人教版高中數學全部教案

導數的背景（5月4日）

教學目標理解函數的增量與自變量的增量的比的極限的具體意義

教學重點瞬時速度、切線的斜率、邊際成本

教學難點極限思想

教學過程

一、導入新課

1.瞬時速度

問題1：一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？

析：大家知道，自由落體的運動公式是S=[gt2（其中g是重力加速度）.

2

當時間增量At很小時，從3秒到（3+Z）秒這段時間內，小球下落的快慢

變化不大.因此，可以用這段時間內的平均速度近似地反映小球在下落3秒時

的速度.

從3秒到（3+At）秒這段時間內位移的增量：

△s=s(3+At)-s(3)=4.9(寸回)2-4.9k2=29.4,+4.9Qt)2

—&

從而，v=—=29.4旬.9也

At

從上式可以看出，卜越小，迎接近29.4米/秒；當t無限趨近于。時,o△

△t△t

無限趨近于29.4米/秒.此時我們說，當去趨向于0時,的極限是294

sAt

當A趨向于0時，平均速度區的極限就是小球下降3秒時的速度，也叫做

△t

瞬時速度.

一般地，設物體的運動規律是s=s（t）,則物體在t到（t2t）這段時間

+A

內的平均速度為^s=s（tt）-s（t）.如果A無限趨近于0時，無限趨近于

4At△t

某個常數a,就說當At趨向于0時，絲的極限為a,這時a就是物體在時刻t

△t

的瞬時速度.

2.切線的斜率

問題2：P（1,1）是曲線yx*上的一點，Q是曲線上點P附近的一個點，當點Q

沿曲線逐漸向點P趨近時割線PQ的斜率的變化情況.

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2

析：設點Q的橫坐標為1+9，則點Q的縱坐標為(1+Ax)，點Q對于點P

的縱坐標的增量(即函數的增量)(1+AX)2-1=28fx)2,

2

△y2/<+(△x)

所以，割線PQ的斜率kPQ=——=------------------=2+Ax.

△x&x

由此可知，當點Q沿曲線逐漸向點P接近時，Ax變得越來越小，kpQ越來

越接近2；當點Q無限接近于點P時，即Ax無限趨近于0時，kpQ無限趨近于

2.這表明，割線PQ無限趨近于過點P且斜率為2的直線.我們把這條直線叫

做曲線在點P處的切線.由點斜式，這條切線的方程為：y1-.

一般地，已知函數的圖象是曲線C,P(xo,yo),(x0x,yoy)

y=f(x)c+△+△

是曲線C上的兩點，當點Q沿曲線逐漸向點P接近時，割線PQ繞著點P轉動.當

點Q沿著曲線無限接近點P,即x趨閨于。時，如果割線PQ無限趨近于一

個極限位置PT,那么直線PT叫做曲線在點P處的切線.此時，割線PQ的斜

率卜「0=義無限趨近于切線PT的斜率k,也就是說，當AX趨向于0時，割線

△xy

PQ的斜率kPQ=—的極限為k.

△x

3.邊際成本

問題3：設成本為C,產量為q,成本與產量的函數關系式為C(q)=3q*10,我

們來研究當q=50時，產量變化的對成本的影響.在本問題中，成本的增量為:

AC=C(50+“)￡(50)5(50+4|)2+10-(3X50〃10)=300+3^q)2.

、

產量變化Aq對成本的影響可用：A工=300+3用來刻劃，Aq越小，竺\C越接近

%Aq

300；當德無限趨近于0時，絲無限趨近于300,我們就說當Aq趨向于0時，

%

竺Ac的極限是300.

c°

我們把JA的極限300叫做當q=50時C(q)=3q2+10的邊際成本.

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一般地，設C是成本，q是產量，成本與產量的函數關系式為C=C（q）,

當產量為q。時，產量變化4對成本的影響可用增量比任，9°+8）°（q°）

AqAq

c

刻劃.如果H無限趨近于0時，9無限趨近于常數A,經濟學上稱A為邊際

△q

成本.它表明當產量為q。時，增加單位產量需付出成本A（這是實際付出成本

的一個近似值）.

