第五章

不定積分1例第一節不定積分的概念(一)

原函數與不定積分的概念定義不定積分又稱反導數，它是求導運算的逆運算。本章所講的內容就是尋求函數的原函數。2原函數存在定理：簡言之：連續函數確定有原函數。問題：(1)原函數是否存在？(2)是否唯一？因此初等函數在其定義域內都有原函數

。(但原函數不確定是初等函數)3唯一性？說明：4積分變量(二)不定積分的概念積分常數積分號被積函數記為定義

5例1求解解例2求6例3求解7解例3求合寫成8(三)不定積分的幾何意義設F(x)是f

(x)的一個原函數，則方程y=F(x)的圖形是直角坐標系Oxy中的一條曲線，稱為f

(x)的一條積分曲線.將這條曲線沿y軸向上或向下移動長度為|C|的距離，就可以得到f

(x)的無窮多條積分曲線，它們構成一個曲線族，稱為f

(x)的積分曲線族，其方程為

或9它們的特點是：

在橫坐標相同的點處，各積分曲線的切線有相同的斜率，都是

f

(x)，即各切線平行。

10解例4設曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.設曲線方程為依據題意知(1,2)11其次節不定積分的性質或性質1求不定積分與求導或微分互為逆運算：或性質2其中a為非零常數。

證由定義可知，12此性質可推廣到有限多個函數之和差的情形。性質3證綜合性質2和性質3，可得13第三節基本積分公式(k是常數)1415干脆積分法—分項積分法例例例16例17例18例19例例例20三角恒等變形例例21例例例22訓練：求下列不定積分23問題？第四節換元積分法(一)第一類換元積分法(湊微分法)24一般地，湊微分法步驟如下：25常用湊微分公式：等等.26例例例27練習28例例例29例例30例另外：31例類似地，或32例33類似地，例34基本積分公式35例解法1解法2例36例37例38例39例40或解例41例例42例積化和差43訓練：求下列不定積分44(三)其次類換元積分法回代,得

45稱為其次換元積分法留意：不要忘了回代。回代46例解47解例48解令例49訓練：解50例解失敗！51例解52例解53例解54基本積分公式比較：55說明：以上幾例所運用的均為三角代換,目的是化掉根式.一般規律如下：當被積函數中含有可令可令可令但是否確定接受三角代換并不是確定的,有時可敏捷接受別的方法.56訓練：求下列不定積分57例解58例解59湊微分分部積分公式問題解決思路利用兩個函數乘積的求導法則.第五節分部積分法分部積分的過程：

60例？積分更難進行.61例62例63例64訓練：65訓練：求下列不定積分66例分部積分法可多次運用：67訓練：求下列不定積分68例循環法69解方程組得或解例70分部積分法與換元法結合：例解71訓練：求下列不定積分72解例因為所以73例解由題意,74第六節綜合雜例例計算下列不定積分：75解例76例77例78例79例80例81或解82例83例84例85例解86例87例88有理函數的積分：假定分子與分母之間沒有公因式(既約分式).有理函數是真分式；有理函數是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和。89例要點：將真分式化為部分分式之和。以下只考慮真分式的積分。90真分式的分解：（1）分母中若有因式，則分解后有真分式化為部分分式之和的一般規律：（2）分母中若有因式，則分解后有91（3）分母中若有因式，其中則分解后有（4）分母中若有因式，，則分解后有其中92真分式化為部分分式之和的待定系數法：例193代入特殊值來確定系數例294例395例496真分式可分為以下四種類型的分式之和：

這四類分式均可積分，且原函數