2022-2023學(xué)年山東省煙臺市招遠市七年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一．選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）1．下面在線學(xué)習(xí)平臺的圖標中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列說法正確的是（）A．面積相等的兩個三角形成軸對稱 B．兩個等邊三角形是全等圖形 C．關(guān)于某條直線對稱的兩個三角形全等 D．成軸對稱的兩個三角形一定面積相等，且位于對稱軸的兩側(cè)3．如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A．CG B．BF C．BE D．AD4．有四根細木棒，長度分別為6cm，7cm，9cm，14cm，從中取三根木棒組成一個三角形，有_____種可能情況．（）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖所示，一文物被探明位于A點地下48m處，由于A點地面下有障礙物，考古人員不能垂直下挖，他們從距離A點14m的B處斜著挖掘，那么要找到文物至少要挖（）米．A．14 B．48 C．50 D．606．已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點P，使PA+PC＝BC，則符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．7．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，交BC于D，交AC于E，△ABD的周長為15cm，而AC＝3cm，則△ABC的周長是（）A．18 B．15 C．20 D．228．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的兩條中線，P是AD上的一個動點，則下列線段的長等于BP+EP最小值的是（）A．EC B．AD C．AC D．BC9．在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．則當a＝20時，b+c的值為（）a68101214…b815243548…c1017263750…A．100 B．200 C．240 D．36010．如圖，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A、B、C三點共線，則下列結(jié)論中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③ED＝8；④∠EAD＝∠ECD；正確的是（）A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④二．填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）11．如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是．12．一個三角形的三邊長為8cm、17cm、15cm，則其面積為cm2．13．BD是△ABC的中線，若AB＝10cm，BC＝8cm，則△ABD與△BCD的周長之差為．14．《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為．15．如圖，△ABC≌△ADE，點E在BC邊上，∠AED＝80°，則∠DEB的度數(shù)為．16．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形（如圖1），三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，生出了4個正方形（如圖2），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”．在“生長”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是．三．解答題（本大題共9個小題，共72分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.）17．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，寫出點C1的坐標；（2）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2，寫出點B2的坐標．（3）求出△A1B1C1的面積．18．如圖，已知△ABC，∠BAC＝90°（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線交AC于D點．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若∠C＝30°，線段DC與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．19．如圖，△ABC中，點D、E在邊BC上，AD＝AE，CD＝BE．試問：∠BAD與∠CAE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．20．如圖，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD為BC邊上的中線，且AD＝8，過點D作DE⊥AC于點E．請求出線段DE的長．21．課本習(xí)題：一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B，∠D應(yīng)分別是20°和30°．李叔叔量得∠BCD＝142°，就斷定這個零件不合格，你能說出其中的道理嗎？解決問題的策略是多樣的，請用三種不同的方法說明其中的道理．22．如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為的半圓，其邊緣AB＝CD＝20m，點E在CD上，CE＝5m，一滑板愛好者從A點滑到E點，則他滑行的最短距離為多少米？（邊緣部分的厚度忽略不計）23．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝45°，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，DC上的動點．【知識鏈接：四邊形的內(nèi)角和等于360°】（1）若△AEF的周長最小，利用無刻度直尺和圓規(guī)確定點E，F(xiàn)的位置（不寫作法，保留尺規(guī)作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，求∠EAF的度數(shù)．24．定義：如果一個三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．（1）若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，則∠B＝°；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如圖，若AD是∠BAC的角平分線，請你判斷△ABD是否為“準互余三角形”？并說明理由．②點E是邊BC上一點，△ABE是“準互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度數(shù)．25．如圖1所示，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點N，交BC或BC的延長線于點M．（1）如圖1所示，若∠A＝30°，求∠NMB的大小；（2）如圖2所示，如果將（1）中的∠A的度數(shù)改為80°，其余條件不變，再求∠NMB的大小；（3）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？寫出猜想，并說明理由．

