山東省威海市2022-2023學年高一上學期期末數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接根據并集的定義求解即可.【詳解】，,.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過求出的范圍，再通過充分性和必要性的概念得答案.【詳解】由得或，因為可推出或，滿足充分性，或不能推出，不滿足必要性.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.某學校組織高一學生參加數學測試，現將學生成績整理并做出頻率分布直方圖如圖所示，其中數據的分組依次為，，，．若高于60分的人數是350，則高一學生人數為（）A.1000 B.750 C.500 D.250【答案】C【解析】【分析】先由頻率分布直方圖得高于60分的人數所占頻率，再根據比例計算可得高一學生人數.【詳解】由頻率分布直方圖得高于60分的人數所占頻率為，所以高一學生人數為人故選：C.4.已知正實數滿足，則的最小值為（）A.8 B.17 C.20 D.25【答案】D【解析】【分析】利用，展開后通過基本不等式求最小值.【詳解】，當且僅當，即時等號成立.故選：D.5.函數單調遞減區間為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函數的定義域，再利用復合函數單調性的判斷規則來得答案.【詳解】對于有，解得函數的定義域為，又，對于，其在上單調遞增，在上單調遞減，又在上單調遞增，由復合函數單調性的規則：同增異減得函數的單調遞減區間為.故選：A.6.一種電路控制器在出廠時，每4件一等品裝成一箱．工人裝箱時，不小心將2件二等品和2件一等品裝入了一箱，為了找出該箱中的二等品，需要對該箱中的產品逐件進行測試．假設檢測員不知道該箱產品中二等品的具體數量，則測試的第2件產品是二等品的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意，由條件進行分析，結合古典概型計算公式，即可得到結果.【詳解】只考慮測試的第2件產品，它可以是箱中的4件產品中的任何一件，因此有四種結果，并且這4中結果的出現是等可能的，測試的第2件產品是二等品的結果有2種，因此，測試的第2件產品是二等品的概率為故選:D.7.在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度（單位：mol/L，記作）和氫氧根離子的物質的量的濃度（單位：mol/L，記作）的乘積等于常數，已知pH的定義為，若某人血液中的，則其血液的pH約為（參考數據：）（）A.7.2 B.7.3 C.7.4 D.7.5【答案】B【解析】【分析】由題可得，再利用，化簡對數相關運算即可得出結果.【詳解】由題意得，，又，，則，，則.故選：B8.已知函數若，，，則（）A.c＜b＜a B.b＜a＜c C.a＜c＜b D.a＜b＜c【答案】D【解析】【分析】由題可得在R上單調遞增，后由函數單調性結合，，大小可得答案.【詳解】令，知其在上單調遞增.令，知其在上單調遞增，又，得在R上單調遞增.因函數均在上單調遞增，則.又，，則.故，又由函數在R上單調遞增，則，即a＜b＜c.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列選項中能使成立的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用不等式的性質逐一判斷即可.【詳解】對于A：，，，，故A正確；對于B：，，，，故B錯誤；對于C：，，故C正確；對于D：，，，，故D錯誤；故選：AC.10.某社區通過公益講座來普及社區居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖所示，則（）A.講座前問卷答題的正確率的第60%分位數為75%B.講座前問卷答題正確率的平均數大于70%C.講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】BC【解析】【分析】由圖表信息，結合百分位數、平均數、標準差、極差的概念，逐項判斷即可得解.【詳解】講座前的第60%分位數為,所以錯；講座前問卷答題的正確率分別為60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,平均數為74.5%,所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差,所以C對；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.故選:BC.11.已知函數，則（）A.為奇函數 B.的值域為C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】結合函數的奇偶性、單調性對選項逐一分析即可.【詳解】函數的定義域為R，且，則為奇函數，故A正確；，則，則，故B正確；即，即，得，故C錯誤；在R上單調遞增且，則在R上單調遞減，故在R上單調遞減，又為奇函數，則，即；解得，故D正確；故選：ABD.12.若是定義在上的奇函數，是偶函數，當時，，則（）A.在上單調遞減 B.C.在上恰有5個零點 D.偶函數【答案】ACD【解析】【分析】由函數的奇偶性得出函數的周期，即可得出函數在一個周期內的圖象，從而結合函數的性質逐個判斷.【詳解】由是定義在上的奇函數得，由是偶函數得，即關于對稱，結合是奇函數可得關于對稱，∴，∴，∴函數的周期為8.當時，，則在（1個周期）的圖象如圖所示.對A，由圖易得，在上單調遞減，A對；對B，由函數的奇偶性、周期性可得，B錯；對C，由圖易得，函數在有5個零點，故由函數的周期性，在上恰有5個零點，C對；對D，因為函數關于對稱，所以，故是偶函數，D對.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13______．【答案】##【解析】【分析】根據指數對數的運算性質計算即可.【詳解】.