，，全等的相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型應(yīng)用1.角分性質(zhì)模型：輔助線：過點G作GE射線AC（1.題應(yīng)用：①如圖1在中，

C90

0

，平CAB6cmBD

那么點D到直線AB的距離是cm.②如圖2，已知，

求證平分

.圖1圖2①2提示：作DEAB交AB點）②PM，

PMPQ平分BAC

.(2).模鞏固：練習(xí)一：如圖3，在四形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD分BAC..求證180圖3練習(xí)二：已知如圖4，邊形ABCD中，180

0

,CD：AC平分BAD圖4練習(xí)三：如圖5

ABC中ACB90

0

，CDAB,垂足為D，分

交CD于點，交CB于點

DACDAC(1)求證：CE=CF.(2)將圖5中的△ADE沿AB向右平移到

D'E'的位置，使點'

落在BC邊上，其他條件不變，如圖6所示，是猜想：BE

于又怎樣的數(shù)量關(guān)系請證明你的結(jié)論圖5圖6練習(xí)四：如圖7，

∠A∥BC

，PAB中點，PD平分∠ADC求證：CP平分∠DCB．圖7

AP

D練習(xí)五：如圖，AB＞AC，A平分線與BC的垂直平分線相交于D，作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：BE=CF．

B

C圖8練習(xí)六：如圖9所示，在△ABC中，BC邊的垂直平分線DF交△BAC的外角平分線AD于點，F(xiàn)垂足，DEAB于，并且。求證BE－。

AF練習(xí)七：如圖10D、、F分別△ABC的三邊上的點，CE=BF，且DCE面積與△DBF的面積相等，求證：AD分∠BAC。B

B

D

F圖

C2.平分線+垂線，等腰三角形比呈現(xiàn)輔助線：延長ED交射線OBF輔助線：過點E作EF∥射線OB（1）.題應(yīng)用：①．如圖1所示，在ABC，∠ABC=3∠AD是BAC的平分線，BE⊥AD于F。

求證：①②求證：①②求證：

1BE(AB)2證明：延長BE交點F。②．已知：如圖2，在中BAC的角平分線A交B于D,且ABAD1作MAD交D的延長線于求證：AM(AC)2分析：此題很多同學(xué)可能想到延線段CM，但很快發(fā)現(xiàn)與要證明的結(jié)論無關(guān)系而此題突破口就在于AB=AD，由此我可以猜想過C作平行線來構(gòu)造等腰三角形證明：過點CCE∥AM的長線于點E.例題變形:圖，為C的中點CM于MANFB于N1FB(FMFN).BM;(3).模鞏固：練習(xí)一、如圖3，是等腰直角三角形，∠BAC=90°，平分ABC交于點D，垂直于BD，交的延長線于點E。求證：BD=2CE圖3練習(xí)一變形：如圖4，在△中，D是的角平分線，且OE

，過點E作

交OC于點F.猜：線段與OD之間的關(guān)系，并證圖4練習(xí)二、如圖5，已知△中，CE平分，且⊥CE，∠＋∠CAE＝180，求證：DE∥BCA

D

EB

C

FGFG圖5練習(xí)三、如圖6⊥DCBC⊥DCE是一點AE分∠BE平分ABC，求證：點E中點。ADE圖6B練習(xí)四、①、如圖7（a、分別是的外平分線，過點A作、1(AC)AE垂足分別是D、E，連接E求證:2.圖7（）圖7（b圖c）②、如圖7（b

BD、

③、如圖7c

為的內(nèi)平分，CEABC的角平分線不變.則在圖7（bc）兩種情況下，DE與BC還平行嗎？它與ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜測證明你的結(jié)論.提示用三角形中位線的知識證明線平行練習(xí)五如圖8在直角三角形ABC中，90的平分線交于D自作CGABD交AD于1，交于．自D作于F，證：CFDE．2圖8