參考答案一．選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，滿分30分）1．下面在線學(xué)習(xí)平臺的圖標中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸可得答案．解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對稱圖形的概念．2．下列說法正確的是（）A．面積相等的兩個三角形成軸對稱 B．兩個等邊三角形是全等圖形 C．關(guān)于某條直線對稱的兩個三角形全等 D．成軸對稱的兩個三角形一定面積相等，且位于對稱軸的兩側(cè)【分析】分別根據(jù)軸對稱圖形的定義，全等三角形的判斷方法，軸對稱的性質(zhì)逐一判斷即可．解：A．面積相等的兩個三角形不一定成軸對稱，原說法錯誤，故本選項不合題意；B．邊長相等的兩個等邊三角形是全等圖形，原說法錯誤，故本選項不合題意；C．關(guān)于某條直線對稱的兩個三角形全等，說法正確，故本選項符合題意；D．成軸對稱的兩個三角形一定面積相等，但不一定位于對稱軸的兩側(cè)，原說法錯誤，故本選項不合題意．故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的定義與性質(zhì)．全等三角形的判斷，掌握相關(guān)定義與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（）A．CG B．BF C．BE D．AD【分析】根據(jù)三角形的高線的定義解答．解：根據(jù)三角形的高的定義，AD為△ABC中BC邊上的高．故選：D．【點評】本題主要考查了三角形的高的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，熟記概念是解題的關(guān)鍵．4．有四根細木棒，長度分別為6cm，7cm，9cm，14cm，從中取三根木棒組成一個三角形，有_____種可能情況．（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)“在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”組合三角形．解：三角形三邊可以為：①6cm，7cm，9cm；②7cm，9cm，14cm；③6cm，9cm，14cm，可以圍成的三角形共有3種．故選：C．【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．5．如圖所示，一文物被探明位于A點地下48m處，由于A點地面下有障礙物，考古人員不能垂直下挖，他們從距離A點14m的B處斜著挖掘，那么要找到文物至少要挖（）米．A．14 B．48 C．50 D．60【分析】由題意得AB＝14，AC＝48，根據(jù)勾股定理即可求解．解：在Rt△BAC中，因為AB＝14，AC＝48，∠BAC＝90°，∴，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．已知△ABC（AC＜BC），用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點P，使PA+PC＝BC，則符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及圓的性質(zhì)分別分得出即可．解：A、如圖所示：此時BA＝BP，則無法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此選項錯誤；B、如圖所示：此時PA＝PC，則無法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此選項錯誤；C、如圖所示：此時CA＝CP，則無法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此選項錯誤；D、如圖所示：此時BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此選項正確；故選：D．【點評】此題主要考查了復(fù)雜作圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，交BC于D，交AC于E，△ABD的周長為15cm，而AC＝3cm，則△ABC的周長是（）A．18 B．15 C．20 D．22【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DC，然后根據(jù)已知△ABD的周長為15cm，可得AB+BC＝15cm，最后根據(jù)三角形的周長公式進行計算即可解答．解：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∵△ABD的周長為15cm，∴AB+BD+AD＝15cm，∴AB+BD+CD＝15cm，∴AB+BC＝15cm，∵AC＝3cm，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝18（cm），故選：A．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的兩條中線，P是AD上的一個動點，則下列線段的長等于BP+EP最小值的是（）A．EC B．AD C．AC D．BC【分析】如圖，連接PC，只要證明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度﹒解：如圖連接PC，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PB+PE＝PC+PE，∵PE十PC≥CE，∴P、C、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為CE的長度，故選A．【點評】本題考查軸對稱一最短問題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．9．在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識時，愛動腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．則當a＝20時，b+c的值為（）a68101214…b815243548…c1017263750…A．100 B．200 C．240 D．360【分析】先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出b、c的值，再求出答案即可．解：從表中可知：a依次為6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，???，即20＝2×（8+2），b依次為8，15，24，35，48，???，即當a＝20時，b＝102﹣1＝99，c依次為10，17，26，37，50，???，即當a＝20時，c＝102+1＝101，所以當a＝20時，b+c＝99+101＝200．故選：B．【點評】本題考查了勾股數(shù)，能根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出b＝（n+2）2﹣1，c＝（n+2）2+1是解此題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A、B、C三點共線，則下列結(jié)論中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③ED＝8；④∠EAD＝∠ECD；正確的是（）A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．