第4章基本智能化功能與其軟件實現4.1改善線性度及智能化非線性刻度轉換功能4.2改善靜態性能提高系統精度及智能化自校零、自校準功能4.3改善穩定性抑制交叉敏感及智能化多傳感器數據融合功能4.4改善動態性能擴展頻帶及智能化頻率自補償功能4.5提高信噪比與分辨力及智能化信號提取與消噪功能4.6增強自我管理與自適應能力及智能化控制功能4.1改善線性度及智能化非線性刻度轉換功能

測量系統的靜態性能由其靜態輸入輸出特性來表征，它的質量指標將決定測量系統的精度，測量系統的線性度指標是影響系統精度的重要指標之一。其中，處于測量系統前端的傳感器，其輸入輸出特性的非線性是使得測量系統輸入輸出特性具有非線性的主要原因。傳感器及其調理電路的輸出量多是電學量，傳統測量儀器系統的基本功能就是要將傳感器及其調理電路輸出的電學量轉換為被測量，以便輸出顯示，稱為刻度轉換。如果按照線性關系進行刻度轉換，就會引入非線性誤差，降低線性度指標，因為前端待轉換的關系是非線性的。當然，人們期望傳感器本身的輸入輸出特性具有良好的線性，為此傳感器工作者一直進行著不懈的努力。但是，傳感器靜態特性的非線性卻總是存在的。與此同時，人們從電路方面精心設計非線性校正器以期改善系統的非線性。所謂非線性校正器，就是可以按某種非線性關系來進行刻度轉換的環節。系統中有了這種非線性刻度轉換環節，全系統輸入輸出特性將逼近直線。由于各個傳感器非線性特性的不一致性，因此用硬件電路實現非線性校正的刻度轉換存在很大難度與局限性。智能傳感器系統是通過軟件來進行非線性刻度轉換的，在實現智能化刻度轉換功能的同時，也實現了非線性自校正功能，從而改善了系統的靜態性能，提高了系統的測量精度。由于軟件的靈活性，智能傳感器系統絲毫不介意系統前端的正模型有多么嚴重的非線性。所謂正模型，是傳

感器及其調理電路的輸入輸出特性（x－u），如圖4-1(b)所示。智能傳感器能自動按圖4-1(c)所示的逆模型進行刻度轉換，輸出系統的被測量值y，實現系統的輸出y與輸入x呈理想直線關系，如圖4-1(d)所示。圖4-1智能傳感器系統（a）智能傳感器系統框圖；（b）正模型；（c）逆模型；（d）智能傳感器系統的輸入(x)輸出(y)特性所謂逆模型，是指正模型

u=f(x)

(4-1)

的反非線性特性

y=x=f(u) (4-2)

式中：x為系統的被測輸入量；u為傳感器及其調理電路

的輸出量，又是存放在微機中非線性校正器軟件模塊的輸入；y=x為非線性校正器軟件模塊的輸出，也即系統的總

輸出。智能傳感器系統采用軟件既靈活又簡便地實現了非線性自校正功能后，就不必再為改善系統中每一環節的非線性而耗費精力，其所要求的條件僅僅是：前端正模型(x－u特性)具有重復性。

采用智能化非線性自校正模塊以實現刻度轉換的編程方法有多種，常用的有查表法、曲線擬合法，近年來又發展了神經網絡法及支持向量機法等多種方法。4.1.1查表法

查表法是一種分段線性插值法，根據精度要求對反非線性曲線（如圖4-2）進行分段，用若干段折線逼近曲線，將折點坐標值存入數據表中，測量時首先要明確對應輸入被測量xi的電壓值ui是在哪一段；然后根據那一段的斜率進行線性插值，即得輸出值yi=xi。圖4-2反非線性的折線逼近下面以三段為例，折點坐標值為

橫坐標：u1、u2、

u3、u4；

縱坐標：x1、x2、x3、x4。

各線性段的輸出表達式為

第Ⅰ段第Ⅱ段第Ⅲ段第Ⅳ段輸出y=x表達式的通式為 (4-3)式中：k為折點的序數，3條折線有4個折點,k=1,2,3,4。由電壓值ui求取被測量xi的程序框圖如圖4-3所示。圖4-3非線性自校正流程圖折線與折點的確定有兩種方法：Δ近似法與截線近似法，如圖4-4所示。不論哪種方法，所確定的折線段與折點坐標值都與所要逼近的曲線之間存在誤差Δ，按照精度要求，各點誤差Δi都不得超過允許的最大誤差界Δm，即Δi≤Δm。圖4-4曲線的折線逼近(a)Δ近似法；(b)截線近似法

1．Δ近似法

折點處誤差最大，折點在±Δm誤差界上。折線與逼近的曲線之間的誤差最大值為Δm，且有正有負。

2．截線近似法

折點在曲線上且誤差最小，這是利用標定值作為折點的坐標值。折線與被逼近的曲線之間的最大誤差在折線段中部，應控制該誤差值小于允許的誤差界Δm。各折線段的誤差符號相同，或全部為正，或全部為負。4.1.2曲線擬合法

曲線擬合法采用n次多項式來逼近反非線性曲線，該多項式方程的各個系數由最小二乘法確定，具體步驟如下

1.列出逼近反非線性曲線的多項式方程

（1）對傳感器及其調理電路進行靜態實驗標定，得校準曲線。標定點的數據為（2）假設反非線性特性擬合方程為n的數值由所要求的精度來定。若n=3，則(4-4)式中：a0、

a1、a2、a3為待定常數。（3）求解待定常數a0、a1、a2、a3。根據最小二乘法原則來確定待定常數a0、a1、a2、a3的基本思想是，由多項式方程式（4-4）確定的各個xi(ui)值，與各個點的標定值xi之均方差應最小，即=最小值=F（a0，a1，a2，a3） (4-5)式（4-5）是待定常數a0、a1、a2、a3的函數。為了求得函數F(a0,a1,a2,a3)最小值時的常數a0、a1、a2、a3，我們對函數求導并令它為零，即經整理后得矩陣方程 (4-6)式中：N為實驗標定點個數;；；；；；；；；；。通過求解式（4-6）的矩陣方程可得待定常數a0、a1、a2、a3。

