學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第一冊教師用書：第1章1.2.1空間中的點、直線與空間向量1。2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1。學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1．了解空間中的點與空間向量的關(guān)系．2．理解直線的方向向量．（重點）3．掌握利用空間向量求空間兩直線所成的角的方法．（重點、難點）4．掌握利用空間向量證明兩條直線平行或垂直的方法．（重點)5．理解公垂線段的概念并會求其長度．1．通過學(xué)習(xí)直線的方向向量，公垂線段等概念,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．利用向量法證明兩直線垂直，求兩直線所成的角，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)．在如圖所示的正方體中，怎樣借助空間向量來描述A、B、C、D在空間中是不同的點?如何借助空間向量來描述直線AD與A1D1,AD與BB1以及AD與AA1的位置關(guān)系?怎樣借助空間向量來求BC1與BD1所成的角?1．空間中的點與空間向量一般地，如果在空間中指定一點O，那么空間中任意一點P的位置，都可以由向量eq\o(OP,\s\up7（→））唯一確定，此時，eq\o（OP，\s\up7（→））通常稱為點P的位置向量．提醒：空間直角坐標系中的任意一點都由它的位置向量唯一確定．2．空間中的直線與空間向量一般地,如果l是空間中的一條直線，v是空間中的一個非零向量,且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合,則稱v為直線l的一個方向向量．此時，也稱向量v與直線l平行，記作v∥l．（1）如果A、B是直線l上兩個不同的點，則v＝eq\o(AB，\s\up7（→)），即為直線l的一個方向向量．思考1：直線l的方向向量唯一嗎？直線l的方向向量之間有怎樣的關(guān)系？［提示］直線l的方向向量不唯一,若v為直線的方向向量，則λv（λ≠0）也為直線l的方向向量，直線l的任意兩個方向向量都平行．思考2:空間中的直線l的位置由v能確定嗎？［提示］空間中直線l的位置可由v和直線上的一個點唯一確定．（2)如果v1是直線l1的一個方向向量，v2是直線l2的一個方向向量，則v1∥v2?l1∥l2或l1與l2重合．3．空間中兩條直線所成的角（1）設(shè)v1、v2分別是空間中直線l1，l2的方向向量，且l1與l2所成角的大小為θ，則θ＝<v1,v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉，所以sinθ＝sin〈v1,v2>，cosθ＝|cos〈v1,v2〉｜．（2）〈v1，v2〉＝eq\f(π,2)?l1⊥l2?v1·v2＝0．4．異面直線與空間向量設(shè)v1,v2分別是空間中直線l1與l2的方向向量．（1)若l1與l2異面，則v1與v2的關(guān)系為v1與v2不平行．(2）若v1與v2不平行,則l1與l2的位置關(guān)系為相交或異面．提醒：“v1與v2不平行”是“l(fā)1與l2異面”的必要不充分條件．（3）若A∈l1，B∈l2，則l1與l2異面時,v1,v2,eq\o(AB，\s\up7（→)）不共面．若v1，v2，eq\o（AB，\s\up7(→））不共面,則l1與l2異面．提醒：“v1，v2，eq\o(AB,\s\up7（→）)不共面”是“l(fā)1與l2異面”的充要條件．(4)公垂線段：一般地，如果l1與l2是空間中兩條異面直線，M∈l1，N∈l2,MN⊥l1，MN⊥l2．則稱MN為l1與l2的公垂線段，兩條異面直線的公垂線段的長，稱為這兩條異面直線之間的距離．提醒：空間中任意兩條異面直線的公垂線段都存在并且唯一．1．思考辨析（正確的打“√"，錯誤的打“×”）（1)直線l的方向向量是唯一的． ()（2）若兩條直線平行，則它們的方向向量的方向相同或相反． (）(3)若向量a是直線l的一個方向向量，則向量ka也是直線l的一個方向向量． （)［答案]（1)×(2)√（3)×[提示](1）×與直線l平行或共線的任何向量都可作為l的方向向量．（2）√(3）×k≠0．2．（教材P36練習(xí)A①改編)設(shè)A（2，2,3），B(4,0，1）在直線l上，則直線l的一個方向向量為()A．（1,2，5） B．(3,－2，－2）C．（1，－1，－1） D．(－1，1，－1）C［eq\o(AB，\s\up7(→))＝(4,0,1)－(2,2，3)＝(2，－2，－2）＝2（1，－1，－1),故選C．］3．若異面直線l1，l2的方向向量分別是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0，4），則異面直線l1與l2的夾角的余弦值等于()A．－eq\f(2，5) B．eq\f(2,5)C．－eq\f(2\r（5)，5） D．