二、小結

S

瞬時速度是平均速度當4趨近于o時的極限；切線是割線的極限位置，

At

切線的斜率是割線斜率型當AX趨近于0時的極限；邊際成本是平均成本絲當

△xAq

△q趨近于0時的極限.

三、練習與作業：

1.某物體的運動方程為s（t）=5t2（位移單位：m,時間單位：s）求它在t=2s

時的速度.

2.判斷曲線y效2在點P（1,2）處是否有切線，如果有，求出切線的方程.

3.已知成本C與產量q的函數關系式為C=2q?+5,求當產量q=80時的邊際

成本.

4.一球沿某一斜面自由滾下，測得滾下的垂直距離h（單位：m）與時間t（單

位：s）之間的函數關系為h但，求t=4s時此球在垂直方向的瞬時速度.

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5,判斷曲線y=算X。在(1,_)處是否有切線，如果有，求出切線的方程?

6.已知成本C與產量q的函數關系為C4q27力求當產量q=30時的邊際成

導數的概念(5月4日)

教學目標與要求：理解導數的概念并會運用概念求導數。

教學重點：導數的概念以及求導數

教學難點：導數的概念

教學過程：

一、導入新課：

上節我們討論了瞬時速度、切線的斜率和邊際成本。雖然它們的實際意義不同，但從函

數角度來看，卻是相同的，都是研究函數的增量與自變量的增量的比的極限。由此我們引出下面

導數的概念。

二、新授課：

1.設函數y=f(x)在x=xo處附近有定義，當自變量在x=x()處有增量Ax時，則函數

Y=f(x)相應地有增量Ay=f(x(^Ax)-f(xo),如果AXT0時，Ay與Ax的比——(也

yAx

叫函數的平均變化率)有極限即無限趨近于某個常數，我們把這個極限值叫做函數

y-f(x)在xxo處的導數，記作y/x5)

7A

f(x0)=lim~xj-f(x0)

2△x

注：1.函數應在點Xo的附近有定義，否則導數不存在。

2.在定義導數的極限式中，AX趨近于0可正、可負、但不為0,而Ay可能為0。

殳V是函數y=f(x)對自變量X在為范圍內的平均變化率，它的幾何意義是過曲線

4

y=f(x)上點(x0,f(x0))及點(XQ-Ax,f(xo+Ax))的割線斜率。

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4.導數f/(X。)=limf(xo+，x)--------L是函數y=f(x)在點x0的處瞬時變化率，

△tZ

它反映的函數y=f(x)在點xo處變化的快慢程度，它的幾何意義是曲線y=f(x)±

點(xo,f(xo))處的切線的斜率。因此，如果y=f(x)在點x0可導，貝U曲線y=f(x)

在點(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0)?

5.導數是一個局部概念，它只與函數y=f(x)在xo及其附近的函數值有關，與Ax無關。

6.在定義式中，設x=x()+Ax,則Ax=x-xo,當Ax趨近于。時，x趨近于Xo,因

/+A--MX)

此，導數的定義式可寫成f(xo)=lim-Mx0-----x)-f(xo)=limf(x)-------°。

AT。4x-*ox-Xo

f(Xo..f(x0)

7.若極限lim_1+葭)二___不存在，則稱函數y=f(x)在點x0處不可導。

△會怎

8.若f(x)在Xo可導，則曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))有切線存在。反之不然，若曲

線y=f(x)在點(x(),f(xo))有切線，函數y=f(x)在x()不一定可導，并且，若函數

y=f(x)在xo不可導，曲線在點(x0,f(x0))也可能有切線。

一般地，lim(a+bAX)=a，其中a,b為常數。

AT

特別地，lima=ao

ZMO

如果函數y=f(x)在開區間(a,b)內的每點處都有導數，此時對于每一個xw(a,b),都

對應著一個確定的導數f/(X),從而構成了一個新的函數f/(x)。稱這個函數f/(x)為函

數y=f(x)在開區間內的導函數，簡稱導數，也可記作y/,即

f/(x)=y，'=lim匕=limf(&x)-f(x)