2.將所求得的常系數a0~a3存入內存

將已知的反非線性特性擬合方程式(4-4)寫成下列形式：（4-7）為了求取對應電壓為u的輸入被測值x，每次只需將采樣值u代入式（4-7）中進行三次(b+ai)u

的循環運算，再加上常數a0即可。4.1.3［示例4-1］與鉑電阻配用的智能化刻度轉換模塊的設計（曲線擬合法）

要求測溫范圍0~500℃，刻度轉換模塊的絕對偏差小于0.5℃。

解（1）在0~500℃范圍內從標準分度表中取N=11個標準分度值，如表4-1所示。

表4-1給出了鉑電阻Pt100的正模型，即輸入（T）輸出（R）特性。（2）逆模型的數學表達式設為三階四項多項式：

T=a0+a1R+a2R2+a3R3

（4-8）

（3）待定常數a0、a1、a2、

a3的確定。

根據式（4-5）、式（4-6）求得a0~a3的數值為

a0=－247.89，a1=2.4077，a2=0.00060253，

a3=1.072×10－6

具有上述常系數數值的式（4-8）的編程算式就成為智能化刻度轉換模塊。（4）逆模型的檢驗。

向逆模型輸入電阻R，比較標準分度值的溫度T與逆模型計算（輸出）值T′，其偏差Δ=T′－T，結果列入表4-2。（5）線性度改善情況的評價。

①改善前測溫系統的線性度。

改善前測溫系統的線性度由Pt100鉑電阻測溫傳感器的正模型的線性度決定，其最小二乘法線性度求取步驟如下：擬合直線。由表4-1給出的標準分度關系，根據第2章式（2-9）可計算得到擬合直線的兩個常系數k和b，從而最小二乘擬合直線方程為

R=102.169+0.36195T （4-9）最大擬合偏差ΔLm=ΔRm。在0~500℃范圍內，式

（4-9）根據溫度T計算所得的R（計）與相同溫度T由標準分度表給出的R（標）之差即為擬合偏差，該擬合偏差的最大值在零度，|ΔRm|=2.169≈2.17Ω（合溫度偏差約7℃）。最小二乘法線性度。根據第2章式（2-6）的定義式式中，|ΔLm|=|ΔRm|=2.17Ω，為最大擬合偏差。

Y(FS)=R(FS)為滿量程輸出值，代入測溫的上限(500℃)、下限（0℃）值，由式（4-9）可求得R(FS)=R(T=500℃)－R(T=0℃)=283.144－102.169=180.975Ω，于是得②改善后系統的線性度。

擬合直線。為簡單起見，智能傳感器系統的擬合直線可選為理想直線方程

T=kT

式中，k=1。

擬合偏差。根據表4-2列出的智能傳感器系統輸出值T′與系統輸入值T應呈線性關系,但卻有偏差ΔT=T′－T，從表4-2中可得最大擬合偏差|Δm|=0.27℃。

理論線性度。量程為Y(FS)=500℃-0℃=500℃，理論線性度為與改善前的1.2%相比，經智能化刻度轉換模塊進行非線性自校正后，全系統線性度提高22倍，非線性誤差減小22倍。4.2改善靜態性能提高系統精度及

智能化自校零、自校準功能

4.2.1兩基準法

假設一傳感器系統經標定實驗得到的靜態輸出(y)輸入(x)特性為如下線性方程：

y=a0+a1x（4-10）

式中：a0為零位值，即當輸入x=0時之輸出值；a1為靈敏度，又稱傳感器系統的轉換增益。對于一個理想的傳感器系統，a0與a1應為保持恒定不變的常量。但是實際上，由于各種內在和外來因素的影響，a0、a1都不可能保持恒定不變。譬如，決定放大器增益的外接電阻的阻值會因溫度變化而變化，并引起放大器增益改變，從而使得傳感器系統總增益改變，也就是系統總的靈敏度發生變化。設a1=S+Δa1，其中S為增益的恒定部分，Δa1為變化量；又設a0=P+Δa0，P為零位值的恒定部分，Δa0為變化量，則

y=(P+Δa0)+(S+Δa1)x (4-11)

式中：Δa0為零位漂移；Δa1為靈敏度漂移。

由式（4-11）清楚可見，由零位漂移與靈敏度漂移會引入測量誤差Δa0與Δa1x。

傳統的傳感器技術一直追求精心設計與制作、嚴格挑選高質量的材料及元器件，以期將Δa1及Δa0控制在某一限度內。但這需要以高成本作為代價。以對壓力傳感器進行自校準為例，智能壓力傳感器系統實現自校準功能的原理框圖如圖4-5所示。微處理器系統在每一特定的周期內發出指令，控制多路轉換器執行三步測量法（見2.4.4節），使自校準環節接通不同的輸入信號。因為本系統的輸入信號為壓力，故多路轉換器是一個壓力掃描閥。圖4-5智能傳感器系統實現自校準功能原理框圖

1）第一步：校零

測量系統的零點。輸入信號是零點標準值x0。若壓力傳感器測量的是相對大氣壓PB的表壓ΔP，那么零點標準值就是通大氣PB，從而保證壓力測量系統為零輸入x0=PB－PB=0，測量系統的輸出值y0=a0。在零輸入條件下系統的輸出值不為零值，必由系統的誤差源所產生：

y0=a1·E0

式中：a1為系統的增益；E0為系統的誤差源。

2）第二步：標定

實時測量系統的增益/靈敏度a1。輸入信號為標準值，由標準壓力發生器產生標準壓力值PR=xR，系統的輸出值為yR。于是被校準系統的增益/靈敏度a1為（4-12）因為輸出值yR也含有誤差源E0的影響，yR=xR·a1+E0·a1，故差值yR－y0=xR·a1，即消除了誤差源E0的影響。

3）第三步：測量

輸入信號為被測目標參量壓力P=x，測量系統相應的輸出值為yx。因為

yx=P·a1+E0·a1=P·a1+y0

故 (4-13)4.2.2多基準法

1.工作原理與實施步驟

實時在線自校準的實施過程是：

（1）對傳感器系統進行現場、在線、測量前的實時三點標定，即依次輸入三個標準值xR1、xR2、xR3，測得相應輸出值yR1、yR2、yR3。

（2）列出反非線性特性擬合方程式(二階三項多項式)：

x(y)=C0+C1y+C2y2

（4-14）（3）由標定值求反非線性特性曲線擬合方程的系數C0、C1、C2。按照最小二乘法原則，即方差最小根據函數求極值（最小值）條件，令偏導數為零，然后再經整理后得矩陣方程 (4-15)式中,N=3，為在線實時標定點個數;其余由標定值計算出P、Q、R、S、D、E、F后，解式（4-15）矩陣方程可得待定常系數C0、C1、C2。已知C0、C1、C2數值后，反非線性特性擬合方程式（4-14）即被確定，智能傳感器系統可將測量x時傳感器的輸出值y按式（4-14）求出輸出值x(y)，即代表系統測出的輸入待測目標參量x。