解：延長AD交CE于H，延長CD交AE于F，∵△ABD≌△EBC，∴EB＝AB，BD＝BC＝5，∠CAD＝∠BEC，∠ABE＝∠CBE＝90°，∠ADB＝∠BCE，∴∠CAE＝∠AEB＝45°＝∠BCD＝∠BDC，∠BEC+∠ACE＝90°，∴∠CAE+∠BCD＝90°，∠BAD+∠ACE＝∠BEC+∠ACE＝90°，∴CD⊥AE，AD⊥CE，故①②正確，∴ED＝EB﹣BD＝7，故③是錯誤的，∵∠EAD＝∠ADB﹣45°，∠ECD＝∠ACE﹣∠ACD＝∠ACE﹣45°，∴∠EAD＝∠ECD，故④是正確的，故選：B．【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，明確題意，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解答的關(guān)鍵．二．填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）11．如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤AB可將其固定，這里所運用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．【分析】將其固定，顯然是運用了三角形的穩(wěn)定性．解：一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點評】注意能夠運用數(shù)學(xué)知識解釋生活中的現(xiàn)象，考查三角形的穩(wěn)定性．12．一個三角形的三邊長為8cm、17cm、15cm，則其面積為60cm2．【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷出三角形的形狀，再利用三角形的面積公式即可求出其面積．解：∵82+152＝172，∴此三角形是直角三角形，∴此直角三角形的面積為：×8×15＝60（cm2）．故答案為：60．【點評】此題考查勾股定理的逆定理問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)具體數(shù)據(jù)運用勾股定理的逆定理判定該三角形是一個直角三角形．13．BD是△ABC的中線，若AB＝10cm，BC＝8cm，則△ABD與△BCD的周長之差為2cm．【分析】根據(jù)三角形的中線的定義可得BD＝CD，然后求出△ABD與△BCD的周長之差＝AB﹣BC．解：∵BD為中線，∴AD＝CD，∴△ABD與△BCD的周長之差＝（AB+AD+BD）﹣（BC+BD+CD）＝AB﹣BC，∵AB＝10cm，BC＝8cm，∴△ABD與△ACD的周長之差＝10﹣8＝2（cm）．故答案為：2cm．2cm【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，熟記概念并求出兩個三角形的周長的差等于兩邊的差是解題的關(guān)鍵．14．《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為x2+92＝（20﹣x）2．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB＝20﹣x，BC＝9，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．故答案為：x2+92＝（20﹣x）2．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．15．如圖，△ABC≌△ADE，點E在BC邊上，∠AED＝80°，則∠DEB的度數(shù)為20°．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠AED＝80°，AE＝AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠AED＝∠C＝80°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．解：∵△ABC≌△ADE，∠AED＝80°，∴∠C＝∠AED＝80°，AE＝AC，∴∠AED＝∠C＝80°，∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠AEC＝180°﹣80°﹣80°＝20°，∴∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝80°，∴∠DEB＝180°﹣∠AEC﹣∠AED＝180°﹣80°﹣80°＝20°，故答案為：20°．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，能熟記全等三角形的性質(zhì)定理的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．16．有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形（如圖1），三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，生出了4個正方形（如圖2），如果按此規(guī)律繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”．在“生長”了2022次后形成的圖形中所有正方形的面積和是2023．【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，知“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1＝2；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是3×1＝3，推而廣之即可求出“生長”2022次后形成圖形中所有正方形的面積之和．解：設(shè)第一個直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．根據(jù)勾股定理，得a2+b2＝c2＝1，由圖1可知，“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1＝2；由圖2可知，“生長”2次后，所有的正方形的面積和是3×1＝3，……“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2023×1＝2023．故答案為：2023．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．三．解答題（本大題共9個小題，共72分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.）17．如圖，在平面直角坐標系中，已知A（1，2），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在圖中作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，寫出點C1的坐標；（2）在圖中作出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A2B2C2，寫出點B2的坐標．（3）求出△A1B1C1的面積．【分析】（1）直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)進而得出答案；（2）直接利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)進而得出答案；（3）采用矩形面積減去三個三角形面積的方法，求出矩形面積和三個小三角形面積，最終作差求得面積．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求，C1（2，﹣1）．（2）如圖，△A2B2C2即為所求，B2（3，﹣1）．（3）△A1B1C1的面積為：．【點評】此題主要考查了軸對稱變換，正確得出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知△ABC，∠BAC＝90°（1）尺規(guī)作圖：作∠ABC的平分線交AC于D點．