2．2.2向量減法運算及其幾何意義學習目標1.理解相反向量的含義，向量減法的意義及減法法例

.2.

掌握向量減法的幾何意義.3.能嫻熟地進行向量的加、減運算．知識點一相反向量思慮實數a的相反數為－，向量a與－a的關系應叫做什么？a答案相反向量．梳理(1)定義：假如兩個向量長度相等，而方向相反，那么稱這兩個向量是相反向量．性質：①關于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.②若a，b互為相反向量，則a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.③零向量的相反向量還是零向量．知識點二向量的減法思慮依據向量減法的定義，已知a，b如圖，如何作出向量

a，b的差向量

a－b?答案(1)利用平行四邊形法例．如圖，在平面內任取一點→→→→→OAEC，O，作OA＝a，OB＝b，OC＝－b，以OA，OC為鄰邊作平行四邊形→則OE＝a－b.利用三角形法例．如圖，在平面內任取一點→O，作OA＝a，→＝，則→＝－.OBbBAab知識點三|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的關系思慮在三角形中有兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，聯合這一性質及向量加、減法的幾何意義，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者關系是如何的？答案它們之間的關系為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.梳理當向量a，b不共線時，作→＝，→＝，則a＋＝→，如圖(1)，依據三角形的三邊OAaABbbOB關系，則有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.當a與b共線且同向或a，b中起碼有一個為零向量時，作法同上，如圖(2)，此時|a＋b|＝||＋|b|.當a與b共線且反向或a，b中起碼有一個為零向量時，不如設||>||，作法同aab上，如圖(3)，此時|a＋b|＝||a|－|b||.故關于隨意愿量a，b，總有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①由于|－|＝|＋(－)|，abab因此||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②將①②兩式聯合起來即為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.1．相反向量就是方向相反的向量．(×)提示相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量不過方向相反，大小沒相關系．2→→√)．向量AB與BA是相反向量．(提示→與→大小相等、方向相反．ABBA3→→√)．－AB＝BA，－(－a)＝a.(提示依據相反向量的定義可知其正確．4．兩個相等向量之差等于0.(×)提示兩個相等向量之差等于0.種類一向量減法的幾何作圖例1如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.考點向量的減法運算及其應用題點求作差向量解方法一如圖①，在平面內任取一點→→→→O，作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b，再作OC＝c，則→CB＝a＋b－c.方法二如圖②，在平面內任取一點→→→→O，作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b，再作CB＝c，連結→OC，則OC＝a＋b－c.引申研究若本例條件不變，則a－b－c如何作？解如圖，在平面內任取一點→→→→→O，作OA＝a，OB＝b，則BA＝a－b.再作CA＝c，則BC＝a－b－c.反省與感悟求作兩個向量的差向量時，當兩個向量有共同始點，直接連結兩個向量的終點，并指向被減向量，就獲得兩個向量的差向量；若兩個向量的始點不重合，先經過平移使它們的始點重合，再作出差向量．追蹤訓練1→→→如下圖，O為△ABC內一點，OA＝a，OB＝b，OC＝c.求作：b＋c－a.考點向量的減法運算及其應用題點求作差向量→→解方法一以OB，OC為鄰邊作?OBDC，連結OD，AD，→→→則OD＝OB＋OC＝b＋c，→→→AD＝OD－OA＝b＋c－a.→→方法二作CD＝OB＝b，→→→連結AD，則AC＝OC－OA＝c－a，→→→AD＝AC＋CD＝c－a＋b＝b＋c－a.種類二向量減法法例的應用例2化簡以下式子：→→→(1)NQ－PQ－NM－MP；→→→→(2)(AB－CD)－(AC－BD)．考點向量加、減法的綜合運算及應用題點利用向量的加、減法化簡向量→→→→→→→解(1)原式＝NP＋MN－MP＝NP＋PN＝NP－NP＝0.→→→→(2)原式＝AB－CD－AC＋BD→→→→→→＝(AB－AC)＋(DC－DB)＝CB＋BC＝0.反省與感悟向量減法的三角形法例的內容是：兩向量相減，表示兩向量起點的字母一定相同，這樣兩向量的差向量以減向量的終點字母為起點，以被減向量的終點的字母為終點．→→→→追蹤訓練2化簡：(1)(BA－BC)－(ED－EC)；→→→→→→(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．