2.780B（PCU）壓力自校準系統

780B（PCU）壓力自校準系統原理示意圖如圖4-6所示。

圖4-6中，EV1~EV5為電驅動閥門，由微處理器經控制線P1.1、

P1.2、P1.3、P1.4、P1.5發出控制信號來控制氣路是“通”還是“斷”。氣動開關受氣動控制壓力P1、

P2的控制。P1與P2均是0.7MPa的壓力。在程序控制指令控制下控制壓力P1工作，推動氣動開關使壓力傳感器與校準管路接通，處于校準狀態。圖4-6780B(PCU)壓力自校準系統原理框圖三個標準壓力值分別為PR1、PR2、PR3，按順序施加到被校傳感器上。校準結束時，控制壓力P2工作（P1放掉），推動氣動開關使傳感器回到測量狀態，測壓孔與被測壓力PX接通。

R1、R2、R3是三個壓力調節器，將它們事先調節到合適位置，則可得到三個不同數值的標準壓力值：PR1、PR2、PR3。它們的精確值由高精度壓力傳感器讀出。測量系統的正模型用非線性方程來表示的系統，要實現自校準功能需要一套可現場實施標定實驗的專用自校準系統。自校準系統應能提供與被測目標參量同類型的多個（大于等于3個）標準量值，且還有多點切換器依次將各個標準量值輸入被校系統。在現場建立這樣一個多基準可切換輸入的系統對于大多數非電參量不是一件容易的事，故目前只有壓力等少數幾個參量的測量系統能夠實現自校零與自校準功能。

4.3改善穩定性抑制交叉敏感及智能化

多傳感器數據融合功能

多傳感器智能化技術包括兩大方面：

其一，將多個傳感器與計算機（或微處理器）組建智能化多傳感器系統；其深刻內涵是提高某點位置處（單點）某一個參量（單參量）x1的測量準確度，而不是一般意義的多點多參量測量系統。

其二，將多個傳感器獲得多個信息的數據進行融合處理，實現某種改善傳感器性能的智能化功能，在抑制交叉敏感改善傳感器穩定性的同時，系統的線性度也得到改善。4.3.1單傳感器系統

通常的測量系統都是由單傳感器系統組成的。它有

兩個基本組成部分：傳感器與數據處理，其框圖如圖4-7所示。圖4-7單傳感器測量系統框圖

1．單傳感器系統的正模型與逆模型

（1）傳感器部分含傳感器及其調理電路，執行獲取信息的任務。配接了調理電路的傳感器部分感知并檢測物理量x，將x按一定規律轉換為有用輸出量y。有用輸出量y是指便于遠距離傳輸的量，目前多為電量，如電壓、電流、電脈沖的頻率。輸入x與輸出y遵從一定規律是指具有一定重復性，且可用數學表達式來描述。描述傳感器部分輸入輸出（x－y）關系的數學表達式就稱為傳感器系統的正模型，單傳感器系統的正模型y=f(x)為一元多項式。（2）數據處理部分完成信息處理、分析及顯示功能，就是從傳感器輸出信號的數據中將代表被測量x1的有效信息提取出來并給出顯示。直白地說，其最基本的功能就是將傳感器部分的輸出量y轉換為被測量x，并給出顯示。顯示的值x′與真值x之間有一定偏差，希望這個偏差盡量小。數據處理部分的這個基本功能稱為“刻度轉換”。對于智能傳感器系統，刻度轉換是在計算機或微處理器中由軟件實現的（詳見4.1節）。數據處理部分輸出x′與輸入y關系的數學描述稱為逆模型。對于單傳感器系統，其逆模型為正模型y=f(x)的反函數x=f－1(y),也是一個一元多項式。

2．單傳感器系統的應用

單傳感器系統既可用于單點單參量測量系統,也可組建多點多參量測量系統。

（1）單點單參量測量系統：選用標稱的目標參量與被測參量x同名的傳感器，如壓力傳感器可用來測量壓力一個參量，而且僅是壓力傳感器所在位置（單點）處的壓力參量。通常的壓力測量系統、位移測量系統、液位測量系統等一般都是單傳感器系統。（2）多點多參量測量系統：由多個單傳感器測量系統組成，其原理框圖如圖4-8所示。

圖4-8系統中的每個傳感器只能完成單點單參數測量，兩個位置點的壓力需要兩個壓力傳感單元來檢測。通過一個多路模擬開關將各點傳感器輸出的信號y1，y2，

…，yi按一定順序或同時并行導入計算機或微處理器，進行獨立的數據處理按各自的逆模型完成各自的刻度轉換，并輸出被測參量P1，P2，

…，h。圖4-8由單傳感器系統組成的多點多參量測量系統4.3.2交叉敏感與傳感器系統的穩定性

1．交叉敏感現象

不論是傳統工藝制作的經典傳感器，還是半導體工藝制作的現代傳感器，都存在交叉敏感。交叉敏感是引起單傳感器系統不穩定的主要因素，表現為傳感器標稱的目標參量恒定不變，而其它非目標參量變化時，該傳感器的輸出值發生變化。如半導體氫傳感器，其標稱的目標參量——氫氣濃度恒定，而如果一氧化碳氣體濃度發生變化，則其輸出值也會發生變化。這就是氫傳感器存在對非目標參量——一氧化碳氣體的交叉敏感。

2．交叉敏感帶來的問題

由交叉敏感現象說明，作為單傳感器系統的正、逆

模型

y=f(x),x=f－1(y)

用一元多項式方程來表征是不完備的。上述對溫度T、供電電流I具有交叉敏感的壓力傳感器，其正模型至少應用三元多項式來表征：

y=u=f(P=x,T,I) （4-16）

相對應的逆模型

P=x=f－1(y=u,T,I) （4-17）也應用三元多項式表征才較完備。否則，由于正模型不能完備代表多元交叉敏感的實際傳感器系統，再根據不完備的正模型建立的逆模型獲得的被測量值將會有很大的誤差。以一個干擾量為例，上述壓力傳感器當供電電流I恒定時，不同溫度條件下的正、逆模型u=f(P)與P=f－1(u)如圖4-9所示。圖4-9不同溫度條件下壓力傳感器的正模型與逆模型4.3.3多傳感器技術改善傳感器系統性能的基本方法