BDMDFBDMDFA練習(xí)六、如圖9所示，在中，AB，為的中點，AD是的平分線，若CFAD且交AD的延長線于F，求證CF圖9

．練習(xí)六變形一如圖10示AD是ABC中BAC的角平分線，AD于DE是的中點，求證DE

DE(AB

．

C圖10

練習(xí)六變形二：如圖11所示，在ABC中，AD平分，ADAB，于M，求證AMM

C圖11練習(xí)七、圖12，在中，，BAC的平分AD交BC與D．則有AABBDAC

．那么如圖13已知在

中，

，

，

BEAE

．求證：ACBE

．

EDCA圖12圖13

BC練習(xí)八、eq\o\ac(△,)ABC中，，BAC的平分線交BC于D，過B作AD，E為垂足，求證：ADDE．BE

練習(xí)九、AD是ABC的角平分線BEADAD延長線于，EF∥AC交于．求證：AFFB．

3.角線，分兩邊，對稱全等要記全

兩個圖形的輔助線都是在射線OA上點B使OB=OA，而使≌

OBC.（1）.題應(yīng)用：①、在△ABC中，∠BAC=60，∠C=40°，AP平分∠BAC交BCBQ平分ABC交AC，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）題意分析本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜，我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證O作平行線。得△ADOeq\o\ac(△,≌)。得到，AD=AQ，要再證出BD=OD就可以了。解答過程：證明：如圖（1，過O∥交ABD，∴ADO=ABC=180－－40°=80°，又∵AQO=C+QBC=80°，∴ADO=又∵DAO=，∴△ADOeq\o\ac(△,≌)，∴，AD=AQ，又∵∥，∴∠DOB又∵∠DBO∴∠DOB

∴又∵BPA=C+∠，∠∠BAO=70，∴BOP=BPO∴BP=OB∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：（1本題也可以在上截取連，構(gòu)造全等三角形，即“截長法”。（2本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：①如圖（2，過O∥交ACD，則△≌△ABO而得以解決。④如圖（5，過P作∥BQ于，則△eq\o\ac(△,≌)而得以解決。小結(jié)過一題的多種輔助線添加方法輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。

E②、如圖所示，在中，AD是的外角平分線，P是AD上異于點的任意一點，試比較與的大小，并說明理由．DB，理由如下．【解析】PBPCAB如圖所示，在的延長線上截取，連接PE．因為ADBAC外角平分線，

P

D故

．

CC在和AEP，AECAPEAP，AP公用，因此

≌AEP

，從而在中，PEBE

，而

BEAEAB

，故

APBPCAC．變形：在ABC中，ABACAD是BAC平分線．是上任意一點．

求證：

ABAC

．

DC

DC【解析】

在

AB

上截取

AEAC

EP

SAS

證得

≌

ACP

E

，AE又BEP，BEPE，BEAC∴ABACPBPC（2模型鞏固：練習(xí)一.如圖，在ABC中⊥BC于DAB＋BD，B的平分線交AC于點E，求證：點E好在BC的垂直平分線上。AE練習(xí)二、如圖，已知△ABC中，AB＝，平分線交于D，求證：＋BD＝BC

AD練習(xí)三、如圖，已知△ABC中，BC90，∠A平分線于，求證：＋＝AB

CD練習(xí)四知△ABC中平分線和外ACM的平分線相交于,交AC于E交B于

求證：EF

BF

AB

DMEDME練習(xí)五

中AB

AC

平

是AD

中點CE

CE變式：已知：在△

中B

,BD

平ABC

，BQD求證：

BD

12

練習(xí)六、已知：如圖，在四邊形ABCD中，∥BC,BC=DC,CF平分∠AB,BF的延長線交于點E.求證；(2)AD=DE.練習(xí)七圖形中∠外角平分線與∠CDA的外角平分線交于點求證：∠∠CPDE練習(xí)八圖平行四邊形兩組對邊分別平行的分別是，GAB邊上的點，且DF交于，BE=DF求證：GC∠BGD的平分線。

練習(xí)九圖△ABCACB為直角ABM平分∠CM于D，A交BC于，過DDE∥BC于E，求證：CT=BE.