eq\f（2\r(5），5）B[∵｜a|＝eq\r（5)，｜b|＝2eq\r(5)，a·b＝（0,－2，－1）·（2,0,4)＝－4，∴cos〈a，b〉＝eq\f（－4,\r(5）×2\r(5))＝－eq\f（2，5)．∵異面直線夾角的范圍是eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2)）），∴選B．］4．直線l1，l2的方向向量分別為v1＝（3,0，2），v2＝(1,0，m)，若l1∥l2，則m等于________．eq\f（2,3）[因為l1∥l2，所以存在實數(shù)λ,使v1＝λv2．即（3,0，2）＝λ（1,0,m），∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（λ＝3，,λm＝2。)）∴m＝eq\f(2，3)．]空間中點的位置確定【例1】已知O是坐標原點，A，B，C三點的坐標分別為A（3，4,0）,B(2,5,5），C（0，3,5)．(1）若eq\o(OP,\s\up7（→)）＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→））－eq\o(AC,\s\up7(→))),求P點的坐標；（2）若P是線段AB上的一點，且AP∶PB＝1∶2，求P點的坐標．［思路探究］(1)由條件先求出eq\o(AB，\s\up7(→）)，eq\o(AC,\s\up7(→）)的坐標，再利用向量的運算求P點的坐標．（2)先把條件AP∶PB＝1∶2轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系,再運算．[解］(1）eq\o(AB，\s\up7（→))＝（－1,1，5）,eq\o(AC,\s\up7（→））＝(－3,－1，5)，eq\o（OP，\s\up7(→））＝eq\f(1，2)（eq\o（AB,\s\up7(→）)－eq\o(AC，\s\up7(→）))＝eq\f（1，2)（2,2,0）＝（1,1，0），∴P點的坐標為(1,1,0）．(2）由P是線段AB上的一點，且AP∶PB＝1∶2，知eq\o(AP，\s\up7（→））＝eq\f（1,2)eq\o(PB，\s\up7（→）)．設(shè)點P的坐標為(x，y,z)，則eq\o(AP，\s\up7(→))＝（x－3，y－4,z)，eq\o（PB,\s\up7（→））＝（2－x,5－y,5－z），故（x－3,y－4，z）＝eq\f（1，2)（2－x，5－y,5－z)，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－3＝\f(1,2)2－x,，y－4＝\f(1,2）5－y，,z＝\f（1,2)5－z，））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（8，3）,，y＝\f（13，3），,z＝\f（5，3).））因此P點的坐標為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(8，3），\f(13，3),\f(5，3）））．此類問題常轉(zhuǎn)化為向量的共線、向量的相等解決，設(shè)出要求的點的坐標，利用已知條件得關(guān)于要求的點的坐標的方程或方程組求解即可.eq\o（[跟進訓(xùn)練］)1．已知點A(2,4,0)，B(1，3,3）,如圖，以eq\o(AB，\s\up7（→)）的方向為正方向，在直線AB上建立一條數(shù)軸，P，Q為軸上的兩點，且分別滿足條件：（1)AP∶PB＝1∶2；(2）AQ∶QB＝2∶1．求點P和點Q的坐標．[解]由已知,得eq\o（PB,\s\up7(→)）＝2eq\o（AP，\s\up7(→））,即eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OP,\s\up7（→））＝2(eq\o(OP，\s\up7(→))－eq\o(OA，\s\up7(→）))，eq\o（OP,\s\up7（→）)＝eq\f（2，3)eq\o(OA,\s\up7(→）)＋eq\f（1,3)eq\o（OB，\s\up7（→）)．設(shè)點P坐標為（x，y，z)，則上式換用坐標表示，得（x，y，z）＝eq\f（2,3）（2,4，0)＋eq\f(1，3）(1，3,3）,即x＝eq\f(4,3)＋eq\f（1,3）＝eq\f(5，3)，y＝eq\f（8,3）＋eq\f(3,3)＝eq\f（11,3)，z＝0＋1＝1．因此，P點的坐標是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5，3），\f（11，3），1)）．因為AQ∶QB＝2∶1,所以eq\o(AQ，\s\up7(→)）＝－2eq\o(QB，\s\up7(→)），eq\o(OQ,\s\up7（→））－eq\o（OA，\s\up7（→))＝－2（eq\o(OB,\s\up7(→））－eq\o（OQ,\s\up7（→）)），eq\o(OQ,\s\up7（→））＝－eq\o（OA，\s\up7(→）)＋2eq\o(OB，\s\up7(→)），設(shè)點Q的坐標為（x′，y′，z′)，則上式換用坐標表示，得（x′，y′，z′)＝－（2，4，0)＋2(1，3，3）＝(0,2,6），即x′＝0，y′＝2,z′＝6．