1．模型法

當主測參量為x1的傳感器存在干擾量x2時，若欲消除干擾量x2的影響，則需監測該干擾參量x2，從而建立測量x1與x2的多（2個）傳感器系統；若欲消除n個干擾量的影響，則需建立測量n+1個參量的多（n+1個）傳感器系統?；谀Ｐ头ǜ纳品€定性，消除兩個干擾量影響的三傳感器—智能傳感器系統框圖如圖4-10所示。圖4-10基于模型法的三傳感器—智能傳感器系統（1）傳感器單元：x1為主傳感器及其調理電路單元。設其目標參量為壓力x1=P。x2、x3分別為輔傳感器及其調理電路單元，它們的目標參量分別是溫度x2=T與電流x3=I，這些參量是主傳感器的干擾量。每個傳感器的輸出分別為：主傳感器(壓力）yP=fP(x1,x2,x3)=fP(P,T,I)，是三元函數模型；

輔傳感器(溫度）yT=fT(x1,x2,x3)=fT(T)，可用一元函數模型近似；

輔傳感器(電流）yI=fI(x1,x2,x3)=fI(I)，可用一元函數模型近似。圖4-10中的多傳感器—智能傳感器系統，是為消除

n=2個干擾量（溫度T、電流I）改善壓力傳感器x1=P（壓力）而建立的（m=3）三傳感器—智能傳感器系統。系統中傳感器的總數

m=n+1 （4-18）

其中n為欲消除的干擾量數。（2）數據融合處理單元：圖4-10中的數據融合處理單元是存入計算機內進行數據融合的智能化軟件模塊。該模塊實現由m=3個傳感器輸出的數據yP、yT、yI求目標參量x1=P

的某種融合算法。根據已建立的逆模型

x1=P=g(yP,yT,yI) （4-19）

計算被測目標參量，其計算所得的值P′=x1′消除了干擾量T與I的影響，更接實際值P。建立逆模型的方法有多種，本書介紹常用的兩種方法。一種是回歸分析法（在第5章詳述）；另一種姑且稱為機器學習算法，如神經網絡機器學習算法（在第6章詳述）、支持向量機學習算法（在第7章中詳述）。根據不同的神經網絡又有BP誤差反向傳播神經網絡、RBF徑向基函數神經網絡、GANN遺傳神經網絡等及其派生算法。神經網絡與支持向量機的結構優化方法有多種，在第8章將介紹一種采用粒子群算法的最新優化方法。

2．冗余法

采用冗余法消除干擾量影響，改善傳感器穩定性的基本思路是：

不去監測主測參量為x1的傳感器的干擾量，不去探究干擾量對主測參量x1傳感器的影響規律，而是采用與主測參量x1同類的多個（至少3個）傳感器建立測量主測參量x1的多傳感器系統?；谌哂喾ㄏ齻鞲衅髌聘纳品€定性的多傳感器—智能傳感器系統框圖如圖4-11所示。圖4-11基于冗余法的三傳感器—智能傳感器系統框圖（1）傳感器單元均為主測同一參量x1的傳感器，它們的輸出均受干擾量x2,…,xi的影響，每個傳感器的輸出分別為：

傳感器x11

y1=f1(x1,x2,…,xi)

傳感器x12

y2=f2(x1，x2,…,xi)

傳感器x1i

yi=fi(x1,x2,…，xi)

傳感器數量i≥3

…（2）數據融合處理單元。圖4-11中的數據融合處理單元是在計算機中進行數據融合處理的智能化軟件模塊，本書第9章將介紹為消除傳感器性能漂移、提高穩定性而采用的多傳感器數據主元分析融合算法。

4.4改善動態性能擴展頻帶及智能化

頻率自補償功能

回顧2.1.2節中所述，常見的一階、二階傳感器系統在不同頻率ω=2πf，y(t)與x(t)因幅值比不同產生的動態幅值誤差如表4-3所示。表中ω為被測量的角頻率；ωτ=1/τ

為一階傳感器轉折角頻率，τ為其時間常數；ω0為二階傳感器系統無阻尼固有振蕩角頻率。由表4-3可見，如果想保證信號通過傳感器系統后產生的幅值誤差|γ|<2%，則二階系統的無阻尼固有振蕩頻率f0應比信號頻率f大7倍，即ω/ω0=f/f0=1/7；若是一階系統，則轉折頻率fτ應比信號頻率f大5倍，即ω/ωτ=f/fτ=1/5。4.4.1數字濾波器的數學基礎——Z變換簡介

對于連續時間系統，如圖4-12所示，它的輸入（激勵）信號x(t)與其輸出（響應）信號y(t)的關系在時域中可由微分方程確立。因此，在時域中是通過解微分方程來求解系統對激勵的時間響應y(t)的。圖4-12連續時間系統通過拉氏變換X(s)=L［x(t)］，Y(s)=L［y(t)］，建立輸入X(s)與輸出Y(s)的關系，在s=σ+jω域中微分方程變為代數方程：

Y(s)=W(s)X(s) （4-20）

當σ=0時，則為頻域s=jω，式（4-20）變為

Y(jω)=W(jω)X(jω) （4-21）

X(jω)、Y(jω)分別是x(t)、y(t)的傅里葉正變換。通過求Z變換，X(z)=Z(x(nT))，Y(z)=Z(y(nT))，則在Z域中有關系：

（4-22）

式中，W(z)稱為離散時間系統（見圖4-13）的傳遞函數，也是廣義離散時間濾波器特性。當幅值也被量化時（系統中有A/D），則稱其為數字濾波器。圖4-13離散時間系統

1.數值序列x(nT)或x(n)的Z變換

對函數x(t)求Z變換，就是對t=0,1,…,nT離散時刻處的離散時間序列x(nT)求Z變換，記為X(z)，其定義式為（4-23）式中z=ejωT為復變量，代入上式可得（4-24）式（4-24）就是傅里葉變換的離散形式。

