2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準LtD2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準說明：評閱試卷時，請依據本評分標準.第一試，選擇題和填空題只設7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應的分數.第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1.設，則（）A.24.B.25.C..D..【答】A.由，得，故.所以.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，則BC＝（）A..B..C..D..【答】C.延長CA至D，使AD＝AB，則，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.又CE⊥BE，所以，故CBE＝.6．設是大于1909的正整數，使得為完全平方數的的個數是（）A.3.B.4.C.5.D.6.【答】B.設，則，它為完全平方數，不妨設為（其中為正整數），則.驗證易知，只有當時，上式才可能成立.對應的值分別為50，20，10，2.2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第2頁（共8頁）因此，使得為完全平方數的共有4個，分別為1959，1989，1999，2007.2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第2頁（共8頁）二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1．已知是實數，若是關于的一元二次方程的兩個非負實根，則的最小值是____________.【答】.因為是關于的一元二次方程的兩個非負實根，所以解得.，當時，取得最小值.2．設D是△ABC的邊AB上的一點，作DE//BC交AC于點E，作DF//AC交BC于點F，已知△ADE、△DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為______.【答】.設△ABC的面積為,則因為△ADE∽△ABC，所以.又因為△BDF∽△BAC，所以.兩式相加得，即，解得.所以四邊形DECF的面積為.3．如果實數滿足條件，，則______.【答】.因為，所以.由可得，從而，解得.從而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）.2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第3頁（共8頁）把代入計算可得，所以.2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第3頁（共8頁）4．已知是正整數，且滿足是整數，則這樣的有序數對共有_____對.【答】7.設（為正整數），則，故為有理數.令，其中均為正整數且.從而，所以，故，所以.同理可得（其中為正整數），則.又，所以，所以.（1）時，有，即，易求得或（3,6）或（6,3）.（2）時，同理可求得.（3）時，同理可求得或（1,2）.（4）時，同理可求得.因此，這樣的有序數對共有7對，分別為（240,240），（135,540），（540,135），（60,60），（60,15），（15,60），（15,15）.第二試（A）一．（本題滿分20分）已知二次函數的圖象與軸的交點分別為A、B，與軸的交點為C.設△ABC的外接圓的圓心為點P.（1）證明：⊙P與軸的另一個交點為定點.（2）如果AB恰好為⊙P的直徑且，求和的值.解（1）易求得點的坐標為，設，，則，.設⊙P與軸的另一個交點為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OA×OB＝OC×OD，則.2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第4頁（共8頁）因為，所以點在軸的負半軸上，從而點D在軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1).…………………10分2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第4頁（共8頁）（2）因為AB⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，則C、D關于點O對稱，所以點的坐標為，即.…………………15分又，所以，解得.…………………20分二．（本題滿分25分）設CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是△ADC、△BDC的內心，AC＝3，BC＝4，求.解作E⊥AB于E，F⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.…………………5分因為E為直角三角形ACD的內切圓的半徑，所以＝.…………………10分連接D、D，則D、D分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.…………………15分同理，可求得，.…………………20分所以＝.…………………25分三．（本題滿分25分）已知為正數，滿足如下兩個條件：①②2008年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第5頁（共8頁）證明：以為三邊長可構成一個直角三角形.2008年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第5頁（共8頁）證法1將①②兩式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構成一個直角三角形.……………25分證法2結合①式，由②式可得，變形，得③………10分又由①式得，即，代入③式，得，即.…………………15分，…………20分所以或或.結合①式可得或或.因此，以為三邊長可構成一個直角三角形.……………25分第二試（B）一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EF∥AB.2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第6頁（共8頁）解因為BN是∠ABC的平分線，所以.2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第6頁（共8頁）又因為CH⊥AB，所以，因此.…………………10分又F是QN的中點，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四點共圓.…………………15分又，所以FC＝FH，故點F在CH的中垂線上.…………………20分同理可證，點E在CH的中垂線上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.…………………25分三．（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同. 第二試（C）一．（本題滿分20分）題目和解答與（A）卷第一題相同.二．（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.三．（本題滿分25分）已知為正數，滿足如下兩個條件：①②是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角.解法1將①②兩式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第7頁（共8頁）所以或或，即或或.2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案及評分標準第7頁（共8頁）因此，以為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90°.……………25分解法2結合①式，由②式可得，變形，得③………10分又由①式