因此,Q點的坐標是（0，2,6）．綜上,P點的坐標是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(5,3）,\f(11，3）,1）），Q點的坐標是（0,2，6)．利用向量法求異面直線的夾角（或余弦值）【例2】（1)若向量a＝(x,4，5)，b＝(1，－2，2）,且a與b的夾角的余弦值為eq\f(\r（2），6），則x＝(）A．3B．－3C．－11D．3或－11A[∵a·b＝x－8＋10＝x＋2，｜a｜＝eq\r(x2＋41),｜b｜＝eq\r（1＋4＋4）＝3．∴eq\f（\r(2),6)＝cos〈a,b>＝eq\f(a·b,|a|｜b｜)＝eq\f(x＋2,3\r(x2＋41)）．則x＋2＞0，即x＞－2，則方程整理得x2＋8x－33＝0，解得x＝－11或x＝3．x＝－11舍去,∴x＝3．]（2）如圖，BC＝2，原點O是BC的中點，點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)，2)，\f(1，2），0))，點D在平面yOz上,且∠BDC＝90°,∠DCB＝30°．①求向量eq\o(CD,\s\up7(→)）的坐標；②求eq\o（AD,\s\up7(→））與eq\o（BC,\s\up7(→）)的夾角的余弦值．［解]①如圖過D作DE⊥BC于E,則DE＝CD·sin30°＝eq\f（\r(3),2)，OE＝OB－BDcos60°＝1－eq\f（1,2)＝eq\f(1,2）,∴D的坐標為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，－\f(1，2)，\f(\r(3），2）)），又∵C（0,1,0），∴eq\o（CD,\s\up7(→））＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f（3,2)，\f（\r(3),2)））．②依題設(shè)有A點坐標為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r（3），2），\f（1,2），0)），∴eq\o(AD，\s\up7（→））＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（\r（3),2），－1，\f（\r（3),2））)，eq\o(BC,\s\up7（→））＝(0，2,0）,則eq\o(AD,\s\up7（→）)與eq\o(BC,\s\up7(→)）的夾角的余弦值:cos〈eq\o(AD，\s\up7(→）)，eq\o(BC，\s\up7(→)）〉＝eq\f(\o（AD，\s\up7（→))·\o(BC，\s\up7（→）)，|\o(AD,\s\up7（→)）|·｜\o（BC,\s\up7(→)）｜)＝－eq\f（\r（10）,5）．利用向量求異面直線所成角的步驟(1)確定空間兩條直線的方向向量；（2）求兩個向量夾角的余弦值；（3)確定線線角與向量夾角的關(guān)系:當(dāng)向量夾角為銳角時，即為兩直線的夾角;當(dāng)向量夾角為鈍角時，兩直線的夾角為向量夾角的補角．提醒：兩異面直線夾角范圍為eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π，2)）），時刻注意兩異面直線夾角的范圍是解題的關(guān)鍵．eq\o(［跟進訓(xùn)練］)2．側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC。A1B1C1中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱AA1＝2，點O，M分別是BC，A1C(1)寫出三棱柱各頂點及點M的坐標；(2）求異面直線CM與BA1夾角的余弦值．[解]（1)根據(jù)圖形可求得下列點的坐標：A(eq\r(3)，0，0)，B（0,－1，0)，C(0,1，0)，A1（eq\r（3），0，2),B1(0，－1，2）,C1（0,1,2），Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r(3）,2），\f（1，2)，2)）．(2）eq\o（CM，\s\up7(→）)＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（3),2),－\f（1,2)，2)），eq\o(BA1,\s\up7（→)）＝(eq\r（3），1,2)，∴eq\o(CM，\s\up7(→)）·eq\o（BA1,\s\up7（→））＝5,｜eq\o(CM,\s\up7（→))｜＝eq\r(5),｜eq\o(BA1，\s\up7(→））｜＝2eq\r(2),∴cos〈eq\o(CM,\s\up7（→)）,eq\o（BA1,\s\up7（→）)〉＝eq\f（5,2\r(10））＝eq\f(\r（10)，4）．利用空間向量處理平行問題[探究問題］1．直線的方向向量在確定直線時起到什么作用？[提示］（1)非零性：直線的方向向量是非零向量．