2.某些典型函數的Z變換

(1)單位階躍函數的Z變換。如圖4-14所示單位階躍函數：由定義式得圖4-14單位階躍函數由定義式得（2）單位斜坡函數x(t)的Z變換。

如圖4-15所示單位斜坡函數：圖4-15單位斜坡函數（3）指數函數x(t)的Z變換。對于指數函數：因為x(nT)=e－anT,n=0,1,2,…所以有

（4）余弦函數的Z變換。對于余弦函數：因為所以有(5)求Z變換:從s域求相應Z變換的途徑是把X(s)反變回x(t)，然后再求x(t)的Z變換。對求拉普拉斯反變換，得原函數故有如單位階躍函數的Z變換是1/(1－z－1)，然而1/(1－z－1)的Z反變換也可能是任一時間函數，但該時間函數在t=0,T,2T,3T,…處卻也都是有相同的值1，在滿足采樣定理的條件下，通過x(n)那些點的平滑曲線可近似為連續時間函數x(t)，如圖4-16所示。圖4-16不同的時間函數x1(t)、x2(t)有相同的時間序列值

3.Z反變換

1）直接除法

直接除法又稱冪級數展開法，它只能求得x(n)的前幾項數值，得不出x(n)的通項表達式。直接除法源于Z變換定義式：當把X(z)展開為z－1的冪級數時，x(n)的數值可通過對照方法確定。

[例1］試求X(z)的Z反變換x(n)，n=0,1,2,3,4。解（1）先將X(z)寫成z－1的多項式之比:（2）分子被分母除，得

（3）由對比可得

x(0)=0，x(1)=10，x(2)=17，x(3)=18.4，x(4)=18.68

2）留數法（積分反演法）這是求解Z反變換最一般的方法。（4-25）（1）如果X(z)zn－1分母包含一個單極點z=zi時，則對應的留數K為（4-2６）（2）若X(z)zn－1含有m階重極點zi，則其留數K為（4-27）應當指出，只要X(z)zn－1在原點z=0處無極點，則留數法是求取Z反變換的一種非常簡便的方法。[例2]，|z|>1的反變換。求解(1)極點：z1=1，z2=0.5，均為單極點。（2）單極點的留數K1、K2由式（4-26）有：故x(0)=1,x(1)=1.5,x(2)=1.75,x(3)=1.875,…

3）部分分式展開法

如果在坐標原點（z=0）處，X(z)有一個或多個零點的話，則由部分分式展開法將X(z)/z

或X(z)展開成簡單的一階或二階項之和，再查Z變換表找出每個展開項對應的Z反變換。這是利用了Z變換的線性性質，各部分分式Z反變換之和即為X(z)的Z反變換。討論由下式給出的X(z)：m≤n

（4-28）首先對X(z)的分母多項式進行因式分解，并求其極點:在X(z)全部是低階極點，并且至少有一個零點是在原點（bm=0）的情況下，一般的步驟是將X(z)/z展開成部分分式如下:

解得（4-29）為各極點的留數。若在z=pi處X(z)/z有二重極點，并且無其他極點，那么則

[例3］求的Z反變換。解（1）

（2）求ai:（3）所以（4）查表可得

x(n)=12.5(1n－0.2n),n≥0

x(0)=0,x(1)=10,x(2)=12,x(3)=12.48,…

4.Z變換的某些基本性質和定理

1)線性特性

若時間序列x1(n)的Z變換為Z［x1(n)］=X1(z)，x2(n)的

Z變換為Z［x2(n)］=X2(z),則

式中α1、α2為常數。（4-30）

2）延時性質

若X(z)=Z［x(n)］，則

（1）Z［x(n－m)］=z－mX(z)=X1(z)（4-31）

（2）（4-32）證明：（1）(設k=n－m)(設k<0時，

x(k)=0)所以，Z變換乘以z－m后，時間序列x(n)將延遲一段時間（mT個周期），見圖4-17。圖4-17脈沖序列x(k)的超前與延遲（2） (設k=n+m,n=0時k=m)

3)卷積定理

（1）離散卷積分。兩個時間序列x1(n)、x2(n)的卷積

分為

（4-33）

兩個序列的卷積與進行卷積的兩個序列的次序無關，記為x(n)=x1(n)*x2(n)。（2）時域卷積定理。若

Z［x1(n)］=X1(z)

Z［x2(n)］=X2(z)

則

Z［x1(n)*x2(n)］=X1(z)X2(z) （4-34）

式（4-34）表明序列x1(n)和x2(n)卷積的Z變換等于兩序列Z變換之乘積。典型序列的Z變換如表4-4所示。

5.連續時間(t)濾波器(s)與其等效離散時間(nT)濾波

器H(z)

幅值整量化了的離散時間濾波器稱為數字濾波器HD(z)。連續時間濾波器即為模擬濾波器H(s)。求圖4-18的H(s)的等效HD(z)的方法有多種，詳見4.5節，本節僅給出兩種方法的關鍵步驟。圖4-18H(s)與HD(z)的等效

(1)后向差分法求等效HD(z)的方法是：令H(s)中的s為

（T為采樣間隔） （4-35）

(2)雙線性變換法求等效HD(z)的方法是令H(s)中的s為

（T為采樣間隔）（4-36）4.4.2擴展頻帶的數字濾波法

1.數字濾波法擴展頻帶實現頻率自補償功能的思路

數字濾波法的補償思路是：給現有傳遞函數為W(s)的待補償系統串接一個傳遞函數為H(s)的環節，于是系統總傳遞函數I(s)=W(s)H(s)滿足動態性能的要求。其實質就是一種“拼湊”法。這個需要附加的串聯環節H(s)，由軟件編程設計的等效數字濾波器實現。欲將某一階環節的傳感器頻帶擴展A倍以上，其傳遞函數W(s)和頻率特性W(jω)為（4-37）現欲將其頻帶擴展A倍，即擴展后轉折角頻率ωτ′為

ωτ′=Aωτ也就是時間常數減小A倍，即

2.校正環節傳遞函數H(s)的確定

串入校正環節H(s)后，與原傳感器W(s)組成一個新環節I(s)，如圖4-19所示。I(s)應具有所希望的動態特性，即（4-38）于是，得校正環節的傳遞函數H(s)為（4-3９）圖4-19串聯校正環節(a)系統框圖；(b)H（ω）、W（ω）、

I（ω）對數幅頻圖

3.H(s)等效數字濾波器H(z)的設計

1)等效數字濾波器H(z)的Z域傳遞函數表達式

采用后向差分法，令代入式（4-39）可得模擬濾波器H(s)的等效數字濾波器H(z)如下:整理后得（4-40）

2)等效數字濾波器H(z)的計算機編程實現將式（4-40）交叉相乘

A(1+cT－z－1)U(z)=(1+bT－z－1)Y(z)等式兩邊求Z反變換

A(1+cT)·u(k)－Au(k－1)=(1+bT)y(k)－y(k－1)于是得差分方程如下（4-41）式中，p=1/(1+bT)；b=A/τ=2πfb；q=1/(1+cT)；c=1/τ=2πfc;fc為擴展頻帶前傳感器原有的轉折頻率；fb為擴展頻帶后傳感器系統的轉折頻率，fb=Afc；k為采樣時序序號；T為采樣間隔。

