Z}C.{x|kπ－<x<kπ+，k∈Z}D.{x|kπ+<x<kπ+π，k∈Z}19.（1995全國文，7）使sinx≤cosx成立的x的一個變化區間是（）A.［－，］ B.［－，］C.［－，］ D.［0，π］20.（1995全國，3）函數y＝4sin（3x＋）＋3cos（3x＋）的最小正周期是（）A.6π B.2π C. D.21.（1995全國，9）已知θ是第三象限角，若sin4θ＋cos4θ＝，那么sin2θ等于（）A. B.－ C. D.－22.（1994全國文，14）如果函數y=sin2x+acos2x的圖象關于直線x=－對稱，那么a等于（）A. B.－ C.1 D.－123.（1994全國，4）設θ是第二象限角，則必有（）A.tan>cot B.tan<cotC.sin>cos D.sin－cos24.（2002上海春，9）若f（x）=2sinωx（0＜ω＜1在區間［0，］上的最大值是，則ω＝.25.（2002北京文，13）sinπ，cosπ，tanπ從小到大的順序是.26.（1997全國，18）的值為_____.27.（1996全國，18）tan20°+tan40°+tan20°·tan40°的值是_____.28.（1995全國理，18）函數y＝sin（x－）cosx的最小值是.29.（1995上海，17）函數y＝sin＋cos在（－2π，2π）內的遞增區間是.30.（1994全國，18）已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），則cotθ的值是.31.（2000全國理，17）已知函數y＝cos2x＋sinxcosx＋1，x∈R.（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到?

32.（2000全國文，17）已知函數y＝sinx＋cosx，x∈R.（1）當函數y取得最大值時，求自變量x的集合；（2）該函數的圖象可由y＝sinx（x∈R）的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到?

33.（1995全國理，22）求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值.34.（1994上海，21）已知sinα＝，α∈（，π），tan（π－β）＝，求tan（α－2β）的值.35.（1994全國理，22）已知函數f（x）=tanx，x∈（0，），若x1、x2∈（0，），且x1≠x2，證明［f（x1）＋f（x2）］＞f（）.36.已知函數⑴求它的定義域和值域；⑵求它的單調區間；⑶判斷它的奇偶性；⑷判斷它的周期性.37.求函數f(x)=的單調遞增區間38.已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）⑴求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)單調區間；⑶求f(x)圖象的對稱軸，對稱中心。39若關于x的方程2cos2(+x)sinx+a=0有實根，求實數a的取值范圍。參考答案1.答案：C解析：將原方程整理為：y=，因為要將原曲線向右、向下分別移動個單位和1個單位，因此可得y=－1為所求方程.整理得（y+1）sinx+2y+1=0.評述：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數中的誘導公式.如果對平移有深刻理解，可直接化為：（y+1）cos（x－）+2（y+1）－1=0，即得C選項.圖4圖4—5解析：sin2α＝2sinαcosα＜0∴sinαcosα＜0即sinα與cosα異號，∴α在二、四象限，又cosα－sinα＜0∴cosα＜sinα由圖4—5，滿足題意的角α應在第二象限3.答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B4.答案：A解析：函數y=2x為增函數，因此求函數y=2sinx的單調增區間即求函數y=sinx的單調增區間.5.答案：C解法一：作出在（0，2π）區間上正弦和余弦函數的圖象，解出兩交點的橫坐標和，由圖4—6可得C答案.圖4—6圖4—7解法二：在單位圓上作出一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應選C.（如圖4—7）6.答案：C解析：解不等式f（x）cosx＜0∴∴0＜x＜1或＜x＜3圖4圖4—8解析：A項：y=cos2x=，x=π，但在區間（，π）上為增函數.B項：作其圖象4—8，由圖象可得T=π且在區間（，π）上為減函數.C項：函數y=cosx在(，π)區間上為減函數,數y=（）x為減函數.因此y=（）cosx在（，π）區間上為增函數.D項：函數y＝－cotx在區間（，π）上為增函數.8.答案：C解析：由奇偶性定義可知函數y=x+sin|x|，x∈［－π，π］為非奇非偶函數.選項A、D為奇函數，B為偶函數，C為非奇非偶函數.9.答案：B解析：∵A、B是銳角三角形的兩個內角，∴A＋B＞90°，∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故選B.10.