>A>A

x0入Yx0人Y

函數y=f(x)在xo處的導數y/XK。就是函數y=f(x)在開區間(a,b)(x€(a,b))上導

數f/(x)在xo處的函數值，即y/x=°=flx。)。所以函數y=f(x)在xo處的導數也記作

注：1.如果函數y=f(x)在開區間(a,b)內每一點都有導數，則稱函數y=f(x)在開區間

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(a,b)內可導。

2.導數與導函數都稱為導數，這要加以區分：求一個函數的導數，就是求導函數；求一

個函數在給定點的導數，就是求導函數值。它們之間的關系是函數y=f(x)在點x0處

的導數就是導函數U(x)在點X。的函數值。

3.求導函數時，只需將求導數式中的xo換成x就可，即/(x)=limf(x+7(x)

ATAX

4.由導數的定義可知，求函數y=f(x)的導數的一般方法是：

(1).求函數的改變量AY=f(x+4x)_f(x)。

⑵.求平均變化率f(x+a)-f(x)。

△xAx

⑶.取極限，得導數y/=lim竺。

3Ax

例1.求y=2x/_1在x=-3處的導數。

O

例2.已知函數y=x+x

(1)求y，。

O

(2)求函數y=x+x在x=2處的導數。

小結：理解導數的概念并會運用概念求導數。

練習與作業：

1.求下列函數的導數：

(1)y=3x-4；(2)y=1-2x

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O

⑶y=3x_12x(3)y=5_x3

2.求函數y=x'+1在-1,0,1處導數。

3.求下列函數在指定點處的導數:

2c2

(1)y=x,Xg=2；(2)y=—x,XgQ；

3

o2

(3)y=(x-2),XQ=1(4)y=x一x,xo=—1.

4.求下列函數的導數:

2

(1)y4x1t(2)y=10-x；

2

(3)y=2x_3x;(4)y=2x+7。

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O

5.求函數y=x_2x在一2,0,2處的導數。

導數的概念習題課(5月6日)

教學目標理解導數的有關概念，掌握導數的運算法則

教學重點導數的概念及求導法則

教學難點導數的概念

一、課前預習

1.f(X)在點Xo處的導數是函數值的改變量____________________與相應自變量的改變

量—的商當_____________________________

2.若f(x)在開區間(a,b)內每一點都有導數f/(x),稱f/(x)為函數f(x)的導函數；求

一個函數的導數，就是求；求一個函數在給定點的導數，就是求.函

數f(x)在點x0處的導數就是.

3.常數函數和尋函數的求導公式：(c)/=—(X)=(n^N)

4.導數運算法則：若,則：

[f(X)由(X)]/=f''(x)士g/(x)[cf(X)]7=cfz(x)

二、舉例

例1.設函數f(x)=x”-1,求：

(1)當自變量x由1變到1.1時，自變量的增量Ax：

(2)當自變量X由1變到1.1時，函數的增量Ay；

(3)當自變量x由1變到1.1時，函數的平均變化率；

(4)函數在x=1處的變化率.

O

例2.生產某種產品q個單位時成本函數為C(q)=200t).05q,求

(1)生產90個單位該產品時的平均成本；

(2)生產90個到100個單位該產品時，成本的平均變化率；

(3)生產90個與100個單位該產品時的邊際成本各是多少

例3.已知函數f(x)=x2,由定義求i(x),并求f/(4).

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例4.已知函數f(x)=(ax+b)2(a,b為常數)，求f'(x).

2

例5.曲線y=_X上哪一點的切線與直線t3xJ平行？

2

三、鞏固練習

1.若函數f(x)=x3,則[f(2)]/=

2.如果函數y=f(x)在點xo處的導數分別為：

⑴f(xo)=0(2)f/(Xo)斗

Z

(3)f(Xo)-|=-(4)f(XQ)=2,

試求函數的圖象在對應點處的切線的傾斜角.

