學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2020-2021學年數學新教材蘇教版必修第一冊章末綜合測評2常用邏輯用語含解析章末綜合測評(二）常用邏輯用語(滿分：150分時間：120分鐘)一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1．命題“?x>0，都有x2－x≤0”A．?x>0,使得x2－x≤0 B．?x>0，使得x2－x>0C．?x〉0，都有x2－x>0 D．?x≤0，都有x2－x〉0B[全稱量詞命題的否定為存在量詞命題,命題“?x〉0，都有x2－x≤0”的否定是?x>0，使得x2－x〉0．故選2．已知p：A＝?，q：A∩B＝?，則p是q的（)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A［由已知A＝??A∩B＝?,反之不成立,得p是q的充分不必要條件，所以選A．]3．“?x∈R，x＋｜x|<0”的否定是()A．?x∈R，x＋｜x｜≥0 B．?x∈R，x＋｜x|≥0C．?x∈R，x＋|x|<0 D．?x∈R，x＋｜x｜≤0B[因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題,所以“?x∈R，x＋｜x|〈0”的否定是“?x∈R，x＋|x｜≥0”故選4．命題“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是（）A．?x∈R，x3－x2＋1<0B．?x∈R,x3－x2＋1≥0C．?x∈R,x3－x2＋1〉0D．?x∈R，x3－x2＋1≤0C[由存在量詞命題的否定可得,所給命題的否定為“?x∈R，x3－x2＋1〉0”．故選C．］5．“a＝－1”是“函數y＝ax2＋2x－1與x軸只有一個交點"的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件B[當a＝－1時,函數y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1與x軸只有一個交點；但若函數y＝ax2＋2x－1與x軸只有一個交點，則a＝－1或a＝0，所以“a＝－1"是“函數y＝ax2＋2x－1與x軸只有一個交點”的充分不必要條件．］6．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0(a≠0)有一個正根和一個負根的充分不必要條件是（)A．a〈0 B．a>0C．a<－1 D．a>1C［方程有一個正根和一個負根時,根據根與系數的關系知eq\f(3，a）＜0，即a＜0，a〈－1可以推出a＜0，但a＜0不一定推出a〈－1,故選C．]7．設a，b∈R,那么“eq\f(a,b)＞1"是“a＞b＞0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[由不等式的性質，a＞b＞0，可推出eq\f（a，b）〉1，而當eq\f(a,b)>1,時，例如取a＝－2，b＝－1，顯然不能推出a＞b＞0．故eq\f(a,b）〉1是a＞b＞0的必要不充分條件．故選B．］8．滿足“閉合開關K1”是“燈泡R亮”的充要條件的電路圖是ABCDC[由題圖A,閉合開關K1或者閉合開關K2都可以使燈泡R亮；反之，若要使燈泡R亮，不一定非要閉合開關K1，因此“閉合開關K1”是“燈泡R亮"的充分不必要條件．由題圖B，閉合開關K1而不閉合開關K2,燈泡R不亮；反之,若要使燈泡R亮,則開關K1必須閉合．因此“閉合開關K1"是“燈泡R亮”的必要不充分條件．由題圖C,閉合開關K1可使燈泡R亮；反之,若要使燈泡R亮，開關K1一定是閉合的．因此“閉合開關K1”是“燈泡R亮”的充要條件．由題圖D，閉合開關K1但不閉合開關K2，燈泡R不亮；反之，燈泡R亮也可不閉合開關K1，只要閉合開關K2即可．因此“閉合開關K1”二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．a2＞b2的一個充分條件是（)A．a＞|b｜ B．a＜bC．a＝b D．a<b<0AD［A中,當a＞|b｜時，能推出｜a|＞｜b|?a2＞b2,所以A正確;B中,當a＝－1，b＝1時，a2＝b2，不能推出a2＞b2；C中，當a＝b時，a2＝b2，不能推出a2＞b2；D中，a〈b<0，能推出|a｜＞|b|?a2＞b2,故選AD．］10．下列命題中，假命題是（)A．若x,y∈R且x＋y＞2，則x，y至少有一個大于1B．?x∈R,2x＞x2C．a＋b＝0的充要條件是eq\f(a，b)＝－1D．?x∈R，x2＋2≤0BCD[當x＝2時，2x＝x2，故B錯誤；當a＝b＝0時，滿足a＋b＝0,但eq\f(a，b)＝－1不成立,故C錯誤；?x∈R，x2＋2＞0，故?x∈R,x2＋2≤0錯誤，故選BCD．]11．命題“已知y＝|x|－1,當m∈A時,?x∈R都有m≤y恒成立，則集合A可以是（）A．[－1,＋∞） B．(－∞,－1]C．（－1,＋∞） D．(－∞，－1）BD[由已知y＝｜x|－1,得y≥－1,要使?x∈R,都有m≤y成立，只需m≤－1，所以正確選項為BD．]12．已知A、B為實數集R的非空集合,則AB的必要不充分條件可以是(）A．A∩B＝A B．A∩?RB＝?C．?RB?RA D．B∪?RA＝RABD［因為AB??RB?RA，所以?RB?RA是AB的充分必要條件，因為AB?A?B?A∩B＝A?A∩?RB＝??B∪?RA＝R，所以選ABD．]三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．函數f（x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是．m＝－2[函數f（x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱，則－eq\f(m,2）＝1,即m＝－2；反之，若m＝－2，則f（x）＝x2－2x＋1的圖象關于直線x＝1對稱．]14．命題“?1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命題，則a的取值范圍是．{a｜a≤1}[命題p:a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值為1，∴a≤1．]15．