4.采用數字濾波法擴展頻帶應注意的問題

1)待補償系統參數值不準確對補償效果的影響

以一階系統為例，其特征參數τ的測定值τ(測)與其實際值τ(實)之間肯定存在偏差，從而獲得補償后系統的傳遞函數不可能是式（4-38），而是如下的表達式（4-42）其中τ=τ(實)，是傳感器系統實際的時間常數；τ″=τ(測)是時間常數測定值。

2)頻帶擴展倍數A的受限因素

頻帶擴展倍數A要受系統硬件頻帶如采樣頻率的限制，也就是軟件補償效果受限于硬件條件。一個離散時間系統必須遵守奈奎斯特采樣定理，也就是說，其采樣頻率fs必須大于系統的截止頻率理論上為2倍，實際上需要8~20倍。故，若系統補償前的帶寬為fτ=1kHz，數采卡的采樣頻率fs=100kHz，那么頻帶擴展倍數=50~5。4.4.3擴展頻帶的頻域校正法

圖4-20給出了頻域校正法的過程，與數字濾波法一樣，它也必須已知系統的傳遞函數，如果不知道的話，則需要事先測定表征動態特性的特征參數，從而得出傳遞函數W(s)或頻率特性W(jω)，然后再開始用軟件實現頻域校正，詳細的校正步驟介紹如下。圖4-20頻域校正過程示意圖

1．采樣

對輸入信號x(t)的輸出響應信號y(t)進行采樣，得時間序列y(n)(n=0,1,2,…,N－1)，信號記錄長度tp=NTs，Ts為采樣間隔，1／Ts=fs為采樣頻率，必須滿足采樣定理

fs>2fm

式中，fm為輸入信號x(t)的最高頻率。

2．頻譜分析

對采樣信號y(n)進行頻譜分析，即進行快速傅里葉變換（FFT），得出它的頻譜Y(m)(m=0,1,2,…,N/2)，其基波頻率為1/tp=Ω/2π,ω=mΩ。

3．做復數除法運算

已知系統頻率特性W(jω)式中：Y(jω)為系統輸出信號的頻譜；X(jω)為系統輸入信號的頻譜。因為計算機是離散時間系統，只能得到離散的譜線，即

ω=mΩ式中：Ω=2π/tp為基波頻率；m為譜線序號，m=0,1,2,…,N/2。

故系統頻率特性的離散時間表達式為將W(m)與Y(m)做復數除法，可得系統被測輸入信號的頻譜：（4-43）4.4.4［示例4-2］采用數字濾波法將測溫傳感器

（一階系統）頻帶擴展A≥10倍

第一步：時間常數測定。將溫度傳感器放在冰水混合物的冰瓶中，待溫度平衡后迅速將溫度傳感器提出冰瓶，由此對溫度傳感器輸入一個從0℃至室溫（39℃）的溫度階躍信號，數據采集系統同步采集系統的響應輸出信號u(t)，如圖4-21所示。圖4-21溫度傳感器系統對階躍輸入溫度信號的響應第二步：執行校正環節H(s)等效數字濾波H(z)的編程算式（4-41）。根據已測定出的τ值與所要求的頻帶擴展倍數A≥10，計算出傳感器頻帶擴展前后的轉折頻率fc、fb以及p、q值，編程算式（4-41）即可執行。第三步：最佳補償效果的判斷與調節實現。由于時間常數τ的測定必然存在誤差，不可能絕對準確，故設置的fc（轉折頻率）會出現偏差，從而會發生fc偏大時補償不足，fc偏小時補償過分的現象。這個現象可以通過以下方法進行補償。觀察階躍響應u(t)的采樣信號u(k)，以及通過數字濾波器后的階躍響應信號y(k)，如圖4-21中的曲線u(k)為數字濾波前的溫度階躍響應信號，設置不同fc值濾波器輸出的溫度階躍響應y1、y2、y3，如圖4-22所示。圖4-22不同補償效果的圖示

4.5提高信噪比與分辨力及智能化信號

提取與消噪功能

4.5.1數字濾波技術

1.濾波器的特征頻帶與分類

濾波器有多種分類方式，主要可劃分為經典與現代兩大類，其中經典濾波器只適用于噪聲頻譜和信號頻譜不重疊的場合，對信號與噪聲有分離消噪與信號提取的作用。經典濾波器進而又分為模擬與數字濾波器兩種。按當前輸出與前一時刻輸入與輸出的關系來分，有無限沖激響應（IIR）與有限沖激響應濾波器（FIR）。

1）濾波器的特征頻帶

濾波器的類型可以不同，但其頻率特性H(ω)都有三個特征段：通帶、阻帶及過渡帶。

（1）通帶。在這段頻率范圍，濾波器輸入信號的幅值|X(ω)|與其輸出信號的幅值|Y(ω)|之比近似為一常量，信號可不受或受很小的影響通過濾波器。理想帶通的A為常量，其幅頻特性是一條平直線。（2）阻帶。在這段頻率范圍內A≈0，信號受很大衰減而被阻止。理想阻帶的A為0，信號完全被阻止。

（3）過渡帶。這是位于通帶與阻帶之間的一段頻帶，幅值比值A不為常量，隨信號頻率的變化而改變。

2）濾波器的分類

根據上述三種特征頻帶在濾波器頻率特性頻段中所處位置區間的不同，濾波器可分為四類，如圖4-23所示。圖4-23四類濾波器的頻譜(a)低通濾波器；(b)高通濾波器；(c)帶通濾波器；(d)帶阻濾波器（1）低通濾波器，通帶在低頻段，為0~f1；過渡帶為f1~f2，f2>f1。