//1

3.已知函數f(x)=x-2x2，求f(0)，f(—)，?

4

4.求下列函數的導數

(1)y=lx2+3K2(2)y=J.X3-1-X2+5)u1

243

(3)y=x(x-4)(4)y=(2x-1產(3h2)

四、作業

1.若limf(x)存在，則[limf(x)]z=

xf

ot(x1t

2.若f(x)=x，則lim

廠x-l

3.求下列函數的導數：

⑴y=2x4-20x2-40x中(2)y=32x4婿-SX^X4

6

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(3)y=(2x3+1)(3x2+x)(4)y=(x+2)2(x-i)3

o

4.某工廠每日產品的總成本C是日產量x的函數，即C(x)=1000+7x+5x,試求:

(1)當日產量為100時的平均成本；

(2)當日產量由100增加到125時，增加部分的平均成本；

(3)當日產量為100時的邊際成本.

5.設電量與時間的函數關系為Q=2t”+3t+L求t=3s時的電流強度.

6.設質點的運動方程是sJ3t2+2t+1,計算從1=2到1=2+At之間的平均速度，并計算

當N=0」時的平均速度，再計算t=2時的瞬時速度.

7.若曲線y=_X*1的切線垂直于直線&X6$3=0,試求這條切線的方程

2

O

8.在拋物線y=2+x_x/上，哪一點的切線處于下述位置？

(1)與x軸平行

(2)平行于第一象限角的平分線.

(3)與x軸相交成45°角

9.已知曲線y=2X-X2上有兩點A(2,0),求：

(1)割線AB的斜率kAB；(2)過點A的切線的斜率kAT；

(3)點A處的切線的方程

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O

10.在拋物線y=X”上依次取M(1,1),N(3,9)兩點，作過這兩點的割線，問：拋物線上

哪一點處的切線平行于這條割線？并求這條切線的方程

11.已知一氣球的半徑以10cm/s的速度增長，求半徑為10cm時-，該氣球的體積與表面積的增長

速度.

12.一長方形兩邊長分別用x與y表示，如果x以0.01m/s的速度減小，y邊以0.02m/s的速度增

加，求在x=20m,y=15m時，長方形面積的變化率.

O

13.(選做)證明：過曲線xy=a"上的任何一點(xo,yo)(x0>0)的切線與兩坐標軸圍

_1/

成的三角形面積是一個常數?(提小：(_)=_」)

XX2

導數的應用習題課(5月8日)

教學目標掌握導數的幾何意義，會求多項式函數的單調區間、極值、最值

教學重點多項式函數的單調區間、極值、最值的求法

教學難點多項式函數極值點的求法、多項式函數最值的應用

一、課前預習

1.設函數y=f(x)在某個區間內有導數，如果在這個區間內,則yf(x)是這個

區間內的；如果在這個區間內,則=yf(x)是這個區間內的.

2.設函數y=f(x)在x=x0及其附近有定義，如果f(x0)的值比x0附近所有各點的值都大

(小)，則稱f(X。)是函數y=f(x)的一個.

3.如果y=f(x)在某個區間內有導數，則可以這樣求它的極值；

(1)求導數；(2)求方程的根(可能極值點)；

(3)如果在根的左側附近為右側附近為則函數y=f(x)在這個根處取得極—值；

如果在根的左側附近為右側附近為則函數y=f(x)在這個根處取得極—值.

4.設y=f(x)是定義在［a,b］上的函數，y=f(x)在(a,b)內有導數，可以這樣求最值:

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(1)求出函數在(a,b)內的可能極值點(即方程%)=0…

fx在(a,b)內的根X1,X2,,xn)；

(2)比較函數值f(a),f(b)與f(Xi),f(X2),…，f(Xn),其中最大的一個為最大值，最

小的一個為最小值

二、舉例

例.確定函數

1()=23_92+12_3

XXXX的單調區間.