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若∠C＝30°，線段DC與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試說明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的作法求出角平分線BD；（2）想辦法證明∠C＝∠CBD即可．解：（1）射線BD即為所求；（2）DC＝CB．理由：∵∠A＝90°，∠C＝30°∴∠ABD＝90°﹣∠C＝90°﹣30°＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∴∠C＝∠CBD＝30°∴DC＝DB（等角對等邊）．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，等腰三角形的判斷等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．19．如圖，△ABC中，點D、E在邊BC上，AD＝AE，CD＝BE．試問：∠BAD與∠CAE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【分析】由“SAS”可證△ADC≌△AEB，可得∠BAE＝∠DAC，可得結(jié)論．解：∠BAD＝∠CAE．理由如下：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（SAS），∴∠BAE＝∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD為BC邊上的中線，且AD＝8，過點D作DE⊥AC于點E．請求出線段DE的長．【分析】求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；求出AC＝AB＝10，根據(jù)三角形的面積公式求出DE即可．解：∵BC＝12，AD為BC邊上的中線，∴BD＝DC＝BC＝6，∵AD＝8，AB＝10，∴BD2+AD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；∵AD⊥BC，AD為BC邊上的中線，∴AB＝AC，∵AB＝10，∴AC＝10，∵△ADC的面積S＝AD?DC＝AC?DE∴＝，解得：DE＝4.8．【點評】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，能熟記勾股定理的逆定理是解此題的關(guān)鍵．21．課本習(xí)題：一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B，∠D應(yīng)分別是20°和30°．李叔叔量得∠BCD＝142°，就斷定這個零件不合格，你能說出其中的道理嗎？解決問題的策略是多樣的，請用三種不同的方法說明其中的道理．【分析】通過∠BCD與∠A、∠B、∠C的數(shù)量關(guān)系求出∠BCD，與實際的測量值比較即可．解：方法一：如圖，連接AC并延長，在△ADC中，∠1＝∠D+∠DAC，在△ABC中，∠2＝∠B+∠BAC，∴∠BCD＝∠1+∠2＝∠D+∠B+∠BAC+∠DAC＝∠D+∠B+∠A＝140°，∴李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以斷定這個零件不合格．方法二：如圖，延長DC交AB于M，∵∠AMD＝180°﹣∠A﹣∠D＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠CMB＝180°﹣∠AMD＝180°﹣60°＝120°，∴∠MCB＝180°﹣∠B﹣∠CMB＝180°﹣20°﹣120°＝40°，∴∠DCB＝180°﹣∠MCB＝180°﹣40°＝140°，∴李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以斷定這個零件不合格．方法三：如圖，連接BD，∵∠CDB+∠CBD＝180°﹣∠A﹣∠ADC﹣∠ABC＝180°﹣90°﹣30°﹣20°＝40°，∴∠DCB＝180°﹣（∠CDB+∠CBD）＝180°﹣40°＝140°，∴李叔叔量得∠BCD＝142°，就可以斷定這個零件不合格．【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，運用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長方體去掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為的半圓，其邊緣AB＝CD＝20m，點E在CD上，CE＝5m，一滑板愛好者從A點滑到E點，則他滑行的最短距離為多少米？（邊緣部分的厚度忽略不計）【分析】要求滑行的最短距離，需將該U型池的側(cè)面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．解：如圖是其側(cè)面展開圖：AD＝π?＝20m，AB＝CD＝20m．DE＝CD﹣CE＝20﹣5＝15（m），在Rt△ADE中，AE＝＝＝25（m）．故他滑行的最短距離約為25m．【點評】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，U型池的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的寬等于半徑為m的半圓的弧長，矩形的長等于AB＝CD＝20m．本題就是把U型池的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．23．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝45°，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是邊BC，DC上的動點．【知識鏈接：四邊形的內(nèi)角和等于360°】（1）若△AEF的周長最小，利用無刻度直尺和圓規(guī)確定點E，F(xiàn)的位置（不寫作法，保留尺規(guī)作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，求∠EAF的度數(shù)．【分析】（1）作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，此時△AEF的周長最小，A′A″即為△AEF的周長最小值．（2）求出∠BAD＝135°，∠EAA′+∠FAA″＝45°，可得結(jié)論．解：（1）如圖，點E，F(xiàn)即為所求．（2）∵∠BCD＝45°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DAB＝135°，∴∠AA′E+∠AA″F＝180°﹣135°＝45°，∵∠EA′A＝∠A″AE，∠FAD＝∠AA″F，∴∠A′AE+∠FAD＝45°，∴∠EAF＝∠DAB﹣（∠A′AE+∠FAD）＝135°﹣45°＝90°．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．24．定義：如果一個三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．（1）若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝56°，則∠B＝17°；（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．①如圖，若AD是∠BAC的角平分線，請你判斷△ABD是否為“準互余三角形”？并說明理由．②點E是邊BC上一點，△ABE是“準互余三角形”，若∠B＝28°，求∠AEB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)“準互余三角形”的定義，由于三角形內(nèi)角和是180°，∠C＞90°，∠A＝56°，只能是∠A+2∠B＝90°；（2）①由題意可得∠ADB＞90°，所