（2）高通濾波器，通帶在高頻段，為f2~∞；過渡帶為f1~f2，f2>f1。

（3）帶通濾波器，通帶在中頻段，為f1~f2；阻帶在通帶兩側，有兩個過渡帶。

（4）帶阻濾波器，阻帶在中頻段，為f1~f2；阻帶兩側均為通帶，有兩個過渡帶。

2.巴特沃斯濾波器與切比雪夫濾波器

根據不同的逼近準則，就有不同的衰減或上升特性，從而形成不同的濾波器。不同的逼近準則形成的依據為濾波器的傳遞函數。例如一般的低通頻率響應特性，其傳遞函數為（4-44）式中，X(s)、Y(s)分別為輸入x(t)、輸出y(t)信號的拉普拉斯變換；b0,b1，b2,…,bn－1為供適當選擇的常數；K為直流放大倍數；n為濾波器階次。在很多逼近準則中，常用的是巴特沃斯（Butterworth）和切比雪夫（Chebyshev）準則。它們的傳遞函數都是式（4-44）的變形，差別僅在常數b0,b1,b2,…,bn－1的選擇。巴特沃斯濾波器有所謂最平的通帶，而切比雪夫濾波器的通帶有“波紋”。

1）巴特沃斯低通濾波器

（1）幅頻特性的一般表達式。

巴特沃斯低通濾波器是一種以所謂最平通帶特性逼近理想低通濾波器的濾波器。其幅頻特性為輸出|Y(ω)|與輸入|X(ω)|幅值之比，表達式為（4-45）式中：n=1,2,3,…為濾波器的階次；ωc為截止角頻率，是幅值|H(ω)|下降至最大值的或3dB時對應的角頻率值。

將ω/ωc不同值代入式（4-45），就可計算得巴特沃斯濾波器的輸出|Y(ω)|與輸入|X(ω)|幅值比A=|H(ω)|隨信號頻率ω/ωc變化的規律。|H(ω)|－ω/ωc關系就是幅頻特性，如圖4-24所示。n等于1和2時的幅頻特性的相應數值列入表4-5中。圖4-24n值不同時巴特沃斯濾波器幅頻特性與相頻特性(a)幅頻特性；(b)相頻特性理想低通濾波器在通帶|H(ω)|=1，幅頻特性應是不隨信號頻率變化的常量，但實際上|H(ω)|隨ω的增大而逐漸下降，稱|H(ω)|與1之差為衰減率或稱衰減度δ，即

δ=1－A=1－|H(ω)|

(4-46)（2）一階巴特沃斯低通濾波器。

①傳遞函數：（4-47a）式中，τ=b1/b0；s=σ+jω。若令σ=0，得頻率特性如下：（4-47b）②幅頻特性：（4-48）式中，ωc=1/τ為轉折角頻率或稱截止角頻率。與式（4-45）相比，式（4-48）中n=1。③相頻特性：（4-49）通常將具有式（4-47）特性的系統稱為一階系統，也即一階系統具有一階巴特沃斯低通濾波器的特性。作為低通濾波器n=1時，其低通特性是很差的，n值越大就越接近理想特性。

2）切比雪夫低通濾波器

切比雪夫低通濾波器的幅頻特性定義如下：（4-50）式中，K為直流放大倍數；ε為與波紋大小有關的常數；Cn為切比雪夫多項式，n=1,2,…為濾波器的階數；ωc為波紋終止點對應的角頻率，當只有3dB切比雪夫濾波器時，等紋波區間的終止角頻率ωc才指通常的3dB處的截止角頻率。當ε=0.0885，通常波紋幅值A為1dB=20lgA時，切比雪夫低通濾波器的傳遞函數為

n=1時（4-51）如圖4-25(a)、(b)所示分別給出了相同ε值、不同n值時的幅頻特性與相頻特性。由圖4-25可見，在通帶內，具有相等幅度的波紋，隨著n值的增加，波紋數目相應增加，同時阻帶內衰減也增加，與理想特性近似越好。圖4-25n值不同時切比雪夫低通濾波器的幅頻特性與相頻特性(a)幅頻特性；(b)相頻特性

3.模擬濾波器的設計

1)巴特沃斯低通濾波器的設計

設計目標是確定階次n與截止角頻率ωc以滿足設計要求。設計要求通常是對幅頻特性的過渡段特性提出要求,如：信號頻率f1(ω1=2πf1)時，對應的衰減率為δ1；

信號頻率f2(ω2=2πf2)時，對應的衰減率為δ2。

由式（4-46）已知衰減率δ與幅值比A=|H(ω)|的關系，再寫如下

δ=1－A (4-52)

（1）低通濾波器階次n的確定。將式（4-45）與設計要求的f1、f2及其δ1、δ2代入式（4-52）可得(4-53a)(4-53b)將式（4-53）移項、平方并整理后，可得(4-54a)(4-54b)求式（4-54）中兩式之比，有即(4-55)為使等式（4-55）成立，n值可能不為整數，這時取n為大于零的最小整數值。

（2）低通濾波器截止角頻率ωc的確定。

根據已確定的階次n，由式（4-54）兩式中的任一個式子都可求出ωc。

（3）巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數H(s)與幅頻特性|H(ω)|：

n=1時，， (4-56a)n=2時，(4-56b)

n=3時，(4-56c)式中，ωc為截止角頻率；直流放大倍數K=1

2）巴特沃斯高通濾波器的設計

巴特沃斯低通濾波器傳遞函數Hd(s)的s用1/s代替可得階次n相同的巴特沃斯高通濾波器Hg(s)。下面以n=1為例介紹其設計方法。

（1）一階巴特沃斯高通濾波器的傳遞函數Hg(s)。

由式（4-56）可知，當n=1時的一階低通濾波器傳遞函數Hd(s)：，Hd(s)中的s由1/s代替，且再將ad由1/ag代替，即得一階高通濾波器Hg(s)： (4-57)式中，ωcg為高通濾波器通帶截止角頻率。（2）一階巴特沃斯高通濾波器的頻率特性Hg(ω)及幅頻特性|Hg(ω)|：令ω/ωcg=0,0.1,0.5,1.0,5.0,10.0等不同值，可計算得到相應的幅值比|Hg(ω)|與ω/ωcg的關系，見表4-6。