例2.設一質點的運動速度是v(t)_t3+2

47153,問：從t=0到t=10這段時間內,

運動速度的改變情況怎樣？

13

例3.求函數QX-9、+4的極值.

X在Xi=1與X2=2處取得極值，試確

例4.設函數f(X)=4aX3+4bx升定a和b的值,

32

并問此時函數在X1與X2處是取極大值還是極小值?

例5求函數()=33-9+5

fXXX在［-2,2］上的最大值和最小值.

例6.矩形橫梁的強度與它斷面的高的平方與寬的積成正比例，要將直徑為d的圓木鋸成強度

最大的橫梁，斷面的寬和高應為多少？

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例7.求內接于拋物線y=1_x”2與x軸所圍圖形內的最大矩形的面積

例8.某種產品的總成本C(單位：萬元)是產量x(單位：萬件)的函數：

C(x)=100+6x_0.04X2+0.02X3，試問：當生產水平為x=10萬件時，從降低單

位成本角度看，繼續提高產量是否得當？

三、鞏固練習

1.若函數f(x)在區間⑶b］內恒有，(x)<0,則此函數在［a,b］上的最小值是

f

2.曲線y-X3-彳X2-x+1的極值點是

432

=———

3.設函數f(x)ax°(ax)axa在x=1處取得極大值-2,則a=.

4.求下列函數的單調區間：

=+_+=++

qpo

(1)y2x3x12x1(2)y(x1)(x2)

5.求下列函數的極值：

=_+=——+

2

(1)yx4x6,(2)yx3x9x5,[-4,4]

6.求下列函數的最值：

=一十=-

2

(1)yx4x6,［-3,10］(2)yx3x,[-1,4]

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7.設某企業每季度生產某個產品q個單位時，總成本函數為C(q)=aq3_bq2+cq，(其中

a>0,b>0,c>0），求：（1）使平均成本最小的產量（2）最小平均成本及相應的邊際成

本.

8.一個企業生產某種產品，每批生產q單位時的總成本為C（q）=3+q（單位：百元），可

得的總收入為R（q）=6q_q2（單位：百元），問：每批生產該產品多少單位時，能使

利潤最大？最大利潤是多少？

9.在曲線y=_1x&（xO,/0）上找一點（x0,yo）>過此點作一切線，與x軸、y軸構成

一個三角形，問：Xo為何值時，此三角形面積最小？

10.已知生產某種彩色電視機的總成本函數為C（q）=2.2x103q+8x107,通過市場調查，

可以預計這種彩電的年需求量為A=3.1x105_50p,其中p（單位：元）是彩電售

價，q（單位：臺）是需求量?試求使利潤最大的銷售量和銷售價格

多項式函數的導數（5月6日）

教學目的：會用導數的運算法則求簡單多項式函數的導數

教學重點：導數運算法則的應用

教學難點：多項式函數的求導

一、復習引入

1、己知函數f（x）=x：由定義求f（X），并求f"4）

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2、根據導數的定義求下列函數的導數:

(1)常數函數y=C<(2)函數y=xn(neN,)

二、新課講授

1、兩個常用函數的導數:

(xn)z=nxn_1(reN,)

2,導數的運算法則；

如果函數f(x)、g(x)有導數，那么

[f(x)±g(x)],=f，(x)±g，(x)；

[C?f(x)]/=Cf'(x)

也就是說，兩個函數的和或差的導數，等于這兩個函數的導數的和或差；常數與函數的積

的導數，等于常數乘函數的導數.

例1：求下列函數的導數：

(1)y=7x3(2)y=-3x4(3)y=4x5+3x3

(4)y=(X2+1)(X-2)(5)f(x)=(axb)2(a、b為常數)

18

例2:已知曲線y=-3X上一點P(2,?求：

33

(1)過點P的切線的斜率；(2)過點P的切線方程.

