§1.1

二階、三階行列式，全排列及其逆序數§1.2

n

階行列式的定義§1.3

行列式的性質（1）§1.4

行列式性質（2）§1.5

克萊姆法則第一頁，共八十五頁，2022年，8月28日第一節二、三階行列式全排列及其逆序數第二頁，共八十五頁，2022年，8月28日一、二階行列式與三階行列式注：該定義稱之為對角線法則。第三頁，共八十五頁，2022年，8月28日1.全排列：把n個不同的元素排成一列，叫做這n個元素的全排列（簡稱排列）。2.逆序：對于n個不同的元素，先規定各元素之間的一個標準次序（如n個不同的自然數，可規定由小到大）于是在這n個元素的任一排列中，當某兩個元素的先后次序與標準次序不同時，就稱這兩個元素構成了一個逆序。二、全排列與逆序數第四頁，共八十五頁，2022年，8月28日3.逆序數：一個排列中所有逆序的總和稱之為這個排列的逆序數。4.奇排列與偶排列：逆序數為奇數的排列稱為奇排列，逆序數為偶數的排列稱為偶排列。5.計算排列逆序數的方法：

不妨設n個元素為1至n這n個自然數，并規定由小到大為標準次序。設p1p2…pn為這n個自然數的一個排列，考慮元素pi(i=1,2,…n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有τi個，就說第五頁，共八十五頁，2022年，8月28日

pi這個元素的逆序數是i，即：

(p1p2…pn)=

1+

2+…+

n

就是這個排列的逆序數。例1求排列13…(2n

1)24…(2n)的逆序數。解：在該排列中，1～(2n1)中每個奇數的逆序數全為0，2的逆序數為(n

1)，4的逆序數為(n

2),…，(2n

2)的逆境序數為1，2n的逆序數為0，于是該排列的逆序數為第六頁，共八十五頁，2022年，8月28日例2在1~9構成的排列中,求j、k，使排列1274j56k9為偶排列解：由題可知，j、k的取值范圍為{3，8}當j=3、k=8時，經計算可知，排列127435689的逆序數為5，即為奇排列當j=8、k=3時，經計算可知，排列127485639的逆序數為10，即為偶排列∴j=8，k=3第七頁，共八十五頁，2022年，8月28日例3設排列p1p2p3…pn的逆序數為k，求pn…p3p2p1的逆序數（p1p2p3…pn是1～n的某一排列）解：∵排列p1p2p3…pn與排列pn…p3p2p1的逆序數之和等于1～n這n個數中任取兩個數的組合數即

：

第八頁，共八十五頁，2022年，8月28日第九頁，共八十五頁，2022年，8月28日第二節n階行列式的定義第十頁，共八十五頁，2022年，8月28日設有n2個數，排成n行n列的數表作出表中位于不同行不同列的n個元素的乘積，并冠以符號(-1)τ，得形如的項，其中p1p2…pn為自然數1、2、…、n的一個一、定義第十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日排列，τ為這個排列的逆序數。由于這樣的排列共有n!個，因而形如(1)式的項共有n!項。所有這n!項的代數和第十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日其中p1p2…pn是1～n的任一排列，是排列p1p2…pn的逆序數，即=(p1p2…pn)。二、幾個特殊的行列式第十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日第十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日第十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日第十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日1.在排列中，將任意兩個元素對調位置，其余元素不動，這種作出新排列的過程叫做對換。將相鄰兩元素對換，稱為相鄰對換。定理1 :對換一個排列中的任意兩個元素，排列改變奇偶性。證明：該定理的證明可分為兩步來證。第一步來證明相鄰對換的情況,第二步證明一般情況。三、對換與排列奇偶性的關系第十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日由此可見，相鄰對換將改變排列的奇偶性。再證一般情況，設：第十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日把(1)作n+1次相鄰對換得(2)，把(2)再作n次相鄰對換可得(3)，即共作了2n+1次相鄰對換由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相鄰對換，排列的奇偶性改變一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改變了2n+1次，即由原來的奇排列就變成了偶排列或由原來的偶排列變成了奇排列。▌第十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日定理2：n元排列共有n!個，其中奇、偶排列的個數相等，各有n!/2個。證：設奇排列有p個，偶排列有q個。將每個奇排列的頭兩個數對換，則得一個偶排列，說明有多少奇排列，就至少有多少個偶排列。反之亦然，因此，p=q。定理3：任意一個n元排列都可以經過一些對換變成自然排列，并且所作對換的個數與這個排列有相同的奇偶性。第二十頁，共八十五頁，2022年，8月28日四、行列式的等價定義第二十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日五、關于等價定義的說明第二十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日第二十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日這就表明，對換乘積項中兩元素的位置，從而行標排列與列標排列同時做了相應的對換，但行標排列與列標排列的逆序數之和的奇偶性并不改變。第二十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日定理4第二十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日例5寫出四階行列式中含有因子的項。例6若為四階行列式的項，試確定i與k，使前兩項帶正號，后一項帶負號。第二十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日第二十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三節行列式的性質(1)第二十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日第二十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日第三十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四十頁，共八十五頁，2022年，8月28日

在利用行列式性質(1)進行行列式計算時，基本的思路是把行列式化成三角行列式，當然在化的過程中也要兼顧其它性質的應用。第四十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日第五十頁，共八十五頁，2022年，8月28日第五十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日第五十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日第四節行列式的性質(2)第五十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日在n階行列式中，把元素aij所在的第i行第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素aij余子式，記作Mij；記Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做元素aij的代數余子式。一、余子式與代數余子式第五十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日第五十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日二、k階子式及其余子式和代數余子式在n階行列式D中任選k行k列，位于這k行k列的交叉點處的k2個元素按原來的位置組成的k階行列式M叫做D的一個k階子式。在D中劃去M所在的行與列，剩下的元素按原來的位置組成的n-k子式N叫做M的余子式。設M所在的行數與列數依次為i1<i2<…<ik，j1<j2<…<jk，M的余子式N乘以叫做M的代數余子式。第五十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日M是D的一個2階子式，N是M的一個余子式，A是M的一個代數余子式第五十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日第五十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日第五十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日第六十頁，共八十五頁，2022年，8月28日證明：第六十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日證明：第六十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日第六十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日第六十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日第六十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日第六十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日第六十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日第六十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日第六十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日第七十頁，共八十五頁，2022年，8月28日第五節克萊姆法則第七十一頁，共八十五頁，2022年，8月28日一、線性方程組第七十二頁，共八十五頁，2022年，8月28日二、克萊姆法則第七十三頁，共八十五頁，2022年，8月28日第七十四頁，共八十五頁，2022年，8月28日第七十五頁，共八十五頁，2022年，8月28日第七十六頁，共八十五頁，2022年，8月28日第七十七頁，共八十五頁，2022年，8月28日第七十八頁，共八十五頁，2022年，8月28日定理1：方程組(1)一定有解，且解是唯一的充要條件是線性方程組(1)的系數行列式D≠0。定理2：如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必等于零，即D=0。定理3：齊次方程組(2)只有零解，而沒有非零解的充要條件是齊次線性方程組(2)的系數行列式D≠0。定理4：齊次方程組(2)有非零解的充要條件是齊次線性方程組(2)的系數行列式D=0。三、幾個相關定理第七十九頁，共八十五頁，2022年，8月28日第八十頁，共八十五頁，2022年，