考點向量加、減法的綜合運算及應用題點利用向量的加、減法化簡向量解(1)(→→－→→BA－BC)(ED－EC)→→→＝CA－CD＝DA.→→→－→→→(2)(AC＋BO＋OA)(DC－DO－OB)→→→→→＝AC＋BA－DC＋(DO＋OB)→→→→＝AC＋BA－DC＋DB＝→－→＋→＝→＋→＋→BCDCDBBCCDDB→→0.＝BC＋CB＝種類三向量減法幾何意義的應用例3→＝6→→→已知|AB|，|AD|＝9，求|AB－AD|的取值范圍．考點向量減法的定義及其幾何意義的應用題點向量、和向量與差向量的模之間的特別關系→→→→→→→→→→≤15.解∵||AB|－|AD||≤|AB－AD|≤|AB|＋|AD|，且|AD|＝9，|AB|＝6，∴3≤|AB－AD|→→→→＝3；當AD與AB同向時，|AB－AD|→→→→＝15.當AD與AB反向時，|AB－AD|→→的取值范圍為[3,15]．∴|AB－AD|反省與感悟(1)如下圖，在平行四邊形→→→→ABCD中，若AB＝a，AD＝b，則AC＝a＋b，DB＝a－b.(2)在公式||a|－|b||≤|＋|≤||＋|b|中，當a與b方向相反且|a|≥||時，||－||ababab＝|a＋b|；當a與b方向同樣時，|a＋b|＝|a|＋|b|.在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，當a與b方向同樣，且|a|≥|b|時，|a|－|b|＝|－|；當a與b方向相反時，|－|＝|a|＋|b|.abab追蹤訓練3→→→在四邊形ABCD中，設AB＝a，AD＝b，且AC＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，則四邊形ABCD的形狀是( )A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形考點向量減法的定義及其幾何意義的應用題點向量、和向量與差向量的模之間的特別關系答案B→分析∵AC＝a＋b，∴四邊形ABCD為平行四邊形，→又∵DB＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，→→∴|AC|＝|DB|.∴四邊形ABCD為矩形.→→→→1.如下圖，在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，則用a，b表示向量AC和BD分別是( )A．a＋b和a－bB．a＋b和b－aC．a－b和b－aD．b－a和b＋a考點向量減法的定義及其幾何意義題點向量減法的定義及其幾何意義答案B分析由向量的加法、減法法例，得→→→AC＝AB＋AD＝a＋b，→→→BD＝AD－AB＝b－a.應選B.→→→→2.OP－QP＋PS＋SP等于( )→→→→A.QPB.OQC.SPD.SQ考點向量加、減法的綜合運算及應用題點利用向量的加、減法化簡向量答案B3．以下等式建立的個數是( )①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0－a＝－a；④－(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0.A．5B．4C．3D．2考點向量加、減法的綜合運算及應用題點利用向量的加、減法化簡向量答案B分析由向量加、減法的定義可知，①③④⑤正確．4.如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且→→→AB＝a，AC＝b，AE＝c，試用a，，表示向量→，→，→，→及→.bcBDBCBECDCE考點向量加、減法的綜合運算及應用題點用已知向量表示未知向量解∵四邊形ACDE是平行四邊形，→→∴CD＝AE＝c，→→→BC＝AC－AB＝b－a，→→→BE＝AE－AB＝c－a，→→→CE＝AE－AC＝c－b，→→→∴BD＝BC＋CD＝b－a＋c.→→1．向量減法的實質是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義，－AB＝BA就能夠把減法轉變為加法．即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法例作向量減法時，要注意“差向量連結兩向量的終點，箭頭指向被減向量”．解題時要聯合圖形，正確判斷，防備混雜．→→3．以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB，AD分別表示向量AB＝a，AD＝b，則兩條對角線表示的→→→向量為AC＝a＋b，BD＝b－a，DB＝a－b，這一結論在此后應用特別寬泛，應當增強理解并掌握.一、選擇題1．化簡→－→＋→所得的結果是( )PMPNMN→→→A.MPB.NPC．0D.MN考點向量加、減法的綜合運算及應用題點利用向量的加、減法表示向量答案C分析→－→＋→＝→＋→＝0.PMPNMNNMMN→→→2．在平行四邊形ABCD中，AB＋CB－DC等于( )→→→→A.BCB.ACC.DAD.BD考點向量加、減法的綜合運算及應用題點幾何圖形中的向量加、減法運算答案C分析在平行四邊形→→→→ABCD中，AB＝DC，CB＝DA，→→→→→→→因此AB＋CB－DC＝(AB－DC)＋CB＝DA.3．在邊長為1的正三角形中，|→－→|的值為( )ABCABBC3A．1B．2C.2D.3考點題點