設p:實數x滿足｜x－2a｜〈a，q：實數x滿足|x－3｜<1．若a＝1,且p和q均為真命題，則實數x的取值范圍是;若a〉0且p是q的充分不必要條件，則實數a的取值范圍是．(本題第一空2分，第二空3分）(2,3）eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（4，3），2))［由|x－2a｜<a，當a＝1時,｜x－2|〈1，－1〈x－2<1,所以1<x<3．即p為真時,實數x的取值范圍是（1,3）．由|x－3|<1得－1〈x－3〈1，解得2<x<4,即q為真時，實數x的取值范圍是(2，4），故當a＝1，p和q均為真命題時，實數x的取值范圍是（2，3)．由|x－2a｜〈a，又a>0，得－a〈x－2a<a，所以a<x〈若p是q的充分不必要條件，則p?q，且qp，所以q?p，且pq，即q是p的充分不必要條件．設A＝{x｜p｝，B＝{x｜q}，則BA,又A＝｛x|p｝＝{x｜a<x<3a}，B＝｛x|q｝＝{x|2〈x<4}，所以3a≥4且a≤2，解得eq\f（4,3)≤a≤2，∴實數a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f（4，3)，2)）．]16．對任意實數a,b，c，給出下列命題：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件；②“a>b"是“a2>b2”③“a<5”是“a<3"的必要條件；④“a＋5是無理數”是“a是無理數”的充要條件．其中真命題的序號為．③④［對于①,因為“a＝b"時ac＝bc成立，ac＝bc,c＝0時，a＝b不一定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要條件，故①錯;對于②，a＝－1,b＝－2,a〉b時，a2〈b2;a＝－2，b＝1，a2>b2時，a〈b，所以“a>b"是“a2〉b2”的既不充分也不必要條件，故②錯；對于③，因為“a〈3”時一定有“a〈5”成立，所以“a〈5”是“a〈3”的必要條件，③正確；對于④“a＋5是無理數”是“a是無理數”的充要條件,④正確，故答案為③④．四、解答題（本大題共6小題,共70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．（本小題滿分10分）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并寫出它們的否定：(1）p：對任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：?x∈R，x2＋2x＋5＞0．[解］（1）由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因而是全稱量詞命題;又由于“任意”的否定為“存在一個",因此，p：存在一個x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“?x∈R,使x2＋x＋1≠0成立"．(2）由于“?x∈R”表示存在一個實數x，即命題中含有存在量詞“存在一個”，因而是存在量詞命題；又由于“存在一個”的否定為“任意一個”，因此,p：對任意一個x∈R，都有x2＋2x＋5≤0，即“?x∈R,x2＋2x＋5≤0”．18．（本小題滿分12分)已知命題p：x∈[1,3]，命題q：x∈{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的必要不充分條件，求實數a的取值范圍．[解］根據題意，p是q的必要不充分條件，｛x|a≤x≤a＋1｝?［1，3］，則a≥1且a＋1≤3，得1≤a≤2．當a＝1時，{x｜a≤x≤a＋1｝［1,3］,滿足題意;當a＝2時，｛x｜a≤x≤a＋1｝[1，3]，滿足題意．所以，實數a的取值范圍是1≤a≤2．19．（本小題滿分12分)寫出下列命題的否定,并判斷真假．(1)p：正數的對數都是正數;（2)p:存在x∈R，x2－x＋1≤0；（3)p：所有的一次函數都是單調函數；(4）p：有的三角形是等邊三角形;（5）p：任意x∈Z，x2的個位數字不等于3；（6)p:有一個素數含三個正因數．[解］(1）p：存在一個正數，它的對數不是正數．真命題．(2)p：任意x∈R，x2－x＋1>0．真命題．(3)p：有些一次函數不是單調函數．假命題．(4)p：所有的三角形都不是等邊三角形．假命題．（5）p：存在x0∈Z,使xeq\o\al（2，0）的個位數字等于3．假命題．(6)p：所有的素數都不含三個正因數．真命題．20．（本小題滿分12分)判斷下列各題中的條件p是結論q的什么條件．(1)條件p：a，b∈R，a＋b＞0,結論q：ab＞0；（2）條件p：AB，結論q:A∪B＝B．［解］（1）因為a，b∈R,a＋b＞0,所以a,b至少有一個大于0,所以pq．反之，若ab＞0，可推出a，b同號．但推不出a＋b＞0，即qp．綜上所述，p既不是q的充分條件，也不是必要條件．(2）因為AB?A∪B＝B，所以p?q．而當A∪B＝B時，A?B，即qp，所以p為q的充分不必要條件．21．(本小題滿分12分)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a}且B≠?(1）若x∈A是x∈B的充分條件，求a的取值范圍；(2)若A∩B＝?，求a的取值范圍．[解］(1)∵x∈A是x∈B的充分條件，∴A?B．∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2，，3a≥4,)）解得a的取值范圍為eq\f（4,3）≤a≤2．（2）由B＝｛x|a＜x＜3a}且B≠?∴a＞0．若A∩B＝?，∴a≥4或3a≤2所以a的取值范圍為0＜a≤eq\f(2，3）或a≥4．22．(本小題滿分12分)已知x，y都是非零實數，且x＞y,求證：eq\f(1，x)＜eq\f（1,y）的充要條件是xy＞0．［證明］法一：充分性:由xy＞0及x＞y，得eq\f(x,xy)＞eq\f(y,xy）,即eq\f（1，x）＜eq\f（1，y）．必要性：由eq\f（1，x)＜eq\f(1，y),得eq\f(1,x)－eq\f（1,y）＜0，即eq\f(y－x，xy）＜0．因為x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0．所以eq\f(1，x）＜eq\f（1，