行列式線性代數教程第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日7.1行列式主要內容：1.二階行列式.2.三階行列式.3.n階行列式.4.行列式的性質.5.克萊姆法制.第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日我們先從解二元線性方程組引入二階行列式的概念及計算．考慮二元線性方程組一、二階行列式第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日如果那么方程組的解為

第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日如果對于方程組的系數,按其在方程組中出現的位置相應地排列成一個方形表

引入記號||那么就可以得到一個二階行列式，并規定為此式的右端稱為二階行列式的展開式

aij(i=1,2;j=1,2)稱為二階行列式的元素，橫排的稱為行，豎排的稱為列．第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日例1計算下列各行列式第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日類似地，三元線性方程組

二、三階行列式第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日的系數所構成的行列式規定為此式的右端稱為三階行列式按第一行的展開式．第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日三階行列式的計算方法可用圖示記憶法，凡是實線上三個元素相乘所得到的項帶正號，凡是虛線上三個元素相乘所得到的項帶負號．這種展開法稱為對角線展開法．這種展開法稱為對角線展開法第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日下面介紹三階行列式的展開式：第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日其中A11、A12、A13分別稱為a11、a12、a13的代數余子式，第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日例2計算下列三階行列式：第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、n階行列式

一個三階行列式可以用三個二階行列式來表示，所以可以用二階行列式來定義三階行列式，可以用三階行列式來定義四階行列式，……，依此類推，一般地，可以用n個n-1階行列式來定義n階行列式，下面給出n階行列式的定義：定義設n-1階行列式已經定義，規定n階行列式第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日其中A1j=(-1)1+jM1j(j=1,2,………n)這里M1j為元素a1j的余子式，即為劃掉A的第1行第j列后所得的n-1階行列式，A1j稱為a1j的代數余子式．第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日由定義可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘積構成的和式．這種定義方法稱為歸納定義，通常，把上述定義簡稱為按行列式的第1行展開．第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日解因為a12=a13=0所以由定義第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日例4計算行列式.第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日解由定義，將Dn

按第一行展開，得第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日行列式D與它的轉置行列式DT的值相等．如果行列式的某一行（列）的每一個元素都是二項式，則此行列式等于把這些二項式各取一項作成相應的行（列），其余的行（列）不變的兩各行列式的和．四、行列式的性質性質1性質2第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日如果把行列式D的某一列（行）的每一個元素同乘以一個常數k則此行列式的值等于kD．也就是說，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面．如果把行列式的某兩列（或兩行）對調，則所得的行列式與原行列式的絕對值相等，符號相反．如果行列式的某兩列（或兩行）的對應元素相同，則此行列式的值等于零．如果行列式的某兩列（或兩行）的對應元素成比例，則此行列式的值等于零．“行列式的兩列對應元素成比例”就是指存在一個常數k，使ali=kalj(l=1,2…n)．

性質3性質4推論性質5第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日如果把行列式的某一列（行）的每一個元素加上另一列（行）的對應元素的k倍，則所得行列式與原行列式的值相等．由于行列式的整個計算過程方法靈活，變化較多，為了便于書寫和復查，在計算過程中約定采用下列標記方法：1.以（r）代表行，（c）代表列．2.把第i

行（或第i列）的每一個元素加上第j行（或第j列）對應元素的k倍，記作（ri）+k（rj）[或（ci）+k（cj）]．3.互換i

行（列）和j行（列），記作（ri）?（rj）[或（ci）?（cj）]．性質6第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日04320-1-110447第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日00-1600011第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日行列式D等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin

（i=1,2,…,n）．行列式D的一行元素分別與另一行對應的代數余子式之乘積的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+…+ajnAin=0（i,j=1,2,…,n,

i≠j）．例８按第三行展開計算行列式性質7推論第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日設n元n個方程組為其系數行列式為五、克萊姆法則.第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日在系數行列式D中第j列的元素依次改換為b1，b2，…bn，得到的行列式記作Dj，即：第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日關于線性方程組（1）的解有下述法則：當線性方程組（1）的系數行列式D≠0時，該方程組有且只有唯一解：例９用克萊姆法則解方程組克萊姆法則第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日解因為第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日