（2)不唯一性：直線l的方向向量有無數(shù)多個，可以分為方向相同和相反兩類,它們都是共線向量．（3)給定空間中的任一點A和非零向量a,就可以確定唯一一條過點A且平行于向量a的直線．2．兩條平行直線的方向向量有什么關(guān)系？[提示]設(shè)直線l，m的方向向量分別為a,b，則l∥m?a∥b?a＝λb．【例3】(1)已知向量a＝(2，4，10)，b＝(3，x，15)分別是直線l1、l2的方向向量，若l1∥l2，則x＝________．(2）如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證:FC1∥平面ADE(1)6[∵l1∥l2，∴存在實數(shù)k使得b＝ka，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3＝2k，,x＝4k，,15＝10k，)）解得x＝6．]（2）[證明］如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz，則有D（0，0,0)，A(2，0,0)，C（0,2,0），C1(0，2，2）,E（2，2，1)，F(xiàn)(0,0，1）．所以eq\o(FC1,\s\up7（→）)＝（0，2,1），eq\o(DA,\s\up7(→））＝（2,0，0),eq\o（AE,\s\up7（→))＝（0,2,1),因為DA?平面ADE,AE?平面ADE，且(0,2，1）＝0×(2，0，0）＋1×（0，2，1），即eq\o（FC1,\s\up7（→）)＝0×eq\o(DA，\s\up7(→))＋1×eq\o（AE,\s\up7（→）），所以有FC1?平面ADE或FC1∥平面ADE，又因為FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE．1．（變問法)本例3(2)中G，H分別為AD,B1C1的中點，求證：EGFH[證明]如圖所示，建立空間直角坐標系．則E(2,2，1），G（1，0,0),F（0,0，1)，H（1，2，2）．所以eq\o（EG，\s\up7(→)）＝(－1，－2，－1),eq\o（FH,\s\up7(→））＝（1,2，1）．所以eq\o(FH，\s\up7(→）)＝－eq\o（EG,\s\up7（→）），所以eq\o（FH,\s\up7（→)）∥eq\o（EG,\s\up7（→))．顯然EG與FH不重合，故EG∥FH．又|eq\o（EG,\s\up7(→)）｜＝eq\r(－12＋－22＋－12)＝eq\r（6），｜eq\o(FH，\s\up7（→))｜＝eq\r（12＋22＋12）＝eq\r(6）,∴EG＝FH，∴四邊形EGFH為平行四邊形．2．（變問法）本例3(2)條件不變，改為求平面ADE∥平面B1C[證明］如圖所示，建立空間直角坐標系，則A(2,0,0)，D（0，0，0），B1（2,2,2),C1（0，2,2）,E(2，2,1)，F(xiàn)(0，0,1)，得eq\o(DE，\s\up7（→）)＝（2,2，1）,eq\o（FB1,\s\up7(→))＝(2，2，1），eq\o(DA,\s\up7(→））＝（2,0，0），eq\o(B1C1，\s\up7（→））＝（－2,0,0)，所以eq\o（DE，\s\up7（→）)＝eq\o(FB1,\s\up7（→）),eq\o（DA，\s\up7（→）)＝－eq\o（B1C1,\s\up7(→)），又相互不共面，所以DE∥FB1，DA∥B1C1又DA∩DE＝D，F(xiàn)B1∩B1C1＝B1所以平面ADE∥平面B1C1．證兩條直線平行可轉(zhuǎn)化為證明兩直線的方向向量平行．2．用向量法證明線面平行：一是證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi);二是證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量且直線不在平面內(nèi)．3．利用向量證明面面平行，可轉(zhuǎn)化為證明線面平行．提醒：利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時，要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點．1．空間中的點與直線可以利用空間坐標與直線的方向向量來研究,更進一步研究空間幾何中的平行、垂直關(guān)系．2．在解決空間中直線與直線所成角的問題時，既可構(gòu)造相應(yīng)的角求解，也可以借助空間向量求解,建立空間直角坐標系或選擇合適的基底都能解決問題．3．利用空間坐標系可以研究異面直線問題,如異面直線所成的角、異面直線的距離等．1．若A(1,0,1)，B(2，3，4）在直線l上，則直線l的一個方向向量是(）A．（－1，3，3） B．（1，3，3)C．（3,3,5) D．(2，4,6)B［eq\o（AB,\s\up7（→））＝（2,3，4)－(1,0,1）＝(1，3，3）．]2．向量a＝（x，1，－2)，b＝（3，x,4）,a⊥b，則x＝（)A．8B．4C．2D．0C[∵向量a＝(x,1，－2),b＝（3，x,4)，a⊥b，∴a·b＝3x＋x－8＝0