三、課堂小結：多項式函數求導法則的應用

四、課堂練習：1、求下列函數的導數：

OOQ

(1)y=8x(2)y芝x卜(3)y=2x+x(4)yWx-4x

(5)y=(2x十)(3x才(6)y=x2(x3-4)

2、已知曲線y=4x-X2上有兩點A(4,0),B(2,4),求:

(1)割線AB的斜率kAB；(2)過點A處的切線的斜率KAT；(3)點A處的切線的方程

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O

3、求曲線y=3x_4x+2在點M(2,6)處的切線方程.

五、課堂作業

1、求下列函數的導數：

020

(1)y=5x-4x+1(2)y=-5x+3N7(3)y=7x+13x-10

QQO

(4)y=3+x-3x(5)y=2x-3x+5x-4(6)f(x)=(2+x)(3-x)

(7)f(X)=3x4-23x3+40x-10(8)f(對(x2).x

(9)()=(23_1)(32+)=+2_

fxxxx(10)y3(2x1)4x

2、求曲線y=2x-x°在x=-1處的切線的斜率。

3、求拋物線y=」*"在*=2處及*=_2處的切線的方程。

4

32

4、求曲線y=x_3X+1在點P(2,-3)處的切線的方程。

函數的單調性與極值(5月10日)

教學目標：正確理解利用導數判斷函數的單調性的原理；

掌握利用導數判斷函數單調性的方法；

教學重點：利用導數判斷函數單調性；

教學難點：利用導數判斷函數單調性

教學過程：

一引入：

以前，我們用定義來判斷函數的單調性.在假設X1<x2的前提下，比較f(Xl)<f(X2)與的大

小，在函數y=f(x)比較復雜的情況下，比較f(x1)與f(x2)的大小并不很容易.如果利用導數來判斷函

數的單調性就比較簡單.

二新課講授

1函數單調性

O

我們已經知道，曲線y=f(x)的切線的斜率就是函數y=f(x)的導數.從函數y=x—4次3

的圖像可以看到：在區間(2,+8)內，切線的斜率為正，函數y=f(x)的值隨著x的增大

而增大，即y/>0時，函數y=f(x)在區間(2,+o0)內為增函數；在區間(…W內，

切線的斜率為負，函數y=f(x)的值隨著x的增大而減小，即y/<。時，函數y=f(x)在區間

(-8,2)內為減函數.

定義：一般地，設函數y=f(x)在某個區間內有導數，如果在這個區間內V,>0,那么函數y=f(x)

在為這個區間內的增函數；，如果在這個區間內y/<0,那么函數y=f(x)在為這個區間內的

減函數。

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例1確定函數y=x?一2x+4在哪個區間內是增函數，哪個區間內是減函數。

+7的單調區間。

2極大值與極小值

觀察例2的圖可以看出，函數在X=0的函數值比它附近所有各點的函數值都大，我們

說*0)是函數的一個極大值；函數在X=2的函數值比它附近所有各點的函數值都小，我們說

f(0)是函數的一個極小值。

一般地，設函數y=f(x)在x=xo及其附近有定義，如果f(X。)的值比x0附近所有各點的函

數值都大，我們說f(x0)是函數y=f(x)的一個極大值；如果f(X。)的值比x0附近所有各點的

函數值都小，我們說f(x0)是函數y=f(x)的一個極小值。極大值與極小值統稱極值。

在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數值。請注

意以下幾點：

(i)極值是一個局部概念。由定義，極值只是某個點的函數值與它附近點的函數值比

較是最大或最小。并不意味著它在函數的整個的定義域內最大或最小。

(ii)函數的極值不是唯一的。即一個函數在某區間上或定義域內極大值或極小值可以

不止一個。

(iii)極大值與極小值之間無確定的大小關系。即一個函數的極大值未必大于極小值，

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(iv)函數的極值點一定出現在區間的內部，區間的端點不能成為極值點。而使函數取

