2009年暑假數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)(必修1)第一章集合與函數(shù)的概念LtD金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng)2009年暑假數(shù)學(xué)課外輔導(dǎo)（必修1）第一章集合與函數(shù)的概念一、基本內(nèi)容串講本章主干知識：集合、子集、并集、交集、補(bǔ)集，函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和最值。1．集合集合是指定的某些對象的全體。集合中元素的特性有:確定性（集合中的元素應(yīng)該是確定的，不能模棱兩可）、互異性（集合中的元素應(yīng)該是互不相同的）、無序性（集合中元素的排列是無序的）.元素和集合的關(guān)系是屬于不屬于關(guān)系.表示集合的方法要掌握字母表示法、列舉法、描述法及Venn圖法。根據(jù)元素個數(shù)的多少集合可分為：有限集，無限集。2．集合間的基本關(guān)系及基本運(yùn)算關(guān)系或運(yùn)算自然語言符號語言圖形語言集合A中任意一個元素都是集合B中的元素。二、考點闡述考點1集合的含義（A）1、（石家莊市2008年第二次質(zhì)檢）設(shè)全集U＝集合M＝，C＝，則實數(shù)a的值為（D）A、-2或8B、-8或-2C2、若集合中的元素是的三邊長，則△一定不是（D）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形考點2集合之間的包含與相等的含義（B）3、若集合，且，求實數(shù)的值.解析：由，因此，.（=1\*romani）若時，得，此時，；（=2\*romanii）若時，得.若,滿足，解得.故所求實數(shù)的值為或或。4、已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}.若A=B，求實數(shù)x的值.解析：若a+ax2-2ax=0,所以a(x-1)2=0，即a=0或x=1.當(dāng)a=0時，集合B中的元素均為0，故舍去；當(dāng)x=1時，集合B中的元素均相同，故舍去.若2ax2-ax-a=0。因為a≠0，所以2x2-x-1=0,即(x-1)(2x+1)=0.又x≠1，所以只有。經(jīng)檢驗，此時A=B成立.綜上所述。考點3全集與空集的含義（A）5、已知全集,，則（C）.A.B.C.D.6、設(shè)，，，求、.解析：；＝?？键c4兩個集合的并集與交集的含義及計算（C）7、(2009北京朝陽區(qū))已知集合，則等于（D） A． B．{1,2} C．{2,3} D．{1,2,3}8、(2009北京西城區(qū))已知集合，那么集合等于（C）A.B.C.D.9、(2009北京海淀區(qū))已知，.（I）若，求；（II）若R，求實數(shù)的取值范圍.解析：（I）當(dāng)時，...（II）..且.實數(shù)的取值范圍是.考點5補(bǔ)集的含義及求法（C）10、(北京市石景山區(qū)2009年4月高三一模理)已知全集，，，那么集合是(D)A．B．C．D．11、（荊州市2008年檢測）設(shè)，且，若，則實數(shù)的值為（B）考點6用Venn圖表示集合的關(guān)系及運(yùn)算（C）12、（宜昌市2008年第二次調(diào)研）設(shè)全集，如圖。則圖中陰影部分所表示的集合為(D)A．B．C．D．考點7函數(shù)的概念(B)13、判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為（C）⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，A⑴、⑵B⑵、⑶C⑷D⑶、⑸解析：C（1）定義域不同；（2）定義域不同；（3）對應(yīng)法則不同；（4）定義域相同，且對應(yīng)法則相同；（5）定義域不同；考點8求簡單函數(shù)的定義域和值域(C)14、已知函數(shù)的定義域為，的定義域為，則（C） A. B. C. D.15、（2009廣東東莞）函數(shù)的定義域為16、函數(shù)的值域為。解析：∵∴，∴值域為?？键c9函數(shù)的表示法(C)17、已知函數(shù)，則（B） A．= B．= C．= D．=18、已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)且，則的表達(dá)式為（C）A．B．C． D．考點10簡單的分段函數(shù)及應(yīng)用(B)19.若函數(shù)，則（B）A.B.C.D.20．函數(shù)，則，若，則實數(shù)的取值范圍是考點11函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義(C關(guān)注學(xué)科內(nèi)綜合)21、試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性.解析：任取∈(0,1)，且.則.