向量加、減法的綜合運算及應用利用向量的加、減法化簡向量答案

D分析

如圖，作菱形

ABCD，→→→→則|AB－BC|＝|AB－AD|→＝|DB|＝3.4．(2017·三門峽靈寶三中質檢)以下四個式子中能夠化簡為→AB的是( )→→→→→→→→→①AC＋CD－BD；②AC－CB；③OA＋OB；④OB－OA.A．①④B．①②C．②③D．③④考點向量加、減法的綜合運算及應用題點利用向量的加、減法化簡向量答案A分析→→→→→→→→由于AC＋CD－BD＝AD－BD＝AD＋DB＝AB，因此①正確，清除C，D；由于→－→＝→，因此④正確，清除B，應選A.OBOAAB5.如圖，D，E，F分別是△ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()→→→A.AD＋BE＋CF＝0B.→－→＋→＝0BDCFDF→→→C.AD＋CE－CF＝0→→→D.BD－BE－FC＝0考點向量加、減法的綜合運算及應用題點幾何圖形中的向量加、減法運算答案A→→→1→1→1→1→→→分析AD＋BE＋CF＝2AB＋2BC＋2CA＝2(AB＋BC＋CA)＝0.→→→)6．若|AB|＝5，|AC|＝8，則|BC|的取值范圍是(A．[3,8]B．(3,8)C．[3,13]D．(3,13)考點向量減法的定義及幾何意義題點向量減法的三角不等式答案C分析→＝|→→且∵|BC|AC－AB|→－|→→→≤|→|＋|→，|||||≤|－||ACABACABACAB→→→∴3≤|AC－AB|≤13，∴3≤|BC|≤13.7.如圖，在四邊形→→→→ABCD中，設AB＝a，AD＝b，BC＝c，則DC等于( )A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c考點向量加減法的綜合運算及應用題點用已知向量表示未知向量答案A二、填空題8．化簡：→→→→→→→(1)PB＋OP－OB＝________；(2)OB－OA－OC－CO＝________.考點向量加、減法的綜合運算及應用題點利用向量的加、減法化簡向量答案(1)0→(2)AB分析(1)→→→→→PB＋OP－OB＝PB＋BP＝0；(2)→－→－→－→＝(→－→)－(→＋→)OBOAOCCOOBOAOCCO→→＝AB－0＝AB.→→→→＝5，且∠AOB＝90°，則|a－b|＝________.9．已知OA＝a，OB＝b，若|OA|＝12，|OB|考點向量加、減法的綜合運算及應用題點利用向量的加、減法運算求向量的模答案13分析→＝12，|→＝5，∠AOB＝90°，∵|OA|OB|→2→2→2→∴|OA|＋|OB|＝|AB|，∴|AB|＝13.→→∵OA＝a，OB＝b，→→→∴a－b＝OA－OB＝BA，→∴|a－b|＝|BA|＝13.→→→→→10.如下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于點O，則BA－BC－OA＋OD＋DA＝________.考點向量加、減法的綜合運算及應用題點幾何圖形中向量的加、減法運算答案→CA11．設點M是線段BC的中點，點A→→→→→→在直線BC外，且|BC|＝4，|AB＋AC|＝|AB－AC|，則|AM|＝________.考點向量減法的定義及其幾何意義的應用題點向量、和向量與差向量的模之間的特別關系答案2分析以AB，AC為鄰邊作平行四邊形ACDB，由向量加減法幾何意義可知，→→→→AD＝AB＋AC，CB＝→→→→→→→→→→AB－AC，∵|AB＋AC|＝|AB－AC|，∴|AD|＝|CB|，又|BC|＝4，M是線段BC的中點，∴|AM|1→1→＝2|AD|＝2|BC|＝2.12.如下圖，已知正方形→→→，則(1)|a＋＋|＝________；的邊長為1，＝，＝，＝ABCDABaBCbACcbc(2)|a－b＋c|＝______.考點向量加、減法的綜合運算及應用題點利用向量的加、減法運算求向量的模答案(1)22(2)2分析(1)由已知得a＋＝→＋→＝→，bABBCAC→∵AC＝c