由表4-6數據規律可見，當ω/ωcg=0時，|Hg(ω)|=0；并隨ω頻率增大|Hg(ω)|增大并趨近1，|Hg(ω)|－ω/ωcg關

系呈現高頻特性，故是高通濾波器，且當ω=ωcg

時|Hg(ω)|=0.7071，衰減率δg=1－|Hg(ω)|≈0.293，可見ωcg為高通濾波器的截止角頻率。高通濾波器幅頻特性如圖

4-26所示。圖4-26高通濾波器幅頻特性

3）巴特沃斯帶通濾波器的設計

巴特沃斯帶通濾波器的幅頻特性如圖4-27所示。圖中ω0為中心角頻率；

B=ω2－ω1為帶寬，ω1與ω2為通常定義的截止角頻率。由其幅頻特性可見，帶通濾波器可由一個截止頻率為ωcd=ω2的低通濾波器與一截止頻率ωcg=ω1的高通濾波器串聯而成，下面以一階為例進行設計。圖4-27帶通濾波器幅頻特性（1）低通濾波器的傳遞函數Hd(s)：,（2）高通濾波器的傳遞函數Hg(s):,（3）帶通濾波器的傳遞函數Hb(s): (4-58a)令s=jω，可得帶通濾波器的頻率特性Hb(ω)和幅頻特性|Hb(ω)|：(4-58b)式中，

4）巴特沃斯帶阻濾波器的設計

巴特沃斯帶阻濾波器的幅頻特性如圖4-28所示，圖中ω0為中心角頻率，B=ω2－ω1為帶寬，ω1與ω2為通常定義的截止角頻率。由其幅頻特性可見，帶阻濾波器可由一個截止角頻率為ωcd=ω1的低通濾波器與一截止角頻率ωcg=ω2的高通濾波器串聯而成，以一階為例，帶阻濾波器的傳遞函數為H(s) (4-59)式中：ad=1/ωcd，ag=1/ωcg；在B足夠寬時ωcd=ω1，ωcg=ω2。圖4-28帶阻濾波器幅頻特性

4.連續時間(t)濾波器H(s)的離散時間(nT)等效濾波

器H(z)

連續時間濾波器又稱模擬濾波器。經過采樣/保持器后進入計算機的信號是在時間為離散時刻(t=nT,n=0,1,2,…)上具有數值，而數值又是整量化了的時間序列。在計算機中處理這種幅值量化了的離散時間序列信號的濾波器稱為數字濾波器。通常的情況是首先確定一個期望的模擬濾波器H(s)：被測信號的頻率范圍應在其通帶內，欲清除的干擾噪聲的頻率范圍應落在阻帶，從而濾波器的類型及其相應的截止頻率就被確定；然后下一步的主要任務就是設計軟件，實現與H(s)等效的數字濾波器HD(z)。等效示意框圖如圖4-29所示。等效方法有多種，如脈沖響應不變法（Z變換法）、后向差分法、雙線性變換法、頻率預曲折雙線性變換法等。下面只介紹兩種方法：后向差分法與雙線性變換法。圖4-29H（s）與HD（z）的等效

1）后向差分法

后向差分法是一種數值積分法。下面以最簡單的一階系統為例，介紹由微分方程建立差分方程，再對差分方程進行Z變換，進而獲得連續時間濾波器H(s)的等效數字濾波器HD(z)。

（1）推導差分方程。微分方程（τ為時間常數）

傳遞函數將上面微分方程的等號兩邊從0到t進行積分。若求解每個采樣周期T時y(t)的值，將t=kT代入上式得（4-60）同理，從0→t=(k－1)T積分，則有：（4-61）將式（4-60）和式（4-61）相減后可得（4-62）式（4-62）右側兩項在數值上可由各種方法積分，運用后向差分法積分就是矩形面積近似曲線y(t)下的面積，如圖4-30所示，則式（4-62）變為

y(kT)－y((k－1)T)=－aTy(kτ)+aTx(kτ)

整理得

y(k)=qx(k)+py(k－1)（4-63)式中:

q+p=1。圖4-30后向差分法面積近似圖式（4-63）就是后向差分法實現模擬低通濾波器H(s)=a/(s+a)、a=1/τ=ωτ的等效數字濾波器的計算機編

程算式。當前時刻kT的輸出y(k)由兩部分組成：

qx(k)——當前時刻的輸入值x(k)乘以q；

py(k－1)——當前時刻的前一時刻(k－1)T的輸出值

y(k－1)乘以p。（2）由H(s)求等效HD(z)的后向差分法。

具體方法是令H(s)中的s為即于是有 求Z反變換得差分方程故

2)雙線性變換法（梯形積分法或Tustin變換法）

（1）推導差分方程。如圖4-31所示的曲線y(t)下的面積由梯形面積近似，即圖4-31雙線性變換法面積近似圖（梯形近似）于是，由式（4-62）得差分方程如下（4-64）經整理后可得（4-65）式中

式（4-64）就是雙線性變換法實現模擬低通濾波器H(s)=a/(a+s)、a=1/τ=ωτ的等效數字濾波器的計算機編程算式。當前時刻kT的輸出y(k)由三部分組成：py(k－1)——當前時刻的前一時刻(k－1)T的輸出值y(k－1)乘以系數p；qx(k)——當前時刻的輸入值x(k)乘以系數q；qy(k－1)——當前時刻的前一時刻(k－1)T的輸入值x(k－1)乘以系數q。（2）由H(s)求等效HD(z)的雙線性變換法。具體做法是令H(s)中的s為（4-66）即于是有再對上式求Z反變換整理后得差分方程

5.有限沖激響應與無限沖激響應數字濾波器

1）有限沖激響應濾波器（FIR）的數學模型

有限沖激響應濾波器的脈沖傳遞函數表達式為（4-67）于是有求Z反變換得差分方程即（4-68）式（4-68）給出的差分方程表明：當前時刻的輸出y(n)由一系列的（包括當前時刻和歷史時刻）輸入值x(n－r)乘以相應系數ar決定。

2)無限沖激響應濾波器（IIR）的數學模型

無限沖激響應濾波器的脈沖傳遞函數表達式為（4-69）展開得于是有求反變換得差分方程故(4-70)式(4-70)給出的差分方程表明當前時刻的輸出y(n)由兩部分決定:

一系列的（含當前時刻和歷史時刻）輸入值x(n－r)乘以相應的系數ar，r=0,1,2,…,N；

一系列的歷史時刻輸出值y(n－k)，乘以相應的系數bk，k=1,2,…,M。

式（4-69）、式（4-70）所表征的均是無限沖激響應濾波器（IIR）的數學模型。要注意，由H(s)求H(z)的等效方法有多種，任選一種都可。但因逼近|H(ω)|的方式與著重點有所不同，故采用不同等效方法求得的濾波器系數也不盡相同。也就是說，寫成式(4-70)一般表達式后，對應的系數ar(r=0,1,2,…,N)與bk(k=1,2,…,M)的數值可能不同。此外，ar