由于，，，，故，即.所以，函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù).22、求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）；（2）.解析：（1），其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2），其圖象如右.由圖可知，函數(shù)在、上是增函數(shù)，在、上是減函數(shù).23、已知，指出的單調(diào)區(qū)間.解析：∵，∴把的圖象沿x軸方向向左平移2個單位，再沿y軸向上平移3個單位，得到的圖象，如圖所示.由圖象得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.24、求函數(shù)的最小值.解析：此函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，所以當(dāng)時，，函數(shù)的最小值為2.考點12奇偶性的含義(A)25、設(shè)a為常數(shù)，函數(shù).若為偶函數(shù)，則等于（B）A.-2B.2C.-1D.126、判別下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；解析：（1）原函數(shù)定義域為，對于定義域的每一個x，都有，所以為奇函數(shù).（2）原函數(shù)定義域為R，對于定義域的每一個x，都有，所以為偶函數(shù).考點13利用函數(shù)的圖象理解和探究函數(shù)的性質(zhì)(C關(guān)注探究過程)27、已知函數(shù)上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，的大致圖象為 （）解析：由函數(shù)上的奇函數(shù)可淘汰A、C，又當(dāng)時，可淘汰D，選B．三、解題方法分析1．弄清元素的特征，從元素的分析上尋找解題的突破口【方法點撥】集合中的元素具有“三性”：確定性、互異性和無序性，集合的關(guān)系、集合的運(yùn)算等都是從元素的角度予以定義的。因此，求解集合問題時，應(yīng)抓住元素的特征進(jìn)行分析。

例1已知A＝{x|x≤3,x∈R}，a=,b=,則（）（A）a∈A且bA（B）aA且b∈A（C）a∈A且b∈A（D）aA且bA【解析】由于3=,所以a∈A，又3=，所以bA，故選A.【點評】：本題屬于“知道”層次，能準(zhǔn)確識別或再認(rèn)集合中的元素；這類集合問題，元素的確定性是解決問題的入手點。2．準(zhǔn)確理解集合的相關(guān)概念，從集合的相關(guān)概念上尋找解題的突破口

【方法點撥】概念抽象、符號術(shù)語多是集合單元的一個顯著特點，交集、并集、補(bǔ)集的概念及子集、真子集、集合相等的定義等等。準(zhǔn)確理解這些概念是求解集合問題的依據(jù)和突破口。例2已知（）A．{1,2}B.{2,4}C.{2}D.{4}【解析】：對于選項A：{1,2}?C，選項B：{2,4}?B，選項D：{4}?B，只有C符合要求，故選C?！军c評】：（1）本題屬于“了解”層次，考查考生的辨別、比較能力；（2）本題解答的關(guān)鍵是分析選項的元素特征，把握集合與集合的關(guān)系，運(yùn)用子集的定義來直接判斷。3、正確掌握集合運(yùn)算的內(nèi)涵，從集合運(yùn)算的轉(zhuǎn)化上尋找解題的突破口【方法點撥】明確AB=B、AB=B、AB與AB=的含義，根據(jù)問題的需要，可以轉(zhuǎn)化為等價的關(guān)系式：、．A、B有公共元素與A、B沒有公共元素例3設(shè)A={－4，0}，B=}，（1）若AB=B，求的值；（2）若AB，求的取值范圍．【解析】：（1）因為AB=B，所以，又A={－4，0}，而B至多只有兩個根，因此應(yīng)有A=B，故。（2）由于，AB至少含有元素－4，因此不論取何值A(chǔ)B，故?！军c評】：本題屬于“理解”層次，解答這類問題的關(guān)鍵是集合運(yùn)算關(guān)系的轉(zhuǎn)化．4．多角度審視函數(shù)概念，從函數(shù)的本質(zhì)上尋找解題突破口【方法點撥】體會用集合與對應(yīng)的觀點來理解函數(shù)概念，明確函數(shù)表達(dá)式可以是解析式，圖象，也可以是表格，了解構(gòu)成函數(shù)的三要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域。例4求下列函數(shù)的定義域：（1）（2）【解析】：（1）對于，要求且，即；對于，要求，即，它等價于，即，再取兩個函數(shù)定義域的公共部分，得所求函數(shù)定義域為：.（2）兩個分段區(qū)間是和，取它們的并集得所求函數(shù)的定義域為.【點評】：本題屬于“理解”層次，考查考生對所學(xué)過的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析；本題的第（1）問：函數(shù)是由與的和構(gòu)成的，應(yīng)先分別求出各表達(dá)式的定義域，再取公共部分；第（2）是個分段函數(shù)，先確定函數(shù)在各段上自變量的取值范圍，再取并集.5．