D

D

F

ET

練習(xí)十、如圖所示，已知中，AD平分，E、F分別在BDAD．DECD，．求證：EF∥AB

B

FAFAyE【補(bǔ)充】如圖，在中，AD交于點D點是BC中，EF∥AD交CA的延長線D于點F，交AB于點G，若CF，求證：AD為的角分線．

DC

M4.考巡禮：

B

O

C

x（1）.如圖，是∠AOB的分線，請你利用圖形畫一對以為所在直線為對稱軸的全等三角形，請你參考這個全等三角形的方法，解答下列問題。①、如圖2，△ABC中，∠是直角，∠B=60，AD、∠BAC、∠BCA的角平分線，相交于點F，請判斷并寫出EF與DF之間的數(shù)量的關(guān)系。②、如圖3在△中，ACB不是直角，而（）中的其他條件不變，請問1）中的結(jié)論是否任然成立?若成，請證明；若不成立，請說明理由。O

圖

EF

MAN

A

圖

E

BFC

A

E

圖3

CF

D

B（2）.圖，在平面直角坐標(biāo)系中，（-10，C（1，0）D為y軸上的一點，點A為第二象限內(nèi)一動點，且∠BAC=2∠BDO，過點D作DM⊥AC于，①、求證：∠∠ACD；②、若點E在延長線上，求證：AD平∠CAE；③、當(dāng)點A運時（AC-AB）/AM的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請說明理由。

二、等腰直角三角形模型1.在邊上任取一點的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：（1）.△ABD時針旋轉(zhuǎn)900，△ACMeq\o\ac(△,≌)ABD從而推出△ADM等腰直角三角形.但是寫輔助線時不能這樣寫）（2）.點CMC，連AM導(dǎo)出上述結(jié)論2.點是斜邊中點，動點在兩直角邊上滾動的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：連AD.（1）.BF=AE（AF=CE，導(dǎo)出BDFeq\o\ac(△,≌)ADE.（2）.∠EDF+BAC=（1例題應(yīng)用：①.解析方法一過點C作

，導(dǎo)出△BDFeq\o\ac(△,≌)ADE.方法二：②.證明：方法一：連接AM，證明MDEeq\o\ac(△,≌)特別注意證明∠MDE=MAC.方法二：過點作MN⊥EC交EC于，得出直角梯形的中位線，從而導(dǎo)出△MEC等腰直角三角形.

（2、練習(xí)鞏固：①已知：如圖所示，Rt△ABC中，，，O為BC點，若M、N分別在線段、AB上移動，且在移動中保持AN=CM.①、是判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論②、當(dāng)MN分別在線段、AB上移動時，四邊形AMON面積如何變化？思路：兩種方法：②在正方形ABCD中，BE=3EF=5，DF=4求∠BAE=DCF為多少度.提示如右圖：3.構(gòu)等腰直角三角形（1、利用以上的12都可以構(gòu)造等腰直角三角（略；（2、利用平移、對稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角如下圖：圖圖3-2操作過程：在圖3-2中，先將△ABD以BD所在的直線為對稱軸作對稱三角形，再將此三角形沿水平方向向右平移一個正方形邊長的長度單位，使A與M，DE重合例題應(yīng)用：已知平面直角坐標(biāo)系中的三個點，的

度數(shù).4.將腰直角三角形補(bǔ)全為正方形，如下圖：圖圖4-2例題應(yīng)用：思路：構(gòu)造正方形，可以構(gòu)造出等邊△APM，而造出，可得，再由于，而得到而得證.題拓展：ABC不是等腰直角三角形，即，其他條件不變，求證：∠2=21.