答案：B解析：tan300°＋cot405°＝tan(360°－60°)＋cot(360°＋45°)＝－tan60°＋cot45°＝1－.11.答案：D解析：因為在第一、三象限內正弦函數與余弦函數的增減性相反，所以可排除A、C，在第二象限內正弦函數與正切函數的增減性也相反，所以排除B.只有在第四象限內，正弦函數與正切函數的增減性相同.12.答案：D解析：因為函數y＝－xcosx是奇函數，它的圖象關于原點對稱，所以排除A、C，當x∈（0，）時，y＝－xcosx＜0.13.答案：C解法一：由已知得M＞0，－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ（k∈Z），故有g（x）在［a，b］上不是增函數，也不是減函數，且當ωx＋＝2kπ時g（x）可取到最大值M，答案為C.解法二：由題意知，可令ω＝1，＝0，區間［a，b］為［－，］，M＝1，則g（x）為cosx，由基本余弦函數的性質得答案為C.評述：本題主要考查函數y=Asin（ωx＋）的性質，兼考分析思維能力.要求對基本函數的性質能熟練運用（正用逆用）；解法二取特殊值可降低難度，簡化命題.14.答案：B解法一：取α＝±，±代入求出sinα、tanα、cotα之值，易知α＝－適合，又只有－∈（－，0），故答案為B.解法二：先由sinα＞tanα得：α∈（－，0），再由tanα＞cotα得:α∈（－，0）評述：本題主要考查基本的三角函數的性質及相互關系，1995年、1997年曾出現此類題型，運用特殊值法求解較好.15.答案：B解析：取f（x）=cosx，則f（x）·sinx=sin2x為奇函數，且T=π.評述：本題主要考查三角函數的奇偶與倍角公式.16.答案：B解法一：P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，有tanα＞0，A、C、D中都存在使tanα＜0的α，故答案為B.解法二：取α＝∈（），驗證知P在第一象限，排除A、C，取α＝∈（，π），則P點不在第一象限，排除D,選B.解法三：畫出單位圓如圖4—10使sinα－cosα＞0是圖中陰影部分，又tanα＞0可得或π＜α＜，故選B.評述：本題主要考查三角函數基礎知識的靈活運用，突出考查了轉化思想和轉化方法的選擇，采用排除法不失為一個好辦法.17.答案：A解析：y＝tan（π）＝tan（x－），顯然函數周期為T＝2π，且x＝時，y=0，故選A.評述：本題主要考查正切函數性質及圖象變換，抓住周期和特值點是快速解題的關鍵.18.答案：D解析一：由已知可得cos2x=cos2x－sin2x<0，所以2kπ+<2x<2kπ+π，k∈Z.解得kπ+<x<kπ+π，k∈Z（注：此題也可用降冪公式轉化為cos2x<0）.解析二：由sin2x>cos2x得sin2x>1－sin2x，sin2x>.因此有sinx>或sinx<－.由正弦函數的圖象（或單位圓）得2kπ+<x<2kπ+π或2kπ+π<x<2kπ+π（k∈Z），2kπ+π<x<2kπ+π可寫作（2k+1）π+<x<（2k+1）π+，2k為偶數，2k+1為奇數，不等式的解可以寫作nπ+<x<nπ+，n∈Z.評述：本題考查三角函數的圖象和基本性質，應注意三角公式的逆向使用.19.答案：A圖4—11解法一：由已知得：sin（x－）≤0，所以2kπ＋π≤x－≤2kπ＋2π，2kπ＋≤x≤2kπ＋，令k=－1得－≤x≤，選A.圖4—11圖4—12解法二：取x＝，有sin，排除C、D，取x＝，有sin＝，排除B，故選A.圖4—12解法三：設y＝sinx，y＝cosx.在同一坐標系中作出兩函數圖象如圖4—11，觀察知答案為A.解法四：畫出單位圓，如圖4—12，若sinx≤cosx，顯然應是圖中陰影部分，故應選A.評述：本題主要考查正弦函數、余弦函數的性質和圖象，屬基本求范圍題，入手容易，方法較靈活，排除、數形結合皆可運用.20.答案：C解析：y＝4sin（3x＋）＋3cos（3x＋）＝5［sin（3x＋）＋cos（3x＋）］＝5sin（3x＋＋）（其中tan＝）所以函數y＝sin（3x＋）＋3cos（3x＋）的最小正周期是T＝.故應選C.評述：本題考查了asinα＋bcosα＝sin（α＋），其中sin＝，cos＝，及正弦函數的周期性.21.答案：A解法一：將原式配方得（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ＝于是1－sin22θ＝，sin22θ＝，由已知，θ在第三象限，故2kπ＋π＜θ＜2kπ＋從而4kπ＋2π＜2θ＜4kπ＋3π故2θ在第一、二象限，所以sin2θ＝，故應選A.解法二：由2kπ＋π＜θ＜2kπ＋，有4kπ＋2π＜4kπ＋3π（k∈Z），知sin2θ＞0，應排除B、D，驗證A、C，由sin2θ＝，得2sin2θcos2θ＝，并與sin4θ＋cos4θ＝相加得（sin2θ＋cos2θ）2＝1成立，故選A.評述：本題考查了學生應用正余弦的平方關系配方的能力及正弦函數值在各象限的符號的判別.22.答案：D解析：函數y=sin2x+acos2x的圖象關于直線x=－對稱，表明：當x=－時，函數取得最大值，或取得最小值－,所以有［sin（－）+a·cos（－）］2=a2+1，解得a=－1.