正確畫圖、準(zhǔn)確識圖、合理利用圖形建立函數(shù)關(guān)系【方法點撥】一方面，通過畫圖、識圖、用圖可以研究函數(shù)的解析式及其性質(zhì)；另一方面，函數(shù)的解析式及其性質(zhì)可以通過圖象反映出來。例5如圖，已知底角為的等腰梯形，底邊長為7,腰長為，當(dāng)一條垂直于底邊（垂足為）的直線從左至右移動（與梯形有公共點）時，直線把梯形分成兩部分，令，試寫出左邊部分的面積與的函數(shù)?！窘馕觥浚哼^點分別作，，垂足分別是，。因為是等腰梯形，底角為，，所以，又，所以。⑴當(dāng)點在上時，即時，；⑵當(dāng)點在上時，即時，⑶當(dāng)點在上時，即時，=。所以，函數(shù)解析式為【點評】：本題屬于“理解”中簡單應(yīng)用層次，考查考生能運(yùn)用所學(xué)過的知識分析生產(chǎn)實踐中的數(shù)學(xué)問題；本題解題的關(guān)鍵是就直線所在的位置分類討論左邊部分的圖形特征，然后根據(jù)圖形形狀求出面積。6．以函數(shù)問題為主線，探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律【方法點撥】數(shù)學(xué)規(guī)律的探索，既要會觀察分析已有規(guī)律，又要不斷發(fā)現(xiàn)和完善規(guī)律。費(fèi)例6探究函數(shù)f（x）=x＋,x∈（0，+∞）的最小值,并確定取得最小值時x的值.列表如下：x…0.53457…y…8.554.174.054.00544.0054.024.044.355.87.57…請觀察表中y值隨x值變化的特點,完成以下的問題.（1）根據(jù)上表分析函數(shù)f（x）=x＋（x＞0）在何區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)x為何值時？y有最小值.（2）證明：函數(shù)f（x）=x＋（x＞0）在區(qū)間（0,2）上遞減.（3）思考：函數(shù)f（x）=x＋（x＜0）有最值嗎？如果有,那么它是最大值還是最小值？此時x為何值？（直接回答結(jié)果,不需證明）【解析】（1）函數(shù)f（x）=x＋（x＞0）在區(qū)間（2,＋∞）上遞增.當(dāng)x=2時,y最小=4。（2）=①∵x,x∈（0,2）且x＜x∴x－x＜0；xx－4＜0；xx＞0∴①式＞0即f（x）－f（x）＞0，f（x）＞f（x）∴f（x）在區(qū)間（0,2）遞減.（3）f（x）在（－∞，0）∪（0,∞）為奇函數(shù).圖象關(guān)于原點對稱.故當(dāng)x=－2時,有最大值－4。【點評】：（1）本題屬于“理解”中簡單應(yīng)用層次，主要考查考生能運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行簡單探究的能力；（2）本題解題的關(guān)鍵是合理分析已給的各種數(shù)據(jù)，并由此發(fā)現(xiàn)和探究函數(shù)性質(zhì)。四、課堂練習(xí)1．已知全集,，則()ABUA.B.C.D.ABU2．圖中陰影部分表示的集合是()A.B.C.D.3．函數(shù)的定義域為（）A．[1，2)∪(2，+∞）B．(1，+∞）C．[1，2)D．[1，+∞)4．函數(shù)f(x)=，則=（）A.1B.2C.3D.45.下列五個關(guān)系式①{0}=②=0③{}④0⑤{0}其中正確的是6.函數(shù)的定義域是；7．已知全集U=R，集合，求：（1）（2），8．已知A＝｛x｜x2－8x＋15＝0｝，B＝｛x｜ax－1＝0｝，且BA，求實數(shù)a組成的集合。9．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（）A.1B.3C.－2D.510．下列說法錯誤的是（）A.是偶函數(shù)B.偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱C.是奇函數(shù)D.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱11．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是4，則=。12．已知函數(shù).（1）證明在上是減函數(shù);（2）當(dāng)時，求的最大值和最小值.13.某廠準(zhǔn)備投資100萬生產(chǎn)A，B兩種新產(chǎn)品，據(jù)測算，投產(chǎn)后的年收益，A產(chǎn)品是總投入的，B產(chǎn)品則是總投入開平方后的2倍．問應(yīng)該怎樣分配投入數(shù)，使兩種產(chǎn)品的年總收益最大？14．若函數(shù)，則=15．已知是奇函數(shù)，又f(1)=2，f(2)<3,求a,b,c的值參考答案1-4CAAB5、③、⑤；6、；7．（1），；（2），8．解：A＝{3，5}，因為