得最大值、最小值的點可能在區間的內部，也可能在區間的端點。

由上圖可以看出，在函數取得極值處，如果曲線有切線的話，則切線是水平的，從而有

f(x)右。但反過來不一定。如函數y=x3,在x旬處，曲線的切線是水平的，但這點

的函數值既不比它附近的點的函數值大，也不比它附近的點的函數值小。假設Xo使

f(X。)=0,那么x0在什么情況下是的極值點呢？

此，X。的左側附近f(x)只能是增函數，即Xo的右側附近f(x)只能是減函數，

即f(x)0,同理，如上右圖所示，若Xo是極小值點，則在Xo的左側附近f(x)只能是減

函數，即f('x)<0,在Xo的右側附近f(x)只能是增函數，即f(x)>0,從而我們得出結論：

若Xo滿足f(Xo)=0,且在Xo的兩側f(X)的導數異號，則x0是f(X)的極值點，f(Xo)是

極值，并且如果f'(X)在Xo兩側滿足“左正右負”，則Xo是f(X)的極大值點，f(Xo)是極

大值；如果f(’X)在X0兩側滿足“左負右正”，則Xo是f(X)的極小值點，f(Xo)是極小值。

3

例3求函數y=lx-4x4的極值。

3

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三小結

1求極值常按如下步驟：

①確定函數的定義域；

②求導數；

③求方程y/=o的根，這些根也稱為可能極值點；

④檢查在方程的根的左右兩側的符號，確定極值點。（最好通過列表法）

四鞏固練習

1確定下列函數的單調區間：

⑴=22_5+7=-3

yxx(2)y3xx

2求下列函數的極值

22

(1)y=x一7x+6(2)y=-2x+5x

(3)y=x_27x(4)y=3x2_x3

五課堂作業

1確定下列函數的單調區間：

2

（1）y=-4x+2(2)y=(x-1)

oy=x3_x2_x

(3)y=-x-2x■g(4)

2求下列函數的極值

22

(1)y=x_4x+10(2)y=_2x+4x_7

■3

(3)y=x+3x-1(4)y=6+12x-x

(5)y=4x-3x-6x(6)y=2x2-x4

函數的極限（4月29日）

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教學目標：1、使學生掌握當xTX。時函數的極限；

2、了解：limf(x)=A的充分必要條件是limf(x)=limf(x)息

X—>0X—>O+Xf-

教學重點：掌握當XTXo時函數的極限

教學難點：對“XHXo時，當XTXo時函數的極限的概念”的理解。

教學過程：

一、復習：

(1)limqn=qJ;(2)lim工=,(kwN)?

x-^3Cx

2

(3)limx=?

xf

二、新課

就問題(3)展開討論：函數y=x2當X無限趨近于2時的變化趨勢

當x從左側趨近于2時(—N)

X1.11.31.51.71.91.991.9991.9999T2

T

y=x1.21

當x從右側趨近于2時(XT2力

X2.92.72.52.32.12.012.0012.0001T2

2T

y=x8.41.7.29

發現limx2=

我們再繼續看y=——>；

X―1/。1-7^----------------------------

當x無限趨近于1(x4)時的變化趨勢：/

函數的極限有概念：當自變量x無限趨近于x0(xwXo)時，如果函數y=f(x)無限

趨近于一個常數A,就說當X趨向Xo時，函數y=f(X)的極限是A,記作limf(x)=A。

特別地，limC=C；limx=XQ

三、例題

求下列函數在x=o處的極限

(2x,x>0

(1)lim<3)f(x)0,x=<

x-^2;

I1+x2,x<0

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四、小結：函數極限存在的條件：如何求函數的極限。

五、練習及作業：2x11

、對于函數y=+填寫下表，并畫出函數的圖象，觀察當x無限趨近于時的變化趨勢,

說出當xT1時函數V=2X+1的極限

T

X0.10.90.990.9990.99990.999991

T

y=2X+1

T

X1.51.11.011.0011.00011.000011

y=2X+1T

2yx13

、對于函數=2-填寫下表，并畫出函數的圖象，觀察當X無限趨近于時的變化趨勢,

說出當xT3時函數y=x2-1的極限

X2.92.992.9992.99992.999992.999999T3

y=X2-1T

X