評述：本題主要考查函數y=asinx+bcosx的圖象的對稱性及其最值公式.23.答案：A解法一：因為θ為第二象限角，則2kπ＋＜θ＜2kπ＋π（k∈Z），即為第一象限角或第三象限角，從單位圓看是靠近軸的部分如圖4—13，所以tan＞cot.圖4—13解法二：由已知得：2kπ＋＜θ＜2kπ＋π，kπ＋＜圖4—13kπ＋，k為奇數時，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z）；k為偶數時，2nπ＋＜＜2nπ＋（n∈Z），都有tan＞cot，選A.評述：本題主要考查象限角的概念和三角函數概念，高于課本.24.答案：解析：∵0＜ω＜1∴T＝＞2π∴f（x）在［0，］區間上為單調遞增函數∴f（x）max＝f（）即2sin又∵0＜ω＜1∴解得ω＝25.答案：cosπ＜sin＜tan解析：cos＜0，tan＝tan∵0＜x＜時，tanx＞x＞sinx＞0∴tan＞sin＞0∴tan＞sin＞cos26.答案：2－解析：.評述：本題重點考查兩角差的三角公式、積化和差公式、半角公式等多個知識點.27.答案：解析：tan60°=，∴tan20°+tan40°=－tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+tan20°tan40°=.28.答案：－解析：y＝sin（x－）cosx＝［sin（2x－）－sin］＝［sin（2x－）－］當sin（2x－）＝－1時，函數有最小值，y最小＝（－1－）＝－.評述：本題考查了積化和差公式和正弦函數有界性（或值域）.29.答案：［］解析：y＝sin＋cos＝sin（），當2kπ－≤＋≤2kπ＋（k∈Z）時，函數遞增，此時4kπ－≤x≤4kπ＋（k∈Z），只有k＝0時，［－，］（－2π，2π）.30.答案：－解法一：設法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，為此先求出sinθ－cosθ的值.將已知等式兩邊平方得1＋2sinθcosθ＝變形得1－2sinθcosθ＝2－，圖4—14即（sinθ－cosθ圖4—14又sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π）則＜θ＜，如圖4—14所以sinθ－cosθ＝，于是sinθ＝，cosθ＝－，cotθ＝－.解法二：將已知等式平方變形得sinθ·cosθ＝－，又θ∈（0，π），有cosθ＜0＜sinθ，且cosθ、sinθ是二次方程x2－x－＝0的兩個根，故有cosθ＝－，sinθ＝，得cotθ＝－.評述：本題通過考查三角函數的求值考查思維能力和運算能力，方法較靈活.31.解：（1）y＝cos2x＋sinxcosx＋1＝（2cos2x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1＝cos2x＋sin2x＋＝（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋＝sin（2x＋）＋y取得最大值必須且只需2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z.所以當函數y取得最大值時，自變量x的集合為｛x|x＝＋kπ，k∈Z｝.（2）將函數y＝sinx依次進行如下變換：①把函數y＝sinx的圖象向左平移，得到函數y＝sin（x＋）的圖象；②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數y＝sin（2x＋）的圖象；③把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的倍（橫坐標不變），得到函數y＝sin（2x＋）的圖象；④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數y＝sin（2x＋）＋的圖象；綜上得到函數y＝cos2x＋sinxcosx＋1的圖象.評述：本題主要考查三角函數的圖象和性質，考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力.32.解：（1）y＝sinx＋cosx＝2（sinxcos＋cosxsin）＝2sin（x＋），x∈Ry取得最大值必須且只需x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z.所以，當函數y取得最大值時，自變量x的集合為｛x|x＝＋2kπ，k∈Z｝（2）變換的步驟是：①把函數y＝sinx的圖象向左平移，得到函數y＝sin（x＋）的圖象；②令所得到的圖象上各點橫坐標不變，把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數y＝2sin（x＋）的圖象；經過這樣的變換就得到函數y＝sinx＋cosx的圖象.評述：本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角公式進行恒等變形的技能及運算能力.33.