，又根據(jù)從，而是練習(xí)鞏固：在平面直角坐標(biāo)系中A（0,3點B縱坐標(biāo)為2點C的縱坐標(biāo)為0當(dāng)AB、三點圍成等腰直角三角形時，求點B、C坐標(biāo).（1當(dāng)點B直角頂點：圖1圖2（2、當(dāng)點A直角頂點：圖3圖4

（3、當(dāng)點C為直角頂點：圖5圖6三、三垂直模型（弦圖模型）①...由△ABEeq\o\ac(△,≌)BCD導(dǎo)出由△ABEeq\o\ac(△,≌)BCD導(dǎo)由ABEeq\o\ac(△,≌)BCD導(dǎo)出ED=AE-CD出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD1.例應(yīng)用：例1.已知：如圖所，在中，，D為AC點，AF⊥BD于，交BCF，連接DF.求證：ADB=CDF.思路：方法一:點C作⊥ACAF的延長線于點先證△ABDeq\o\ac(△,≌)CAM，再證△CDFeq\o\ac(△,≌)CMF即可方法二：過點A作⊥BC分別交BDBC于H、M證△ABHeq\o\ac(△,≌)，再證△CDFeq\o\ac(△,≌)ADH即可.方法三：過點作AM⊥BC分別交BDBC于H、.證AMF≌，得出

∥由MD分別為線段AC、的中點，可得MD△ABC的位線從而推出MD∥AB，又由于

，故而⊥⊥，所以MD為線段中垂線.以∠1=∠2.由∠+∠1=∠+∠2，則∠=∠.例1拓展（1：已知：圖所示，在中AB=AC，AM，AF⊥于，交BCF，連接NF.求證：①ADB=∠CDF.②思路：同上題的方法一和方法二一樣.拓展（2其他條件不變，只是將和分別延長交于點，求證：①,②PBPF+AF.思路：同上題的方法一和方法二一樣.例2.如圖，已知AD∥BC，和△CDF等腰直角三角形，EAB=CDF=90AD=2BC=5求四邊形AEDF的面積.

，圖解析：如圖2-2，過點、B分別作EN⊥，BMDA交DA延長于點N、M.過點F、C分別作FP⊥，CQ⊥AD交AD及長線于點P、QS四邊形AFD

ADF

111ENADFPADENFP222∵△和△CDF是等腰直角三角形∴∠EAB=∠CDF=

，AE=AB，DF=CD.

四邊形AFD四邊形AFD∵EN⊥，BM⊥DA，F(xiàn)P⊥AD，⊥AD∴∠NMB=∠DQC=∴∠∠，∠FDP=∠∴△ENAeq\o\ac(△,≌)ABMFPDeq\o\ac(△,≌)DQC.∴NE=AM，PF=DQ.NE+PF=DQ+AM=MQ-AD∵AD∥BC，CQBM，∠BMN=90，∴四邊形BMQC是矩形.∴1S3.∵BC=5NE+PF=5-2=32圖2.習(xí)鞏固：

.（1如圖（1）-1，直角梯形ABCD，AD∥，∠ADC=90線，交AD點，以腰AB為邊正方形ABFEEP⊥l于點P.求證：2EP+AD=2CD.

l是AD的垂直平分（1）-1（1）-2（2如圖，在直角梯形BCD中∠⊥BD.①求證：BE=AD；②求證：AC是線段ED垂直平分線；③△BCD是等腰三角形嗎？請說明理由.

AD∥，E是AB中點，四、手拉手模型1.ABE和△ACF為等邊三角形

IH2IAKIH2IAK結(jié)論eq\o\ac(△,.)ABFeq\o\ac(△,≌)AEC（2）.（3）.

∠BOE=BAE=600證明OA分∠EOF拓展：條件：△ABC△CDE均為等邊三角形結(jié)論（1AD=BE（2、ACB=∠AOB（3、△PCQ為等邊三角形（4PQ∥（5AP=B