故答案為：.14.已知函數的定義域為，則的定義域為______．【答案】【解析】【分析】通過函數的定義域可得中，解出即可.【詳解】由函數的定義域為得，對于有，，即的定義域為.故答案為：.15.據統計某市學生的男女生人數比為，為了調查該市學生每天睡眠時長的情況，按照男女生人數比用分層抽樣的方法抽取樣本．根據樣本數據計算得男生每天睡眠時長的平均數為7.3小時，方差為2，女生每天睡眠時長的平均數為6.8小時，方差為1.9，則可估計該市學生每天睡眠時長的平均數為______小時，方差為______．參考公式：分層抽樣中，假設第一層有m個數，平均數為，方差為；第二層有n個數，平均數為，方差為．則樣本方差．【答案】①.7②.2【解析】【分析】設男、女生人數分別為：，由平均數的定義和題中方差公式即可得出答案.【詳解】由題意可得：，，因為該市學生的男女生人數比為，所以設男、女生人數分別為：，所以該市學生每天睡眠時長的平均數為：，該市學生每天睡眠時長的方差為，由題中方差公式可得：故答案為：7；2.16.已知函數若關于x的方程有六個不等的實數根，則實數a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】作出函數的圖象，令，分析可知關于的方程在內有兩個不同實數根，根據二次方程根的分布可得出關于實數的不等式組，解之即可.【詳解】畫出函數的圖象如下圖所示，令，則方程可化為.由圖可知：當時，與有個交點，要使關于的方程恰好有六個不同的實數解，則方程在內有兩個不同實數根，所以，，解得，因此，實數的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：利用轉化法、換元法，結合數形結合思想、一元二次方程根的分布性質是解題的關鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知集合，集合．（1）當時，求；（2）當時，若，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，求出集合AB中元素范圍，再根據交集和補集的定義求解即可；（2）求出集合AB中元素范圍，再根據列不等式求實數的取值范圍．【小問1詳解】當a＝1時,或，，，；【小問2詳解】當時，或，，，，解得.18.已知冪函數（其中m為實數）在上單調遞減．（1）若，求的值；（2）解關于x的不等式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先通過冪函數的定義求出，再代入，求出，平方后求出，再平方即可求出；（2）將代入，解不等式即可.【小問1詳解】冪函數（其中為實數）在上單調遞減，，解得，，，即，，得，即，，得，即；【小問2詳解】由（1）得，即，解得不等式解集為.19.某社區舉行憲法宣傳答題活動，該活動共設置三關，參加活動的選手從第一關開始依次闖關，若闖關失敗或闖完三關，則闖關結束，規定每位選手只能參加一次活動．已知每位選手闖第一關成功的概率為，闖第二關成功的概率為，闖第三關成功的概率為．若闖關結束時，恰好通過兩關可獲得獎金300元，三關全部通過可獲得獎金800元．假設選手是否通過每一關相互獨立．（1）求參加活動的選手沒有獲得獎金的概率；（2）現有甲、乙兩位選手參加本次活動，求兩人最后所得獎金總和為1100元的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據獨立事件的乘法公式，分第一關沒有通過和第一關通過第二關沒有通過兩種情況求解即可；（2）甲、乙兩位選手有一人獲得一等獎，一人獲得二等獎，進而根據獨立事件概率的乘法公式求解即可.【小問1詳解】解：設選手闖第一關成功為事件，闖第二關成功為事件，闖第三關成功為事件，所以，，設參加活動的選手沒有獲得獎金為事件，所以.【小問2詳解】解：設選手闖關獲得獎金300元為事件，選手闖關獲得獎金800元為事件，所以，，，設兩人最后所得獎金總和為1100元為事件，所以，甲、乙兩位選手有一人獲得一等獎，一人獲得二等獎，所以20.某水產公司擬在養殖室修建三個形狀、大小完全相同長方體育苗池．其平面圖如圖所示，每個育苗池的底面積為200平方米，深度為2米，育苗池的四周均設計為2米寬的甬路．設育苗池底面的一條邊長為x米（），甬路的面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數關系式；（2）已知育苗池四壁的造價為200元/平方米，池底的造價為600元/平方米，甬路的造價為100元/平方米，若不考慮其他費用，求x為何值時，總造價最低，并求最低造價．【答案】（1），（2）米時，總造價最低，最低總造價為元.【解析】【分析】（1）根據題意得到養殖室的總面積，從而表達出函數關系式；（2）在第（1）問的基礎上，表達出總造價關于的函數關系式，并利用基本不等式求出最小值.【小問1詳解】由題意可得每個育苗池另一邊長為米，則，；【小問2詳解】設總造價為元，則，，其中，當且僅當，即時，等號成立，故，所以米時，總造價最低，最低總造價為元.21.已知函數．（1）若在上單調遞增，求實數k的取值范圍；（2）令，若對任意，恒成立，求實數k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據題意，分與討論，列出不等式即可得到結果；（2）根據題意，轉化題意為恒成立，由二次函數的性質可得到結果.【小問1詳解】當，即時，，則在上單調遞增恒成立；當時，要使在上單調遞增，則，解得綜上，的取值范圍為【小問2詳解】因為，令，則，要使恒成立，當，即時，，符合題意；當，即時，若要使恒成立，由二次函數的圖象與性質可得該函數圖象開口朝上，即，此時對稱軸為，在上單調遞增，則只需，解得；綜上，的取值范圍為.22.已知函數與的圖象關于直線對稱．（1）若函數是偶函數，求實數m的值；（2）若關于x的方程有實數解，求實數的取值范圍；（3）已知實數a，b滿足，，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題知，進而得，再根據函數的奇偶性求解即可；（2）由題知關于的方程有實數解，再分和兩種情